数学达人看过来：一道概率题考考你，正确答案者5金币【已经有正确答案】

hongde · 发表于 2009-12-30 11:24:06

我们知道自然数中随机抽取一个数是偶数的概率为50%或者说概率是1/2。

那么我要问数学达人们，在自然数中随机抽取一个数是素数的概率是多少

呢？呵呵，借茶社宝地，征集正确答案，最先给出正确答案者，5金币酬

谢。请版主扣除发帖所得。

这个概率题的正确答案是0，对此首先给出的是醉版，绝版也提出了有价值的贡献，

所以以上二位分别奖励5金币和4金币！

另外经检索，该问题的有关详细论述可见我国著名数学家潘承洞的《素数定理的初等证明》。

非常感谢所有参与讨论的数学达人！

heraldic · 发表于 2009-12-30 11:45:51

此问题比较难，参考这里：http://zhidao.baidu.com/question/45053694.html

hongde · 发表于 2009-12-30 12:13:25

引用第1楼heraldic于2009-12-30 11:45发表的 :
此问题比较难，参考这里：http://zhidao.baidu.com/question/45053694.html

感谢提示，已经看过，呵呵

qqchun · 发表于 2009-12-30 12:39:43

我就想分段猜想，然后取极限；看过提示，跟我想法差不多，我没有更创意解法了。

onlyloveshu · 发表于 2009-12-30 13:18:58

这个太难了，有挑战性，要是我还在高中，我一定想办法。。现在不行了~~

绝版孙悟空 · 发表于 2009-12-30 13:26:49

从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n
http://www.hudong.com/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86

醉乡常客 · 发表于 2009-12-30 13:28:16

是0。

很早以前就有人谈过这个问题了。

设n以内的素数密度分f（n），证明f（n）/n的极限在n→∞时为0即可。

heraldic · 发表于 2009-12-30 13:30:14

引用第6楼醉乡常客于2009-12-30 13:28发表的 :
是0。

很早以前就有人谈过这个问题了。

设n以内的素数密度分f（n），证明f（n）/n的极限在n→∞时为0即可。

有道理，素数现在有了个实际的最大值，说明还是有限的

绝版孙悟空 · 发表于 2009-12-30 13:33:03

引用第7楼heraldic于2009-12-30 13:30发表的 :

有道理，素数现在有了个实际的最大值，说明还是有限的

素数有了个实际的最大值？？？

hujian2008 · 发表于 2009-12-30 13:41:43

好象今年上半年还是去年看过报道，目前为上最大的素数找到了。

醉乡常客 · 发表于 2009-12-30 13:42:29

引用第7楼heraldic于2009-12-30 13:30发表的 :

有道理，素数现在有了个实际的最大值，说明还是有限的

几千年前就有人证明了素数无穷多，只不过初中几何大纲里面没写进去。

拿给你这样一误读，哥简直无地自容，几欲再从小学二年级造句开始重新学习语文了。

onlyloveshu · 发表于 2009-12-30 13:42:57

引用第8楼绝版孙悟空于2009-12-30 13:33发表的 :

素数有了个实际的最大值？？？

数学老师来指点了~~咔咔，摆渡一下看看

绝版孙悟空 · 发表于 2009-12-30 13:46:17

可以证明：N=p1*p2*p3*...*pi+1，若p1，p2,p3，。。。，pi为素数，则N为素数

hongde · 发表于 2009-12-30 13:48:41

引用第6楼醉乡常客于2009-12-30 13:28发表的 :
是0。

很早以前就有人谈过这个问题了。

设n以内的素数密度分f（n），证明f（n）/n的极限在n→∞时为0即可。

这个没看懂，除非素数是有穷的，否则感觉上极限f（n）/n应该不可能为零。

onlyloveshu · 发表于 2009-12-30 13:58:01

引用第13楼hongde于2009-12-30 13:48发表的 :

这个没看懂，除非素数是有穷的，否则感觉上极限f（n）/n应该不可能为零。

取极限为啥不可能为0？后面的概率越来越小，那不就是趋向于0？除非限定一个区间，不然这个趋势是0，我也觉得有道理

醉乡常客 · 发表于 2009-12-30 14:06:53

引用第12楼绝版孙悟空于2009-12-30 13:46发表的 :
可以证明：N=p1*p2*p3*...*pi+1，若p1，p2,p3，。。。，pi为素数，则N为素数

不是这样的。

欧几里得是这样子的：

假设素数只有有限个，假定就是i个，分别是p1……pi。

令N=p1*p2*p3*...*pi+1，则N不能整除p1……pi，那么，N要么是一个异于p1……pi的新素数，要么有异于p1……pi的素因子，因此前面假设的素数只有有限个是不对的。

hongde · 发表于 2009-12-30 14:07:31

引用第14楼onlyloveshu于2009-12-30 13:58发表的 :

取极限为啥不可能为0？后面的概率越来越小，那不就是趋向于0？除非限定一个区间，不然这个趋势是0，我也觉得有道理

都是无穷大时，必须证明n比f（n）是更高阶的无穷大，这样极限才可能是0，否则感觉上应该逼近一个常数，或者说比值不超过某个常数。根据公理“任何有上界(下界）的非空数集必存在上确界（下确界）”，那么应该说极限是常数。

醉乡常客 · 发表于 2009-12-30 14:14:31

“感觉上”这句话在直觉主义数学家嘴里说出来怪有效的，你写出来让人觉得有效的怪，小于x的素数的个数的估计式大致是x/lnx，能不能不“感觉”就说这个极限是无穷大？

hongde · 发表于 2009-12-30 14:17:42

引用第17楼醉乡常客于2009-12-30 14:14发表的 :
“感觉上”这句话在自觉主义数学家嘴里说出来怪有效的，你写出来让人觉得有效的怪，小于x的素数的个数的估计式大致是x/lnx，能不能不“感觉”就说这个极限是无穷大？

醉版达人能否给出这个概率极限是零的证明？

继续欢迎数学达人们热烈讨论，没事是思考下，不比发水帖强？

jingmouren · 发表于 2009-12-30 14:26:37

引用第16楼hongde于2009-12-30 14:07发表的 :

都是无穷大时，必须证明n比f（n）是更高阶的无穷大，这样极限才可能是0，否则感觉上应该逼近一个常数，或者说比值不超过某个常数。根据公理“任何有上界(下界）的非空数集必存在上确界（下确界）”，那么应该说极限是常数。

当然可以直接证明是0 然后说分母比分子更高阶

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