问答 这些花纹是怎么产生的（欢迎回答15、17楼的新问题）

17楼的问题，只能猜一下了。

会不会指的是“突变理论”？关于这个理论，我还有件很难为情的往事。有一年（高中还是初中？），我在一本杂志上看到了这个理论的介绍，回家就缠着我爸给我买一本“突变理论”的书（或杂志），我爸拗不过我，终于邮购了一本。欣喜地翻开一看，与天书无异，从此就再没有缠过我爸买书过……

百度资料

1972年法国数学家雷内·托姆在《结构稳定性和形态发生学》一书中，明确地阐明了突变理论，宣告了突变理论的诞生。

突变理论的内容

突变理论主要以拓扑学为工具，以结构稳定性理论为基础，提出了一条新的判别突变、飞跃的原则：在严格控制条件下，如果质变中经历的中间过渡态是稳定的，那么它就是一个渐变过程。

比如拆一堵墙，如果从上面开始一块块地把砖头拆下来，整个过程就是结构稳定的渐变过程。如果从底脚开始拆墙，拆到一定程度，就会破坏墙的结构稳定性，墙就会哗啦一声，倒塌下来。这种结构不稳定性就是突变、飞跃过程。又如社会变革，从封建社会过渡到资本主义社会，法国大革命采用暴力来实现，而日本的明治维新就是采用一系列改革，以渐变方式来实现。

对于这种结构的稳定与不稳定现象，突变理论用势函数的洼存在表示稳定，用洼取消表示不稳定，并有自己的一套运算方法。例如，一个小球在洼底部时是稳定的，如果把它放在突起顶端时是不稳定的，小球就会从顶端处，不稳定滚下去，往新洼地过渡，事物就发生突变；当小球在新洼地底处，又开始新的稳定，所以势函数的洼存在与消失是判断事物的稳定性与不稳定性、渐变与突变过程的根据。

托姆的突变理论，就是用数学工具描述系统状态的飞跃，给出系统处于稳定态的参数区域，参数变化时，系统状态也随着变化，当参数通过某些特定位置时，状态就会发生突变。

突变理论提出一系列数学模型，用以解是自然界和社会现象中所发生的不连续的变化过程，描述各种现象为何从形态的一种形式突然地飞跃到根本不同的另一种形式。如岩石的破裂，桥梁的断裂，细胞的分裂，胚胎的变异，市场的破坏以及社会结构的激变……。

按照突变理论，自然界和社会现象中的大量的不连续事件，可以由某些特定的几何形状来表示。托姆指出，发生在三维空间和一维空间的四个因子控制下的突变，有七种突变类型：折迭突变、尖顶突变、燕尾突变、蝴蝶突变、双曲脐突变、椭圆脐形突变以及抛物脐形突变。

例如，用大拇指和中指夹持一段有弹性的钢丝，使其向上弯曲，然后再用力压钢丝使其变形，当达到一定程度时，钢丝会突然向下弯曲，并失去弹性。这就是生活中常见的一种突变现象，它有两个稳定状态：上弯和下弯，状态由两个参数决定，一个是手指夹持的力(水平方向)，一个是钢丝的压力(垂直方向)，可用尖顶突变来描述。

尖顶突变和蝴蝶突变是几种质态之间能够进行可逆转的模型。自然界还有些过程是不可逆的，比如死亡是一种突变，活人可以变成死人，反过来却不行。这一类过程可以用折迭突变、燕尾突变等时函数最高奇次的模型来描述。所以，突变理论是用形象而精确的得数学模型来描述质量互变过程。

英国数学家奇曼教授称突变理论是“数学界的一项智力革命──微积分后最重要的发现”。他还组成一个研究团体，悉心研究，扩展应用。短短几年，论文已有四百多篇，可成为盛极一时，托姆为此成就而荣获当前国际数学界的最高奖──菲尔兹奖。

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或许是因为瑞利已经是权威学者，但更主要的是，瑞利的理论奠定了后继研究的基础。

稳定性分析、数值模拟等等都是基于瑞利的模型。

呵呵，我在数值模拟中设计了没有任何数值扰动的计算格式，可以看到，当Ra数高于临界点时，如果没有扰动，始终没有对流，但如果在某一点上加上一个10的负12次方数量级的扰动，嘿嘿，几十小时之后，整个流场的对流就都形成了。

提示：当Ra数达到临界点时，由于中国的一只蝴蝶煽动了一下翅膀，使得空客在汉堡着陆时用机翼在跑道上划了一条线，这镜头航空爱好者是不能不看的。

是不是林家翘所研究的“运动稳定性”理论？这个算不算数学的分支？

或者是一门称为“微分动力系统”的理论？这个还真的与蝴蝶有关系了。记得介绍“分形”的书上都会说一些这类事情。

楼上的那个数值模拟很漂亮啊，问一下这是什么软件的界面？

欲罢不能啊！

难道是指“非线性科学”？

感觉有混沌因素，楼主自己又提到了分形中常引用的“蝴蝶效应”……

这些加起来，好象就是“非线性科学”了。。

我有一套书中的几本，还是精装的，不过，因为看不懂，也就没翻过。

网上电子版也能下到：

从抛物线谈起——混沌动力学引论.pdf  
迭代方程与嵌入流.pdf  
非线性代数方程组与定理机器证明.pdf  
非线性演化方程.pdf  
分岔与奇异性.pdf  
分形物理学.pdf  
符号动力系统.pdf  
复杂性与动力系统.pdf  
孤子理论和微扰方法.pdf  
光学混沌.pdf  
混沌的微扰判据.pdf  
量子混沌.pdf  
免疫的非线性模型.pdf  
实用符号动力学.pdf  
水槽中的孤波.pdf  
随机力与非线性系统.pdf  
圆映射.pdf

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第1临界点和第2临界点都是混沌理论中所说的分岔点，叫什么分岔已经记不住了，但离混沌还很远。

用数值方法研究Rayleigh-Benard问题中的分岔与混沌，现有的一些工作其实比Busse十几年前的工作还要倒退。

上述计算程序是用NI公司的LabWindows CVI 编写的。计算结果让我看到了国内的一些学术阴暗面。

看看我上图的计算结果，红线是平均Nu数的振荡，振幅是1.15562357061614-1.15562357061613=0.00000000000001，蓝线和绿线是最大速度，振幅是0.00000000000002。得到这组数据我算了一个多月，但我认为我算的Ra=2451还不说明问题，其一，没有检验步长dx继续减小带来的影响，其二，没有考虑继续增加横向宽度对第2临界Ra数的影响，其三，只计算了k=3.1416的情况，而实际上k的临界值小于3.1416。特别是当Ra=2450时振荡消失似乎和网格数有关。做研究，尤其是数值计算，不能随便算个结果就当“针”了。

听说过。
LabWindows CVI 软件还能作数值模拟啊？
以前一直都说它是“虚拟仪器”，觉得没什么用。

最近这个软件用很大的力度在国内推广。后悔啊，居然一次也没有去现场看看演示。

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我用CVI作为C程序的平台。

CVI的优点，
1、标准C语言，语法严格，便于移植。
2、报错信息详细易懂，我是从CVI学会C的。
3、可以做用户界面。
4、可以用它自己制作软件，界面也可以完全用程序来描述。

缺点
1、5.0版本有不关闭的标准输出窗口，调试方便。以后的版本这个窗口在程序运行结束就关闭，讨厌。
2、双CPU计算机运行时CPU时间只有50%。
3、8.0版本网上验证授权。
4、售价太贵。