小学数学题（结论简单，证明可不会）

醉乡常客

如果有更好的证明，笨人愿将版主的奖励全部奉送

哈，遥不可及～～～～～～～～～～～你笨我更笨……   

iamken

引用第19楼bookish于2006-12-11 23:41发表的“”:
.......

最简单也是最佳证明请参见道德经首篇，老子云：一生二，二生三，三生万物。

coolman

设整数N>5, 分为n个数:x1,x2,…,xn.

则
(x1·x2·…·xn)<= [(x1+x2+…+xn)/n]^n=(N/n)^n，等号只当x1=x2=…=xn=N/n时成立.
也就是说x_i应该尽可能均匀.
现在假设2种分法n=n1,n2且n2=n1+1, 则两种分法对应的最大值分别为N/n1)^n1,(N/n2)^n2

(N/n1)^n1/(N/n2)^n2=(n1+1)^(n1+1)/(n1^n1*N)=[(1+1/n1)^(n1+1)]/(N/n1)
>[1+(n1+1)/n1]/(N/n1)=(2*n1+1)/N  

假设上面的(2*n1+1)/N>1,则要求 n1>(N-1)/2
换句话说当n超过(N-1)/2后,增加n会导致结果变小,也就是说n应该满足n<(N-1)/2.

另外假设(N/n1)^n1/(N/n2)^n2=(n1+1)^(n1+1)/(n1^n1*N)=[(1+1/n1)^(n1+1)]/(N/n1)<1
则要求N>n1*[(1+1/n1)^(n1+1)], 换句话说,如果n满足N>n*[(1+1/n)^(n+1)], 则增加n使得结果变大,反之则减小.

至此问题已经基本解决

假设N=20, (N-1)/2=9.5, 所以2=<n<=9, 取n=4, 计算n*[(1+1/n)^(n+1)]=12.20703125<20,
所以应该增加n,
分别计算:
n=5
n*[(1+1/n)^(n+1)]=14.92992<20
n=6
n*[(1+1/n)^(n+1)]=17.651384<20
n=7
n*[(1+1/n)^(n+1)]=20.37199757632570491158324459075>20
此时增加n会使得结果变小.
n=8
n*[(1+1/n)^(n+1)]=23.092060625553131103515625>20

以上分析没有考虑到xn必须是整数,所以和实际计算时会有点差别.

求解步骤:
由n<(N-1)/2确定最大可能的n, 并计算n*[(1+1/n)^(n+1), 然后一个一个减小n,直到计算结果<N, 则该n或者n+1即为所求.

coolman

实例假设N=100, (N-1)/2=49.5, n的最大值为49, 计算v=n*[(1+1/n)^(n+1),
n=49 v=134.55266234212075793781120318542>100
n=47 v=129.11600233681293267820081973428>100
n=44 v=120.96099608909880014016640691187>100
n=40 v=110.08761737398888199226709971156>100
n=37 v=101.93254813772416960671313565102>100
n=36 v=99.214183551132105119030896891103<100

故n=36,或者37.

100/36=2.7777777777777777777777777777778
100/37=2.7027027027027027027027027027027
核实:
n=36, 32个3和4个1
n=37, 31个3和5个1和1个2

应该为n=36

coolman

N=55, (N-1)/2=27, n的最大值为26, 计算v=n*[(1+1/n)^(n+1),
n=26 v=72.03019409641100386862118795591>55
n=24 v=66.593281451714850918513498898893>55
n=20 v=55.719251808032822812854046068192>55
n=19 v=53.0006865328088981452653522586<55
故n=19,或者20.

55/19=2.8947368421052631578947368421053
55/20=2.75
核实:
n=19, 17个3和2个2
n=20, 17个3和2个1和1个2
结果n=19

这道题比较有趣, 最后分出来都是3, 2, 1. 谁来解迷?

coolman

我自己解吧, 呵呵. 因为
n<(N-1)/2

即N>2*n+1
N/n>2, 即要求平均数大于2.

另外要求n*[(1+1/n)^(n+1)]>N时, 应该减小n, 当n*[(1+1/n)^(n+1)<N时即为所求. 故可以把n值确定为满足n*[(1+1/n)^(n+1)]=N的附近值. 可得N/n=(1+1/n)^(n+1)<4, 即要求平均数不超过3.

至此问题的求解更简单了, 用尽量多的3就ok了. 证明和求解完毕!

看来3这个数字的确很特别啊.

wmguo

hehe.厉害，学习ing

含笑饮砒霜

妈呀  太复杂了

其实随便想想  页简单  

第一步可以证明：最后留下的只能是2或3
    因为  若分出来个a》5 的话  a》5>4=> 2(a－2)>a  
    继续把a分成 2 和a－2  后的乘积肯定更大
   而4=2+2=2×2  分成两个2  不影响结果
   1又是不能要的啦
    所以最后只能都分成2 和3  
第二步可以证明：2的个数不能多于2个
    因为3个2 就不如2个3

所以任意》5的数 m 应该这样分 （n》2)
  1、m＝3n的，分成n个3  
   2、m＝3n＋1的，分成 n－1个3 和2个2
   3、m＝3n－1的，分成 n－1个3和1个2

fgfwm

高手,佩服!!!

zwh_hn

呵呵，有意思，跑茶馆来讨论小学数学题来了。
小学数学题中，一般会给定这几个数的和，然后要说明什么情况下这几个数（2个或3个）的积最大。
当两个数的和一定时，这两个数相差越小积越大。
当三个数的和一定时，这三个数越接近积越大。
如果超出这个难度，就不属于小学数学要解决的范畴了。

hybyb

看不懂这样的题目，据说公务员考试就比较喜欢这样的题目，就120分钟答135道题的时间来看，各位大师都超时了。
本人好歹也获得过幼儿园大班第五学习小组奥数竞赛鼓励奖，也来试试吧。

结论：在能被三整除的时候，把这个数要分成若干个3的和
    或是在不能被三整除的时候，如果余1，就分成若干个3和一个4的和。
    如果余2就分成若干个3和一个2的和。

幼儿园大班水平，各位见笑了。

hybyb

还是说了许多废话，，

就是把这个数分成许多3和2的和，尽量使3的数目最多，可以没有2。这样他们的乘积就最大了。。

江南生

我看不懂，但是难得一见这么火爆的学术交流！
搬个板凳来瞧热闹！

醉乡常客

引用第29楼zwh_hn于2006-12-12 23:21发表的“”:
呵呵，有意思，跑茶馆来讨论小学数学题来了。
小学数学题中，一般会给定这几个数的和，然后要说明什么情况下这几个数（2个或3个）的积最大。
当两个数的和一定时，这两个数相差越小积越大。
当三个数的和一定时，这三个数越接近积越大。
如果超出这个难度，就不属于小学数学要解决的范畴了。

同行是知音     

bookish

根据酷兄的方法，若 z 为大于零的实数，y = (N/z)^z 在 N/z = e = 2.718 时有最大值 ymax = exp(N/e)。如果 N/z 必须是整数，就取值为 N/z = 2 或 3。

n1 = Int(N/e), n2 = Int(N/e) + 1

max {(N / n)^n; n 属于自然数} = max {(N / n1)^n1, (N / n2)^n2}

但是，从“(x1·x2·…·xn)<= [(x1+x2+…+xn)/n]^n=(N/n)^n，等号只当x1=x2=…=xn=N/n时成立.”到“.也就是说x_i应该尽可能均匀.”，需要证明，或引用已知公式。

即，需要证明，当 xi 属于自然数且 x1+x2+…+xn=N 时，对于 i=1,...,n, 若满足 Int(N/n) <= xi <= Int(N/n) + 1，则 x1·x2·…·xn 有最大值。

送酷兄20分。

醉乡常客

“需要证明，当 xi 属于自然数且 x1+x2+…+xn=N 时，对于 i=1,...,n, 若满足 Int(N/n) <= xi <= Int(N/n) + 1，则 x1·x2·…·xn 有最大值。”

虽然看似不言自明，但是，为了确保严密性，确实还是得给出个证明。

bookish

含笑妹的方法，

如果 x1, x2, ……, xn 中至少有一个 1, 设 f1(N) = x1·x2·……·x(n-2)·x(n-1)·1, f2(N) = x1·x2·……·x(n-2)·(x(n-1) + 1),
因为 f2(N) / f1(N) > 1, 所以 f2(N) > f1(N), 即必须把 x = 1 加到任意的其他 x 上。

重复以上过程，可以把 x = 1 全部去除。

如果 x1, x2, ……, xn 中至少有一个 x >= 5, 设 xn >= 5,

设 xn = xn1 + xn2, xn1 = 2, xn2 = xn-2,
设 f1(N) = x1·x2·……·x(n-1)·xn, f2(N) = x1·x2·……·x(n-1)·xn1·xn2,
因为 xn1 * xn2 = 2 * (xn-2) = xn + (xn-4) > xn

所以 f2(N) > f1(N), 即必须把 x >= 5 拆分成 2 和 x-2 两项。

重复以上过程，可以把 x >= 5 的项全部去除。

从而得到，对于任意 N, 最大乘积只能用 2，3，4 的乘积表示。

对于 x = 4，总可以把它拆分成两个 2。重复以上过程，可以把 x = 4 的项全部去除。

从而得到，对于任意 N, 最大乘积只能用 2，3，4 的乘积表示，并且总可以用 2 和 3 的乘积表示。

如果 x1, x2, ……, xn 中至少有 3 个 2, 设 f1(N) = x1·x2·……·x(n-3)·2·2·2, f2(N) = x1·x2·……·x(n-3)·3·3,
因为 f2(N) > f1(N), 所以必须把 3 个 2 重新组合成两个 3。

重复以上过程，可以把 3 个以上的 2 全部去除，于是得到，

对于任意 N, f(N) 最大乘积可以用 2 和 3 的乘积表示，并且 2 的个数不超过两个（等价于 x = 4 的个数不超过一个）。

若 N mod 3 = 0，那么不可能有 N = 3 * m + 2 或 N = 3 * m + 2 + 2 (m 为自然数), 因此, f(N) 只能是 3 的乘积, f(N) = 3^(N/3)

若 N mod 3 = 1，那么要使 2 不超过两个，并且没有 1，就只能有 N = 3 * m + 2 + 2 (m 为自然数), 因此, f(N) 只能是若干个 3 和两个 2 的乘积, f(N) = 3^((N-1)/3 - 1) * 2 * 2

若 N mod 3 = 2，那么要使 2 不超过两个，并且没有 1，就只能有 N = 3 * m + 2 (m 为自然数), 因此, f(N) 只能是若干个 3 和一个 2 的乘积, f(N) = 3^((N-2)/3) * 2

最终得到，

　　N mod 3 = 0: f(N) = f(N) = 3^(N/3)
　　N mod 3 = 1: f(N) = 3^((N-1)/3 - 1) * 2 * 2
　　N mod 3 = 2: f(N) = 3^((N-2)/3) * 2

进了一大步，证明完整，送版主给的剩下的30分。

（酷兄的贡献是把那个奇妙的3的理论依据挖掘出来了）

coolman

还是bookish大师的证明更适合小学生.

bookish

caozhi700:
　　一个大于等于5的整数任意分成几个整数之和，问如何分才能使这些数的乘积最大。

醉乡常客:
　　设x1+x2+……+xn＝N（N≥5，n≥2，n、N和x1，x2，……，xn都是自然数），求满足x1·x2·……·xn取最大值的n, x1，x2，……，xn。

含笑妹的求解和证明方法：

设
　　N = x1 + x2 + …… + xn,
　　集合 C(N) = {x1·x2·……·xn; n, x1，x2，……，xn 属于自然数, x1 + x2 + …… + xn = N},
　　集合 C2(N) = {x1·x2·……·xn; n 属于自然数, x1，x2，……，xn 属于大于 1 的整数, x1 + x2 + …… + xn = N},
　　集合 C24(N) = {x1·x2·……·xn; n 属于自然数, x1，x2，……，xn 属于整数 {2, 3, 4}, x1 + x2 + …… + xn = N},
　　集合 C23(N) = {x1·x2·……·xn; n 属于自然数, x1，x2，……，xn 属于整数 {2, 3}, x1 + x2 + …… + xn = N},
　　集合 C23A(N) = {x1·x2·……·xn; n 属于自然数, x1，x2，……，xn 属于整数 {2, 3} 且 x1，x2，……，xn 中只有 2 项等于 2 , x1 + x2 + …… + xn = N},

　　C23A(N) 属于 C23(N) 属于 C24(N) 属于 C2(N) 属于 C(N)

　　f(N) = max {C(N)} 定义为集合中元素 x1·x2·……·xn 的最大值。

　　如果 x1, x2, ……, xn 中至少有一个 1,
　　设 f1(N) = x1·x2·……·x(n-2)·x(n-1)·1, f2(N) = x1·x2·……·x(n-2)·(x(n-1) + 1),
　　因为 f2(N) / f1(N) > 1, 所以 f2(N) > f1(N), 即 f(N) >= f2(N) > f1(N), 所以含有 x=1 的元素可以不考虑。
所以
　　f(N) = max {C(N)} 等价于 f(N) = max {C2(N)}

　　如果 x1, x2, ……, xn 中至少有一个 x >= 5, 设 xn >= 5,
　　设 xn = xn1 + xn2, xn1 = 2, xn2 = xn-2,
　　设 f1(N) = x1·x2·……·x(n-1)·xn, f2(N) = x1·x2·……·x(n-1)·xn1·xn2,
　　因为 xn1 * xn2 = 2 * (xn-2) = xn + (xn-4) > xn
　　所以 f2(N) > f1(N), 即 f(N) >= f2(N) > f1(N), 所以含有 x>=5 的元素可以不考虑。
所以
　　f(N) = max {C(N)} 等价于 f(N) = max {C2(N)} 等价于 f(N) = max {C24(N)}

　　如果 x1, x2, ……, xn 中至少有一个 x = 4, 设 xn = 4,
　　设 f1(N) = x1·x2·……·x(n-1)·4, f2(N) = x1·x2·……·x(n-1)·2·2,
　　有 f2(N) = f1(N), 即 f(N) >= f2(N) = f1(N), 所以含有 x=4 的元素可以不考虑。
所以
　　f(N) = max {C(N)} 等价于 f(N) = max {C24(N)} 等价于 f(N) = max {C23(N)}

　　如果 x1, x2, ……, xn 中至少有 3 个 2,
　　设 f1(N) = x1·x2·……·x(n-3)·2·2·2, f2(N) = x1·x2·……·x(n-3)·3·3,
　　因为 f2(N) > f1(N), f(N) >= f2(N) > f1(N), 所以含有三个及三个以上 x=2 的元素可以不考虑。
所以
　　f(N) = max {C(N)} 等价于 f(N) = max {C23(N)} 等价于 f(N) = max {C23A(N)}

即
　　f(N) = max {C23A(N)}
　　对于任意 N, f(N) 最大乘积可以用 2 和 3 的乘积表示，并且 2 的个数不超过两个（等价于 x = 4 的个数不超过一个）。

若 N mod 3 = 0，那么不可能有 N = 3 * m + 2 或 N = 3 * m + 2 + 2 (m 为自然数), 因此, f(N) 只能是 3 的乘积, f(N) = 3^(N/3)
若 N mod 3 = 1，那么要使 2 不超过两个，并且没有 1，就只能有 N = 3 * m + 2 + 2 (m 为自然数), 因此, f(N) 只能是若干个 3 和两个 2 的乘积, f(N) = 3^((N-1)/3 - 1) * 2 * 2
若 N mod 3 = 2，那么要使 2 不超过两个，并且没有 1，就只能有 N = 3 * m + 2 (m 为自然数), 因此, f(N) 只能是若干个 3 和一个 2 的乘积, f(N) = 3^((N-2)/3) * 2

最终得到，
　　N mod 3 = 0: f(N) = 3^(N/3)
　　N mod 3 = 1: f(N) = 3^((N-1)/3 - 1) * 2 * 2
　　N mod 3 = 2: f(N) = 3^((N-2)/3) * 2

醉乡常客

应该收到博客里面去。

有些东西就是会下金蛋的鹅        ，说不定还有其他引申。