关于庞加莱猜想(参与者奖励威望)

myl892

这是书里的介绍，可能更可靠一些。

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朱熹平与曹怀东发表关于 Poincare 猜想证明的全文

2006年6月5日

     Poincare猜想是国际数学界长期关注的一个重大难题，被列为七大“数学世纪难题”之一，美国Clay研究所悬赏百万美元征求证明。 最近在美国出版的《亚洲数学期刊》6月号以专刊的方式，刊载了我国青年数学家朱熹平与曹怀东长达300多页的论文：《庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明：汉密尔顿·佩雷尔曼理论的应用》。 在美国数学家 Hamilton 和俄罗斯数学家 Perelman 等人关键性工作的基础上，朱熹平与曹怀东最终给出了Poincare猜想和Thurston几何化猜想的完整证明。著名数学家丘成桐教授最近在我院晨兴数学中心向新闻界宣布这是“一项国际性的重大成果”。

     朱熹平于1986年考取中科院系统科学研究所的博士研究生，师从我院著名数学家丁夏畦院士，曾就读于中科院武汉数学物理研究所，并于1989年获得中科院系统科学研究所的博士学位，现任中山大学数学与计算科学学院院长。曹怀东于1986年获普林斯顿大学博士学位，曾师从著名数学家丘成桐教授，现任美国 Lehigh 大学讲座教授。


                               ------------------引自中国科学院数学与系统科学研究院

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晕,怎么大家都只关心庞加莱及其猜想,而并非更多的关心该猜想的证明

日前，中国数学家向ASIAN J. MATH.提交了一篇题为THE HAMILTON-PERELMAN THEORY OF RICCI FLOW – THE POINCARE AND GEOMETRIZATION CONJECTURES 的文章，经过审稿，该期刊决定将文章发表于Vol.10,No.2,pp.165–498，也就是六月份第一期的165——498页。

论文摘要为：
Abstract. In this manuscript, we provide an essentially self-contained description of the works of Hamilton, Perelman and the others on the Ricci flow and its application to the geometrization of three-manifolds. The manuscript offers a complete proof to the Poincare and geometrization conjectures.

因为重大的论文在发表后还需要大多数学家的认可.
如果论文证实无误，就宣告了庞加莱定理得到最终证明。


本文附带提供两个附件，从ASIAN J. MATH官方网站获得。
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以下是某网友的分析：

怎么挑了个不大牌的杂志？
最主要的是对真正的里程碑式的原创性工作来说，发表的 的杂志倒是不重要的。优先权才重要。

如Drinfeld 关于量子群和杨振宁－Baxter方程的伟大工作 发表在列宁格勒数学杂志
Kontsevich 、Hamilton 没有在四分顶级综合杂志
Annals of Mathematics (Princeton Univ)
Inventiones Mathematicae (Springer)
Journal of the American Mathematical Society (AMS)
Acta Mathematica (Institut Mittag-Leffler)
上发过文章。

我个人猜测有下列原因。
１、抢时间和优先权。 现这是数学上最大的热点。许多人正在工作着。有竞争。这项工作估计是朱熹平过去半年（Sep. 2005 - Mar. 2006) 受丘成桐（Shing-Tung Yau）之邀访问 Harvard 大学期间作出的。(http://www.math.harvard.edu/people/ZhuXi-Ping.html) 丘是 Asian J. of Mathematics 的主编且是 International Press 的老板，便于在较少泄密情况下快速通过审稿。避大牌杂志的拒稿拖稿的风险。

２、最主要的贡献仍是（Hamilton）和Perelman的。该项工作是补大漏洞。
G.Perelman 在 R. Hamilton 等工作的基础上，对完成整个R. Hamilton　以 Ricci流为工具的解决方案作出了原创性突破（主要是在neckpinch singularity 和其它singularities)，
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0211/0211159.pdf
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0303/0303109.pdf
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0307/0307245.pdf

但Perelman的工作存在着较大和较多的漏洞(gaps)。
且其中确有一些错误（现已补好）。　
其中一个最大的漏洞是如何能在“有限时间”内完成几何切割。其实过去每四年出现一次的由几何拓扑家给出的错误证明都错在此。
G.Perelman 本人看样子是知道这些漏洞的，因为a. 他没有大声的宣布而是很小声的说（whispered）他解决了几何化猜想（包含庞加莱猜想）
b. 他只在预印本网站公布了他的文章未投稿，所以他可以避免回答审稿人问题。

３、庞加莱猜想、Thurston几何化猜想拓扑分类的Ricci流证明将是丘成桐（Shing-Tung Yau）等创立的“几何分析”的最大成就之一。丘推从中华，许多外国人私下批评丘是一个强烈的民族主义者，证据之一便是他的大多数学生都是中国人且强力推荐到重要位置。丘很upset和mad并着急的的是，他本人最早意识到Ricci流的重要性，（比如在Hamilton 创立 Ricci流之初（１９８２）令他的几个中国学生跟Hamilton学，向Hamilton建议引进几何切割来解决拓扑分类等），在Hamilton１９９７关于几何切割的文章发表后，Hamilton方案的可行性已比较清楚了，但其后的关键性突破是由Perelman而不是由中国人作出的（而在该领域中国人是很强的），到手的鸭子飞了。
（他确实是在１９９７年说过解决问题时机已成熟并大力推动过相关研究。）最近他每讲必讲Ricci流，急S了！丘控制的数学杂志比较多，替曹、朱选择Asian J. of Mathematics　来得登这篇终结文章恐怕也有出一口气的意思。

曾燕环

引用第18楼曾燕环于2006-06-11 20:27发表的“关于朱熹平的非公平资料”:
此项不能随便公平，只供版主及威望高者看！所以设置威望值，版主看见内容应该会体谅我的！而且有些内容我也删除了！


（失败之后编辑补充)呵呵，没办法完成了，我想对附件加密，但是我不懂得对附件如何加密，所以我将附件删除了,我原来以为可以象"[hide]附件[hide](再加/)",但是文字可以，附件我拿它没辙，愿向各位求教！
兄可对附件用威望加密,在传威望的地方有这个选项

还是不太明白，具体指引贴子在哪里？

proteinthree

法国人庞加莱（HenriPoincaré）被称为“最后一位数学全才”，在他留下的巨大科学遗产中，有一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，这就是困扰了数学家整整一个世纪的“庞加莱猜想”。庞加莱猜想和黎曼假设、霍奇猜想、杨－米尔理论等一样，被并列为七大数学世纪难题之一。2000年5月，美国的克莱数学研究所为每道题悬赏百万美元求解。


　　庞加莱是在1904年发表的一组论文中提出这一猜想的：“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”它后来被推广为：“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。”我们不妨借助二维的例子做一个粗浅的比喻：一个无孔的橡胶膜相当于拓扑学中的二维闭曲面，而一个吹涨的气球则可以视为二维球面，二者之间的点存在着一一对应的关系，同时橡胶膜上相邻的点仍是吹涨气球上相邻的点，反之亦然。有趣的是，这一猜想的高维推论已于上个世纪60年代和80年代分别得到解决，唯独三维的情况仍然像只拦路虎一样趴在那里，向世界上最优秀的拓扑学家发出挑战.2003年，俄罗斯数学家佩雷尔曼更是提出了解决这一猜想的要领。

然而,今日哈佛大学教授、著名数学家丘成桐6月3日在中国科学院晨兴数学研究中心宣布，在美、俄等国科学家的工作基础上，中山大学朱熹平教授和旅美数学家、美国利哈伊大学曹怀东教授在美国《亚洲数学期刊》6月号以专刊方式，发表了题为《庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明：汉密尔顿－佩雷尔曼理论的应用》的长篇论文。


需要经过更多检验推敲

而在一些国际知名的数学家，朱、曹的直接竞争者看来，朱、曹的工作并不是终结。

一位曾长期旅居海外的数学家在本报记者采访时也持类似看法，他说：“能够勇敢地站出来说已把猜想完整证明了是需要勇气的。佩雷尔曼的文章出来3年以后，数学家都在交头接耳地问，其间没有一个人敢说他是完全是对的。”

“丘成桐他们敢出来以个人的名义宣布破解猜想，说明把他们的名誉都押在这里，万一有问题，基本学术生涯可能就完了。因此，丘成桐公布朱、曹两人的成果应该是建立在信心以及深思熟虑的基础上的。”

这位数学家还提到，朱、曹这一成果要得到主流数学界的承认，“还需经过一段时间的沉淀，让大家慢慢静下心来，快的话一年半载，慢的话说不定好几年。不出问题的话，相信半年到一年就有定论。证明每一步是很痛苦的过程，他们很不容易。这也是国际学术界的惯例。”

对此，朱熹平自己倒是看得很清楚，他曾说过“现在还不能说成功，我们的证明还需要历史的承认，需要经过很多人的检验、推敲。”

朱熹平在国内遭到排挤？

与国际数学界的反应冷淡一样，中国数学会的官方网站(www.cms.org.cn/)至今对朱、曹的成果只字未提。

按理说，作为国内数学界的大事，中国数学会的官方网站会转贴朱、曹“封顶”的消息。但恰好相反，对于庞加莱猜想的消息，中国数学会的网站也只是转引了国际数学家大会官方网站的相关报道，称“一个有一百多年历史的数学问题有可能在即将召开的2006年国际数学家大会上宣布被解决。”

中国数学会的冷淡反应，让很多人联想起了朱熹平在国内长期遭排挤的猜测。

而丘成桐也多次抨击了这一现象，丘成桐在接受北京一家媒体采访时曾经披露说：“朱熹平的工作是海内外中国学者中做流形几何做得最好的。”

2002年在北京举行的国际数学家大会，国内的演讲人大部分是中国数学会自己推荐的。推荐的8个人，大部分是北京的。朱熹平做了极为出色的工作，却没接到邀请。

为何陈景润40年难超越

中国一流数学家不超过10人 中大一贯重视基础理论研究成绩斐然

目前我国一流大学的数学、物理和化学等基础学科，招生的形势大不如前，大多是第二志愿调剂过来。现在就连尖子生都不愿意学基础学科了。

2006年注定是中国的数学年，这一年，除了庞加莱猜想由中国学者“封顶”外，也是陈景润辞世10周年，“1+2”成果发表40周年。中国一直不乏出色的数学家，陈景润、陈省生、丘成桐就是例子，据统计，近十年发表论文的国家排行榜上，中国居于第四位。

40年后中国数学再“封顶”

但是，距离陈景润“1+2”成果发表足足有40年后，才出现朱、曹的“封顶”之作。国内几乎所有一流的数学家都承认，“陈景润依然站在中国数学的最高峰”。丘成桐更是认为，目前国内一流的数学家不超过10人。

40年来，陈景润难以超越的原因究竟在哪里呢？对此，国内的数学家普遍认为，陈景润刻苦钻研、不计名利的精神在当代几乎消失了。

中科院院士严加安说：“陈景润一辈子只发表了几十篇论文，而现在有的博士在毕业后没几年就发表了80多篇论文，可以想象，现在的学风问题有多么严重。这种风气是非常危险的，如不及时重视并加以纠正，老师浮躁，学生跟着浮躁。”

在这方面，朱熹平可以说是很好地继承了陈景润精神。据中山大学校长黄达人介绍，朱熹平曾经有过四五年的时间几乎没有发表论文，但他并没有急功近利的想法。相对应的是，中山大学近年在基础数学研究领域成绩斐然，出现了一批有潜力的中轻年学者，实属“藏龙卧虎”。

高考状元不再中意基础科学

与学者的功利、浮躁相比，现在各大学学生的浮躁也非常严重。

据了解，目前我国一流大学的数学、物理和化学等基础学科，招生的形势大不如前，“现在连北京大学物理系都经常报不满，大多是第二志愿调剂过来。尖子生都不愿意学基础学科。”1957年以高分考入北大物理系的陈建生院士觉得，现在的学生和他们那会儿的想法可大不一样了。

“我们考大学那时候，最好的学生、拔尖的学生基本上都选择基础专业。北大物理系、数学系，都是全国学生中最好的来报考，百里挑一，千里挑一。”在陈建生看来，现在出现的情况与对基础研究重视不够不无关系。外贸、金融这些专业赚钱多，就业好。相比之下，基础研究这“寂寞的长跑”就显得清贫、枯燥、难度大。长此下去，这对基础学科的发展非常不利。

与学生对基础学科的冷漠相对应的是，我国对基础研究的投入长期偏低，据统计，美国、德国、日本的基础研究经费都在其研发总经费的15%～20%之间,而我国一直保持在5%左右。

但是,刘克峰并不认同经费少的说法,“尽管投入与美国相比差很远，但跟以前相比投入还是相当大的，自然科学基金，每一项的基金都达到了30万，其实数学家不需要太多的钱，像陈景润也没什么基金，就那么一点点工资，他也做出很好的成果。所以，这应该不是一个原因。作为一个数学教授，我并没有觉得不被重视。一个美国的记者觉得有意思，他有一个疑问，为什么华罗庚、陈景润等数学家在中国会这么有名？数学家在美国很少有老百姓会知道他。”

教授不屑于给本科生上课

实际上，基础科学的重要性不言而喻，它对应用科学的推动作用是根本性的，历史上很多重大的基础科学发明，都会引起应用技术的革命性变化。对于庞加莱猜想的破解，丘成桐解释说，它的意义在于，将有助于人类更好地研究三维空间，对物理学和工程学都将产生深远的影响。

据了解，丘成桐将于本月19日在北京开幕的弦理论会议上作具体演讲，他将用计算机模拟RICCI流来演示它的作用，比如，一个被砸得变形的篮球，沿着RICCI流来变，可以成为一个完好的篮球。在工程计算里，RICCI流也能把复杂的东西变得简单，对实用科学有很大的指导作用。

另外，博导、教授不屑于给本科生讲客一直是个痼疾，也是屡遭批评。但是，朱熹平一直坚持给本科生讲课，近年来他更是担任过本科生一年级课程《数学分析》、二年级课程《复变函数》等，很难说，这对他的研究工作有什么影响，但无疑会对学生产生非常大的激励。对此，刘克峰说，而在国外，教授一般都是给本科生上课，很多大数学家在国外是给高中生上课，朱熹平的做法值得肯定。
值得学习

曾燕环

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gaofangcai

庞加莱猜想被证明新华网北京６月３日电（记者 李斌）国际数学界关注上百年的重大难题——庞加莱猜想，近日被科学家完全破解。哈佛大学教授、著名数学家、菲尔兹奖得主丘成桐３日在中国科学院晨兴数学研究中心宣布，在美、俄等国科学家的工作基础上，中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东已经彻底证明了这一猜想。

“这就像盖大楼，前人打好了基础，但最后一步——也就是‘封顶’工作是由中国人来完成的。”丘成桐说，“这是一项大成就，比哥德巴赫猜想重要得多。”

“这是第一次在国际数学期刊上给出了猜想的完整证明，成果极其突出。”数学家杨乐说。

在美国出版的《亚洲数学期刊》６月号以专刊的方式，刊载了长达３００多页、题为《庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明：汉密尔顿－佩雷尔曼理论的应用》的长篇论文。

任何一个封闭的三维空间，只要它里面所有的封闭曲线都可以收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球－－这就是法国数学家庞加莱于１９０４年提出的猜想。庞加莱猜想和黎曼假设、霍奇猜想、杨－米尔理论等一样，被并列为七大数学世纪难题之一。２０００年５月，美国的克莱数学研究所为每道题悬赏百万美元求解。

１００多年来，无数的数学家关注并致力于证实庞加莱猜想。２０世纪８０年代初，美国数学家瑟斯顿教授因为得出了对庞加莱几何结构猜想的部分证明结果而获得菲尔兹奖。之后，美国数学家汉密尔顿在这个猜想的证明上也取得了重要进展。２００３年，俄罗斯数学家佩雷尔曼更是提出了解决这一猜想的要领。

运用汉密尔顿、佩雷尔曼的理论，朱熹平和曹怀东第一次成功处理了猜想中“奇异点”的难题，发表了３００多页的论文，给出了庞加莱猜想的完全证明。

从去年９月底至今年３月，朱熹平和曹怀东应邀前往哈佛大学，以每星期３小时的时间——连续２０多个星期、共约７０个小时——向包括哈佛大学数学系主任在内的５位数学家进行讲解，回答了专家们提出的一系列问题。

丘成桐指出，这一证明意义重大，将有助于人类更好地研究三维空间，对物理学和工程学都将产生深远的影响。
日前，中国数学家向ASIAN J. MATH.提交了一篇题为THE HAMILTON-PERELMAN THEORY OF RICCI FLOW – THE POINCARE AND GEOMETRIZATION CONJECTURES 的文章，经过审稿，该期刊决定将文章发表于Vol.10,No.2,pp.165–498，也就是六月份第一期的165——498页。

论文摘要为：
Abstract. In this manuscript, we provide an essentially self-contained description of the works of Hamilton, Perelman and the others on the Ricci flow and its application to the geometrization of three-manifolds. The manuscript offers a complete proof to the Poincare and geometrization conjectures.

如果论文证实无误，就宣告了庞加莱定理得到最终证明。

在这期期刊的扉页，我们看到了“This is the specisal issue dedicated to the memory of Professor Shiing-Shen Chern,1911——2004”。考虑到陈先生曾经对Ricci流做过研究，而本文作者又是丘成桐的得意门生，这样安排无疑有其特殊含义。

本文附带提供两个附件，从ASIAN J. MATH官方网站获得。
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以下是某网友的分析：

怎么挑了个不大牌的杂志？
最主要的是对真正的里程碑式的原创性工作来说，发表的 的杂志倒是不重要的。优先权才重要。

如Drinfeld 关于量子群和杨振宁－Baxter方程的伟大工作 发表在列宁格勒数学杂志
Kontsevich 、Hamilton 没有在四分顶级综合杂志
Annals of Mathematics (Princeton Univ)
Inventiones Mathematicae (Springer)
Journal of the American Mathematical Society (AMS)
Acta Mathematica (Institut Mittag-Leffler)
上发过文章。

我个人猜测有下列原因。
１、抢时间和优先权。 现这是数学上最大的热点。许多人正在工作着。有竞争。这项工作估计是朱熹平过去半年（Sep. 2005 - Mar. 2006) 受丘成桐（Shing-Tung Yau）之邀访问 Harvard 大学期间作出的。(http://www.math.harvard.edu/people/ZhuXi-Ping.html) 丘是 Asian J. of Mathematics 的主编且是 International Press 的老板，便于在较少泄密情况下快速通过审稿。避大牌杂志的拒稿拖稿的风险。

２、最主要的贡献仍是（Hamilton）和Perelman的。该项工作是补大漏洞。
G.Perelman 在 R. Hamilton 等工作的基础上，对完成整个R. Hamilton　以 Ricci流为工具的解决方案作出了原创性突破（主要是在neckpinch singularity 和其它singularities)，
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0211/0211159.pdf
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0303/0303109.pdf
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0307/0307245.pdf

但Perelman的工作存在着较大和较多的漏洞(gaps)。
且其中确有一些错误（现已补好）。　
其中一个最大的漏洞是如何能在“有限时间”内完成几何切割。其实过去每四年出现一次的由几何拓扑家给出的错误证明都错在此。
G.Perelman 本人看样子是知道这些漏洞的，因为a. 他没有大声的宣布而是很小声的说（whispered）他解决了几何化猜想（包含庞加莱猜想），且他选择在公?#####?墓ぷ鞑痪贸隼囱萁玻?蚱涫贝蠹一固岵怀鍪抵市缘奈侍猓??幽呛蟛怀隼矗?⒕芫?魏窝萁惭?刖芫?卮鹞侍猓?衷诖蠹叶荚诘茸盼仕?侍狻；刮纯粗祆淦剑?芑扯?闹っ鳎?兰剖撬?遣谷?薖erelman的证明漏洞(gaps)，特别是“有限时间内完成几何切割”。如是，本身将是较大的成就。
b. 他只在预印本网站公布了他的文章未投稿，所以他可以避免回答审稿人问题。

３、庞加莱猜想、Thurston几何化猜想拓扑分类的Ricci流证明将是丘成桐（Shing-Tung Yau）等创立的“几何分析”的最大成就之一。丘推从中华，许多外国人私下批评丘是一个强烈的民族主义者，证据之一便是他的大多数学生都是中国人且强力推荐到重要位置。丘很upset和mad并着急的的是，他本人最早意识到Ricci流的重要性，（比如在Hamilton 创立 Ricci流之初（１９８２）令他的几个中国学生跟Hamilton学，向Hamilton建议引进几何切割来解决拓扑分类等），在Hamilton１９９７关于几何切割的文章发表后，Hamilton方案的可行性已比较清楚了，但其后的关键性突破是由Perelman而不是由中国人作出的（而在该领域中国人是很强的），到手的鸭子飞了。
（他确实是在１９９７年说过解决问题时机已成熟并大力推动过相关研究。）最近他每讲必讲Ricci流，急S了！丘控制的数学杂志比较多，替曹、朱选择Asian J. of Mathematics　来得登这篇终结文章恐怕也有出一口气的意思。
http://www.tianyaju.com/bbs/dispbbs.asp?boardid=40&id=2751

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“全能数学家”———昂利·庞加莱
            徐庆林　耿永雪

　　  1854 年4 月29 日,昂利·庞加莱(又译昂利·彭加莱) 出生在法国南锡, 其父莱昂·庞加莱是一位一流的生理学家兼医生、南锡医科大学教授, 他因精湛的医术和高尚的医德博得了人们的尊敬和爱戴;叔父安托万·庞加莱,曾为国家道路桥梁部的检查官,安托万有两个儿子———雷蒙·庞加莱和吕西安·庞加莱,雷蒙曾于1912 年、1922 年和1926 年几度组阁,出任总理兼外交部长,1913 年1 月至1920 年初,荣任法兰西第三共和国第九届总统, 而吕西安是中等教育局局长, 并在大学担任高级行政职务.昂利·庞加莱就是这个显赫家族中的一员.
1 　“自古英雄多磨难”
昂利·庞加莱的童年是不幸的. 在幼儿时,他的运动神经共济官能就缺乏协调. 弄得他手指不大听使唤,他的两手后来虽说都能写字书画, 但他的字、画都不好看, 也妨碍了他的实验技巧的训练. 乍看起来,他也没有什么超人的天才, 有一则趣闻说:当他后来被公认是他所处时代的第一流的数学家时,他接受了比尔试验(注:比尔是法国心理学家, 该试验用于测试人的智商) , 结果他被断定是一个笨人.他的母亲把全部心血都倾注到子女的教育上, 所以他的智力发展很快, 很早就学会了讲话. 不过开始还不大顺利, 他虽然思考得很快, 却迟迟找不到要说的恰当的词语和方法.
5 岁突如其来的一场白喉病把他折磨了整整9个月, 并从此留下了喉头麻痹症. 这次疾病使得他长时期身体虚弱、缺乏自信.庞加莱视力极差, 他上课时看不到老师在黑板上写的东西,也不好记笔记, 全凭耳朵听, 但这反而大大增进了他的听觉记忆能力, 到后来, 他能在头脑中完成复杂的数学运算, 能够迅速地写出一篇论文而无需做大的修改.
1870 年,普法战争爆发了. 当时庞加莱才16 岁,他年幼体弱,没有服兵役, 可是也经受了风险. 德国侵略者占领了他的家乡南锡, 他在战地巡回医院协助父亲工作. 后来, 他和妹妹随母亲到阿兰瑟的外婆家去, 母子三人忍饥挨饿, 在滴水成冰的天气里越过一个个沦为焦土的村镇. 到达目的地, 映入他们眼帘的却是一片残垣颓壁, 侵略者的铁蹄蹂躏了
美好的家园,敌人的兽行促使庞加莱终生成为一位热情的爱国主义者.
2 　全能的数学奇才
在15 岁前后,奇妙的数学便紧紧地扣住了庞加莱的心弦. 他刚刚进入福雷斯学校学习不久, 就在没有记一页课堂笔记的情况下赢得了一次数学奖金,这使他的同学惊讶不已, 便闹了个恶作剧, 哄骗他代表四年级学生参加数学竞赛, 解一个十分难对付的数学题. 庞加莱似乎没有怎么思考就直接写出了答案, 然后扬长而去, 让那些存心戏弄他的人目瞪口呆,垂头丧气.
1871 年底, 庞加莱进入巴黎综合工科学校深造. 在入学考试时,一位主考人得知庞加莱是“数学巨怪”,故意把考试推迟了三刻钟, 想用一个经过精心推敲的试题难倒他. 结果, 庞加莱回答得很出色,得到了最高分数,主考人破格录取了他.
1875 年,21 岁的庞加莱到国立高等矿业学校学习,打算将来做一名工程师, 但他一有闲空, 就劲头十足地钻研数学,并在微分方程一般解的问题上初露锋芒;22 岁时就写出了微分方程解的性质的论文;1878 年,他向巴黎科学院提交了同一课题的论文,它涉及到更加困难、更加普遍的问题. 这篇论文又一次显示了庞加莱卓越的数学才能, 并为他赢得了数学博士学位.
对于常微分方程的研究促使庞加莱从事超越函数———自守函数的探讨,自守函数是椭圆函数的推广. 1884 年, 庞加莱在《数学学报》前五卷发表了关于自守函数的五篇重要论文, 这一划时代的发现使不到30 岁的庞加莱闻名于世. 1887 年,33 岁的庞加莱被选入巴黎科学院, 像这样年轻的新人进入科学院实属罕见. 大多数数学家在签署意见时认为,庞加莱的工作成就已远远超过了通常的赞扬, 他对于椭圆函数的研究,将引起数学领域里的一次新的革命.
在数学研究的众多领域中, 庞加莱永远走在前面. 他在函数论,组合拓扑学(又称代数拓扑学) 、代数学、微分方程和积分方程理论、代数几何学、发散级数理论、数论、概率论、位势论、数学基础等方面都作出了开创性的贡献, 成为后继者拓展和深究的课题,有些至今仍具有诱人的魅力. 例如, 他在1904年发表的一组论文中提出了一个属于代数拓扑学的命题:“单连通的三维闭流形同胚于三维球面. ”后来,这一命题又被推广为“任何与n 维球面同构
的n 维闭流形必定同胚于n 维球面”,这就是困扰了数学家们整整一个世纪的、著名的“庞加莱猜想”.目前,这一猜想的高维推论已于上个世纪60 年代和80 年代分别得以解决,惟独三维的情形仍然没被证明. 2000 年,波士顿的克莱数学研究所将该猜想列为“七大千僖难题”之一, 并悬赏100 万美金奖励这一猜想的证明者. 在数学哲学和数学创造的心理方面,庞加莱也进行了有意义的探索, 发表了富有启发性的看法. 庞加莱巨大的权威性, 和他优美的文
体,以及他打破传统的思想, 使得他的著作超出范围有限的数学界. 有的传记作家估计, 庞加莱的作品有五十多万读者,创造了数学界的空前记录.
庞加莱属于发散式思维的科学家, 这对于一个科学开拓者来说,是不可或缺的素质. 对他而言, 整体即是一切,无所谓细节. 在这方面, 庞加莱与高斯迥然不同:高斯的研究成果发表的相对地少, 因为他不管作什么工作,都要琢磨修饰, 既要求完美, 又要求他的证明达到最大限度的简明而不失严密性;而庞加莱却是一位性急而多产的科学家, 他没有时间仔细琢磨已被攻克的旧问题, 也不愿把精力花在那些修正、拓广他作过的东西等细枝末节的小问题上,他甚至说过, 他从未发表过一篇既不后悔它的内容、也不后悔它的形式的论文( 这当然是自谦的说法) .
在短暂的34 年的科学生涯中,他写出了近五百篇论文和30 本科学专著, 这些论著囊括了数学、物理学和天文学的许多分支. 由于他的杰出贡献, 他赢得了法国政府所能给予的一切荣誉, 也受到英国、俄国、瑞典、匈牙利等国政府的奖赏. 1906 年, 他当选为巴黎科学院主席;1908 年, 他被选为法兰西科学院院士.
由于庞加莱杰出的工作,他被认为是19 世纪最后1/ 4 和20 世纪初期的数学主宰,并且是对数学和它的应用具有全面知识的、能雄观大局的通才、大师,人们公认他是堪与高斯相媲美的大数学家, 人们誉之为“全能数学家”, 其后的数学家都难以与其比肩.
3 　高风亮节
在科学问题上,庞加莱唯一专注的事情就是探求真理, 他从不关心荣誉, 不喜欢用自己的名字命名他的任何发现和发明, 他认为热爱真理是伟大的事情,追求真理应该是人类活动的唯一目标和唯一价值. 庞加莱曾经把自己发现的一类自守函数命名为富克斯函数, 但富克斯却没有考虑过, 为此还引起克莱因(注:克莱因是德国数学家) 就优先权问题向庞加莱提出抗议,而庞加莱的回应则是把自己紧接着发现的一类自守函数命名为克莱因函数, 而这类函数克莱因却从来也未研究过. 在庞加莱的整个学术生涯中,他总是慷慨地把自己的新发现作为一种公共财富给予那些具有巨大才智的人, 使他们能够从容地利用它们, 他认为, 向人类传播他的思想而不是把它们隐藏起来,是他的天赋的职责.
庞加莱不仅是一位诚实、正直、严肃、谦逊的科学家,同时也是一个十分善良、热心公益事业的人.他少年时初次玩来福枪, 无意中射死了一只小鸟,为此深感内疚, 此后再也不愿摸枪支了; 在见习矿业工程师期间, 有一次矿井发生爆炸, 他奋不顾身地冲进去营救十六个遇难的同事, 表现出一个真正的工程师的勇气,为此深得矿工们的信赖; 在法国,他被视为大智者,他越来越多地被邀请对范围更大的听众作各种主题的讲演,但他对这些“杂事”并没有表现不乐意,他觉得这是向公众普及科学知识的好机会. 在临终前三周,即1912 年6 月26 日,庞加莱还抱病参加法国道德教育联盟成立大会,并在会上发表了最后一次公开演讲. 他在各种问题———从科学到哲学、从政治到伦理上的见解总是直率的、明快的,被公众当作决定性的意见而接受.
1912 年7 月17 日,年仅58 岁的昂利·庞加莱在他能力的高峰时期因脑血栓突然去世了!庞加莱的逝世不仅是法国数学界的巨大损失, 也是物理学界、天文学界、乃至哲学界的重大损失, 但他那永不满足、不知疲倦的探索精神, 正激励着年轻一代的科学家在科学探索的道路上不断前行.

小雪

庞加莱猜想证明意义篇（1）

曾富

（一）
2006年6月1日出版的《亚洲数学期刊》，以全部版面刊登中山大学朱熹平教授和美国里海大学教授及清华大学讲席教授曹怀东长达328页的数学论文---《庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明：汉密尔顿—佩雷尔曼理论的应用》。2006年6月3日，中国科学院院士杨乐就朱熹平和曹怀东的论文接受记者的采访时说：“两位中国数学家综合运用多种方法和工具，最后完成了庞加莱猜想的证明，这是非常了不起的......300多页的数学论文，相当于小说里面的长篇小说。可是写数学论文与写小说是完全不一样的！写小说，只要思维流畅，一天就可以写几万字。但是数学证明就不一样，好多演算、逻辑、证明，很可能就卡在一个地方，有时候要通过这个关卡就要费好多心血。数学论文一般精炼成十多页，最多的是七八十页。而这篇论文长达300多页，所花费的工夫是可以想见的。而且很少有一个期刊只编发一篇文章，这也说明他们的工作得到了认可。”
对此我们既高兴又有难过。高兴的是， 庞加莱猜想被证明对超弦理论等的发展将具有重大意义。难过的是，本来是值得鼓励的方向，但有些对庞加莱猜想证明的抨击，凸现出攻击者的狭隘，如类似说：“我们是爱面子的中国人，说中国人最终证明了庞加莱猜想刺痛了我们的神经，恳请以后不要在个人的成果前面加上我国或者中国字样；证明是他们的创新，证明正确的话，成绩是他们自己的，与全国人民无关；证明错误的话，黑锅也是他们自己的”。如果问：“能否具体说说证明有错的话？”他们也许会说：“你自己去读读！”如果我们回答说：“读英文数学论文我们还力不从心”，他们也许又会说：“搞数学就要懂英文，不懂英文请你去休息。”
这太苛刻了，中国不是印度，印度被英国彻底殖民化过，懂英文在知识层比较普遍；中国并没有被英国彻底殖民化过。上世纪中叶中国解放后，由于众所周知的原因，在大、中学校中，多数被硬性规定学俄语；八十年代中国改革开放后，中国也不是全面开放，自学了英文的知识层，大多是职称英文考试能过关，能自如地读高深的英文数学文献的人并不多。退回来说，即使懂英文的人，也不见得能自如地读高深的英文数学文献，正如懂中文，也不见得能自如地读高深的中文数学文献一样，再加上在我国发行的英文数学期刊不普遍或普通的知识层自费订阅英文数学期刊不现实，搞数学就要懂英文，不懂英文请去休息也不现实。然而这都出自类似标榜“自由”的平台；如果你真到他们的平台，那“自由”是他们说了算。
“自由”都有“先验图式”，到底“先验”对不对？有没有“先验”？何为“先验”？今天庞加莱猜想被证明后，已是能够说明的问题。例如有人评论超弦理论说：“从20世纪70年代开始，国外有人提出一种别具一格的弦理论，其基本设想是：一切物质的基本组分不是点状粒子，而是一根根细小的弦，万物在最微观层次上是由振动的弦组合在一起。到20世纪80年代中期，弦理论家们构造了开弦、闭弦等不同版本，以及把超引力理论并入弦理论中的超弦理论，进而又建立起多维空间想象的M（膜）理论......科学研究的任务不是把只凭主观设想出来的秩序强加与事物，用一种高度数学化、纯粹思维性的理论来包罗万象地描述宇宙，又能指望出现什么奇迹呢？一切缺乏直观证据又不符合逻辑推理的东西都必须从知识的殿堂中剔除出去，解释物质世界基本规律的科学理论本应一目了然，没有必要像弦理论那样故弄玄虚。”把矛头指向超弦理论对不对？或成份有多少？今天庞加莱猜想被证明后，是可以说出来的。
高维庞加莱猜想的证明比低维庞加莱猜想容易些，因此20世纪60年代初，两位美国数学家斯梅尔（Smale）和Stallings发表论文，证明了五维及五维以上的庞加莱猜想，斯梅尔因此获得1966年的菲尔茨奖。1983年，美国数学家弗里德曼（Freedman）发表论文，证明了四维庞加莱猜想，因此获得1986年的菲尔茨奖。1978年，美国数学家Thurston在庞加莱猜想证明中引进做切割的几何结构方法，这个方法很重要，他因此获得1983年的菲尔茨奖。早在2006年5月蒋春暄先生就报道，据2006年国际数学家大会官方网站介绍，庞加莱猜想有可能在即将召开的2006年国际数学家大会上宣布被解决，庞加莱猜想将成为庞加莱定理；本届大会将有两位公认的顶尖拓扑专家---汉密尔顿（Hamilton）教授和John Morgan教授在相关专题上做报告。三年前，俄国数学家佩雷尔曼（Perelman）博士宣称他已经解决了庞加莱猜想，佩雷尔曼在他的证明中用到了汉密尔顿发展的工具。人们有理由预测，俄国数学家佩雷尔曼博士有可能在本届大会的开幕式上获得一枚菲尔兹奖章。现在从丘成桐和杨乐等院士的评价看来，如果岁数允许，2006年国际数学家大会获菲尔兹奖章或其他数学奖的应是四位数学家：汉密尔顿、佩雷尔曼、朱熹平、曹怀东。
朱熹平、曹怀东和丘成桐等中国科学家是一个攀登的人梯，1972年丘成桐和李伟光发展出用非线性微分方程的方法来研究几何结构，丘成桐用这个方法证明了卡拉比猜想和复几何上的庞加莱猜想。由此，丘成桐知道几何分析方法有助于庞加莱猜想的解决。1982年美国康奈尔大学的汉密尔顿发表一篇文章，提出一种新方程来构造几何结构。但汉密尔顿是用微分方程的方法来做的，不同于Thurston的几何结构方法。丘成桐看出其中的重要性，建议汉密尔顿用他和李伟光的几何分析方法来做庞加莱猜想和三维空间几何化的问题。可是汉密尔顿在研究过程中遇到一个重要问题：在用曲率方法推动空间变化时遇到了奇怪的点，如何处理奇异点就成为整个庞加莱猜想证明中最重要的一部分。 处理奇异点的发生是几何分析上的问题，丘成桐和李伟光发现了一种处理非线性微分方程的方法，于是丘成桐建议汉密尔顿一试。后来，汉密尔顿花了很多功夫将这种方法用在他的方程上，得到了重要结果。1993年，汉密尔顿发表一篇重要论文，开始对奇异点问题有了深刻了解，但如何切掉奇异点又是一个新的困难。2002年11月，俄罗斯数学家佩雷尔曼在网上公布了一个研究报告，声称证明了由Thurston25年前提出的有关三维流形的“几何化猜想”，而庞加莱猜想正是后者的一个特例。4个月后，佩雷尔曼在网上发布第二份报告，介绍了更多的证明细节。2003年4月5日的《纽约时报》曾以《俄国人报告著名数学问题解决了》为题，首次向公众披露了这个消息。但随后，数学家们发现佩雷尔曼的证明不完整，有漏洞。奇异点的产生有很多种，多姿多彩，必须掌握控制它们的方法，这需要很多仔细的分析和几何结构上的研究，朱熹平和曹怀东在汉密尔顿和佩雷尔曼关键性工作的基础上最后解决了这个问题，所以，他们为这个猜想的解决封了顶。

gaofangcai

“猜想”将改变思考方式
国际数学界关注上百年的重大难题——庞加莱猜想，近日被科学家完全破解。哈佛大学教授、著名数学家、菲尔兹奖得主丘成桐3日在中国科学院晨兴数学研究中心宣布，在美、俄等国科学家的工作基础上，中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东已经彻底证明了这一猜想。今天上午，朱熹平教授接受了本报记者的采访，并表示在庞加莱猜想得到破解后，“诸多学科的思考方式也会因此发生改变，影响人们的生活。”
“破解这道数学百年难题，是一个历史产物，不是个人英雄主义。我们，只是比别人快了一步。今后，从这个证明出发，可能会影响诸多学科的思维方式。”今天上午，在外地出差的朱熹平教授接受本报记者采访，表现出学术研究般严谨、低调的态度。

　　“庞加莱和哥德巴赫猜想，2种学术品位”

　　记者（以下简称记）：首先祝贺您和曹怀东教授一起破解了这道数学百年难题。您作为中国科学家，为难题作了最后“封顶”，有专家说，这是一项大成就，比哥德巴赫猜想重要得多。您怎么看？

　　朱熹平（以下简称朱）：这是一个学术品位的问题，不能做简单的对比。即便是证明庞加莱猜想本身，我想，它还需要经过历史的检验。

　　“它可能会影响到诸多学科的思考方式”

　　记：庞加莱猜想这么描述：任何一个封闭的三维空间，只要它里面所有的封闭曲线都可以收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球。证明它，对今后我们的生活会有何种影响？

　　朱：首先，证明猜想是一个数学理论问题，它总是走在日常生活前面。但被证明后，它会让人们认识到在一个三维空间中，几何形状的分类存在着最基本的几个原件。这正是数百年来，无数科学家力图完成的东西。

　　然后，诸多学科的思考方式也会因此发生改变，影响人们的生活。

　　“这次证明，是一个历史产物”

　　记：关于这次证明，外界评论相当高，但你们几位相当低调，只把这比喻成“这就像盖大楼，前人打好了基础，但最后一步———也就是“封顶”，为什么？

　　朱：我始终觉得，这不算什么。任何科学成就都是很多人一步一步累积的结果，自己只不过是完成了最后一步而已。数百年来，“庞加莱猜想”是当今数学界最热门的难题之一，近两年取得了相当大的突破。全世界这么多研究团队中，我们算是比别人先踏出了一步。

　　历史发展到这个阶段，你走一步，我走一步，已经有很多著名的数学家预见到这个难题即将被破解。这次证明是一个历史产物，不是个人英雄。

　　“百万奖金应给前面的学者”

　　记：美国的克莱数学研究所为这道题悬赏百万美元，你们打算怎么用这笔钱？今后你还有哪些目标？

　　朱：这笔奖金应该发给前面那些做了很多工作的学者，我们只是走了最后一步而已。数学研究是没有止境的，所有的数学家都没有停止的一天。数学有很多问题，理解完一个，又朝向另一个问题而努力。不断地发现，不断地解决，直到把整个理论构建起来。

　　朱熹平

　　男，1982年本科毕业于中山大学数学系，1984年在中山大学数学系取得硕士学位，1989年在中国科学院武汉数学物理研究所取得博士学位。现任中山大学数学系教授、博士生导师，数学与计算科学学院院长。朱熹平于1991年获中国科学院自然科学二等奖，于1997年入选教育部“跨世纪人才培养计划”，1998年获国家杰出青年基金，列入1999年度国家人事部“百千万人才工程”第一、第二层次人选，并于2001年被聘为教育部“长江学者奖励计划”特聘教授，2004年获得全球华人数学家大会颁发的晨兴数学银奖。

　　丘成桐：它比哥德巴赫猜想重要得多

　　□据新华社电

　　“这就像盖大楼，前人打好了基础，但最后一步———也就是‘封顶’工作是由中国人来完成的。”丘成桐说，“这是一项大成就，比哥德巴赫猜想重要得多。”

　　“这是第一次在国际数学期刊上给出了猜想的完整证明，成果极其突出。”数学家杨乐说。

　　在美国出版的《亚洲数学期刊》6月号以专刊的方式，刊载了长达300多页、题为《庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明：汉密尔顿－佩雷尔曼理论的应用》的长篇论文。

　　任何一个封闭的三维空间，只要它里面所有的封闭曲线都可以收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球———这就是法国数学家庞加莱于1904年提出的猜想。庞加莱猜想和黎曼假设、霍奇猜想、杨-米尔理论等一样，被并列为七大数学世纪难题之一。2000年5月，美国的克莱数学研究所为每道题悬赏百万美元求解。

　　朱熹平和曹怀东第一次成功处理了猜想中“奇异点”的难题，发表了300多页的论文，给出了庞加莱猜想的完全证明。

　　丘成桐指出，这一证明意义重大，将有助于人类更好地研究三维空间，对物理学和工程学都将产生深远的影响。

小雪

朱熹平　１９７８年入中山大学数学系，１９８９年在中国科学院武汉数学物理研究所取得博士学位。现任中山大学数学系教授、博士生导师，数学与计算科学学院院长。

   曹怀东　１９７７年入清华大学数学系，１９８１年赴美国普林斯顿大学，师从著名数学家丘成桐教授，１９８６年获得博士学位。现为美国里海大学数学系讲座教授、清华大学兼职教授。

   ６月３日，国际著名数学家、美国哈佛大学讲座教授丘成桐在中科院晨兴数学研究中心宣布，在美、俄数学家取得关键突破的基础上，中山大学教授朱熹平和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东彻底解决了数学界百年未破的庞加莱猜想问题。

   这一世纪难题的破解有什么重要意义？国内外数学家对此有什么贡献？６月４日，记者采访了丘成桐教授和著名数学家杨乐院士。

   “比哥德巴赫猜想更重要”

   １９０４年，法国数学家庞加莱提出了一个猜想：在任何一个封闭的三维空间里，只要所有的封闭曲线都可以收缩成一点，则这一空间一定是三维圆球。百年以来，无数的数学家为证明猜想殚精竭虑。

   “庞加莱猜想是２０世纪以来几何学、拓扑学中最重要的问题。几乎所有做几何学和拓扑学的数学家都想解决这个问题。”丘成桐说，“这一问题为什么那么重要呢？因为三维空间是人类生存的空间，地球、宇宙都是三维空间，我们必须深入了解自己生存的空间。三维空间的许多变化，我们看不到，但是可以从理论上来猜测和证明，所以对三维空间的拓扑和几何结构的了解，是一门伟大的科学。庞加莱猜想是这门科学中的一个重要问题。”

   丘成桐指出，与公众比较熟悉的哥德巴赫猜想相比，庞加莱猜想更为重要。“至少到目前为止，哥德巴赫猜想还是比较孤立的一个问题，而庞加莱猜想则是影响人们对整个几何学了解的一个大问题，而且对物理学和工程学都有重要意义”。

   丘成桐解释说，数学研究的主要对象有３个，一是数字的研究，比如１、２、３、４、５等等；二是拓扑学和几何学，如中学生学的平面几何、立体几何，数学家研究的是更为高深的几何；三是函数，就是方程的变化。庞加莱猜想是第二个领域里面最重要的问题，解决这一问题时用到了函数和方程，也就是用第三领域的方法解决第二领域的重要问题。所以，猜想的证明，对于几何和函数的发展都有贡献。

   “不仅如此，庞加莱猜想还将对物理学和工程学都产生深远的影响。”丘成桐说，“比如，物理学要研究液体，工程上要研究深海工程，都会遇到三维空间的控制。我们认为这一方法对物理和工程中的三维空间的研究是一个重要贡献。”

   在前人基础上完成“封顶”

   事实上，对庞加莱猜想的突破在２０世纪８０年代已初见曙光。

   当时，美国数学家瑟斯顿教授得出了对庞加莱几何结构猜想的部分证明，他因此而获得国际数学界最高奖菲尔兹奖。也就在这时，美国数学家汉密尔顿应用丘成桐等开创的几何分析理论，另辟蹊径，创造了非线性偏微方程，获得了出色的、具有奠基性的成果。２００３年，俄罗斯数学家佩雷尔曼在深入了解汉密尔顿和丘成桐等人想法的基础上，提出了解决要领。

   谈到朱熹平和曹怀东的工作，丘成桐说：“曹怀东是我的博士研究生，１９８２年做论文时就开始从事这方面的研究了，朱熹平的研究则是从１９９７年开始的。经过多年苦干，这两位年轻的数学家，运用汉密尔顿、佩雷尔曼的理论和方法，第一次成功地处理了庞加莱猜想中‘奇异点’的难题，给出了庞加莱猜想的完全证明。证明这一猜想，贡献最大的当然是汉密尔顿和佩雷尔曼，但是就好比盖大楼一样，前人打好了基础，最后‘封顶’的工作是由中国人完成的，这就非常值得骄傲。这是百年以来，中国本土数学家在基础科学研究领域取得的一项国际性的重大成果，对世界数学发展的贡献是划时代的。”

   “其实朱熹平和曹怀东两人的证明去年就做出来了，但丘先生一直没有张扬。”杨乐说，为了论证结果的准确性，从去年９月底至今年３月，丘成桐请朱、曹两人到哈佛大学，给包括哈佛数学系主任在内的５位数学家讲解，回答了专家们提出的一系列问题，每星期讲３个小时，连续讲了２０多个星期。随后美国出版的《亚洲数学期刊》以３００页的篇幅刊登了朱、曹两人的论文。“但是，丘先生还是留有余地，又经过差不多两个月，才正式对外公布。”

   中国年轻的数学家很有前途

   “中国数学家虽然参与证明了世界级的数学难题，但中国的数学研究和国际先进水平相比，还存在很大的差距。”杨乐认为，目前国内学术界急功近利的风气，严重制约数学这样的基础科学发展。他动情地说：“搞基础研究，一定要耐得住寂寞，绝不能急于求成，争名争利。”

   “搞重大基础研究，需要放眼长远，同时要持之以恒。”杨乐介绍，汉密尔顿做的研究开始时并没有得到同行的普遍重视。９０年代中期，丘成桐曾建议北京的一些青年学者也来从事这一研究，没有得到什么响应。而中山大学的朱熹平却接受了丘先生的建议。“事实证明，丘先生是很有眼光的，朱熹平的勇气也是令人敬佩的。”

   丘成桐也极为肯定朱熹平的工作，他由此谈道：“中国年轻的数学家很有前途，只要肯花时间搞研究，而不去争名逐利，就一定能做出成绩。”他建议，对于年轻有为的科学家，各级政府不要给他们压太多的行政工作，重视年轻科学家的最好办法，就是为他们排除各种干扰，尽可能提供好的条件，让他们安下心来搞研究。

   杨乐说：“华罗庚先生说过，中国人可以在数学研究上做得相当好。希望先生的这句话在不远的将来变成美好的现实。”

   七大数学难题（延伸阅读）

   黎曼假设、庞加莱猜想、霍奇猜想、波奇和斯温纳顿—戴尔猜想、纳威厄—斯托克斯方程、杨—米尔理论、Ｐ对ＮＰ问题被称为２１世纪七大数学难题。２０００年，美国克雷数学研究所将它们设为“千年大奖问题”，每个难题悬赏１００万美元征求证明。

   专家指出，黎曼假设一旦被攻克，将对加密学有帮助。其余的难题一旦破解，将会给航天、物理等领域带来突破性进展，并开辟全新的数学研究领域

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ZT: 通俗地讲一下庞加莱猜想是怎么回事 [数学]


送交者: wasawa 2006年6月09日17:49:15 于 [教育与学术]http://www.bbsland.com  

  

据说庞加莱猜想被中国人证明了，那个证明的长度有三百多页，这样一来就成了中国人的骄傲。本贴子因此就打算通俗地介绍一下庞加莱猜想是怎么回事。

因为，要说起来这个猜想的术语那是很抽象的，是说“单连通的闭三维流型同胚于三维球面”，但是这让数学的外行害怕，一害怕就不敢研究。但这样就有问题，万一其它专业的人要利用这个原理呢？所以我尝试用通俗的办法来讲一下什么是庞加莱猜想。

首先，我以前一直就是有一个观点，那就是数学家真没有意思，数学家要证明的东西，往往在常人看来，都是废话。什么是废话呢？比如人不吃饭要饿死，汽车没有火车跑得快这样的肯定对头的话，或者在常人看来理当如此的话。但是数学家们偏要证明一下，而且证明起来还挺难。

比方说吧，两点之间直线最近，这件事情不要说每一个人知道，甚至连一条狗都知道。但是你要真正证明它，光大学的高等数学知识还是不够的，还要进修泛函分析，变分法，这才能够证明这件事情，瞧这多麻烦？

好，现在来讲这个庞加莱猜想是什么回事，后面大家会看到，那其实也是一个废话。当然，现在已经证明了，就是庞加莱定理了。因为是在三维空间，因此就好说了。

我们居住的房子，如果里面没有摆放任何家具，当然就是一个长方体的形状的空间，有长，宽，高。当然，我们不讨论这样的通常的房子。

我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一下，一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。

嗨，我不妨假设这个球形的房子周边其实是钢做的表面，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球型房子里呆着。

现在拿一个汽球来，带到这个球形的房子里。随便什么汽球都可以（我一开始故意这么说，其实对这个汽球是有要求的）。这个汽球并不是瘪的，而是已经吹大成某一个形状了，什么形状都可以（后面要说明这也是胡说，其实对形状也是有要求的）。但是这个汽球，我们还可以继续吹大它，而且假设汽球的皮特别结实，肯定不会被吹炸了。还要假设，这个汽球的皮是无限薄的。当然，又无限薄又能够结实，这本身就是脱离实际了，但是没有办法啊，科学总是要抽象的嘛，不让抽象我们就得不出什么成果。

好，现在我们继续吹大这个汽球，一直吹啊吹。吹到最后会怎么样呢？那个庞加莱先生就猜想了，吹到最后，一定是这个汽球的表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙了。

当然，还要有一些假设，就是我们这个人不能呆在这个球形房子里，否则的话汽球会有一部分贴到人身上，而不是贴到墙壁上了。可是没有人怎么吹汽球呢？哎呀抽象嘛。我们可以假设有一个小精灵躲在汽球里面吹，用一个压缩的空气瓶吹。或者，也可以不是吹这个汽球，而是在这个大球形的，非常结实的钢制的房子外面抽气，把房里的气抽光，则汽球里的空气就能够膨胀，也能够达到效果，反正最后一定是能够汽球的表面和房子墙壁紧紧贴着，一点缝隙都没有。

但是这个猜想到现在还不严格。如果这个汽球只是一个长形的，或者球形的，那是可以做到的。但是，如果这个汽球是一个救生圈的形状，那就不行了，因为救生圈在不断吹大的时候，最后有一些表面并不是紧贴在墙面上，而是会相互挤在一起。

因此，这个猜想就必须把类似救生圈一类的汽球排除开。认为拿这样的汽球来吹属于赖皮行为。

最后定的规则是这样，就是，如果我们钻到那个汽球里去（假设我们是小人国里的小精灵，会飞），我们用一只苍蝇，用一根线绑在苍蝇身上，（假设这根线无限细且没有重量。然后让苍蝇随意地到处飞。这样，我手中的线就象风筝线一样不断地放出去，最后那个苍蝇还要飞回来，飞回来以后，我把栓在苍蝇身上的线头解下来，和我手中的线系在一起，这就构成了一个圈，或者叫一个绳套吧，能够把人勒死的那种。然后把这个绳套往自己怀里拉，拉呀拉，最后总能够把这个绳套统统都给拉回来。比如说，救生圈形状就不行，因为如果苍蝇在救生圈里飞了一圈回来，我这个结成的绳套就肯定收不会来，而给挡在那里了。那么，这样的汽球就不符合要求。

因此，我要求的汽球，它的形状虽然可以随意，但是，里面的任何一根封闭的曲线，或者说绳套吧，都不会绕过一根类似柱子这样的东西，或者说，这个汽球看上去没有“孔”，不象救生圈那样，可以把一个头伸进去。这样的汽球，数学家起了一个名字叫“单连通”，之所以要起这么吓人的名子，无非是为的显示自己挺有学问罢了，吓唬人的，无非是一个整个的不带孔的汽球嘛。

也就是说，庞加莱定理，说的就是，一个单连通的汽球（市面上卖的汽球大多数都是单连通的），在一个球形的房子里使劲地吹，最后一定能够使汽球的表面和球形房子的墙壁紧紧贴着，一点缝隙都没有。当然，得假设这个球形的房子里的空气，随着汽球的吹大，是会被排光的。

瞧，就这么个事，象不象废话啊？为证明这件事情花了三百多页，是不是有一些吃饱了撑得慌？

不光如此，这说法还如此地学究，什么“单连通的闭三维流型同胚于三维球面”，吓唬人不是？硬要将汽球说成是流型，显摆自己学问深不是？唉，总算球面大家还是知道的。什么叫“同胚”？也够吓唬人的，就是把汽球吹大后两个表面紧紧贴着。

所以啊，诸位小朋友们也可以想一些这样的废话，也就可以给出中国人给出的猜想了。现在光是外国人有猜想，中国人却没有。要我早知道庞加莱瞎猜的东西有这么简单，我就提前猜想了，让别人累得半死去证明去。那我多有名啊。
其实这样的猜想我也已经想到了一个。上面不是讲如果一个汽球是球生圈的形状，就不能够在一个球形的房间里吹大且和球形的墙壁紧密接触吗？那么好了，我这儿也设计一个巨大的房子，不是球形的，是一个球生圈形状的，而且，那个救生圈形状的汽球也套在这个巨大的房子里，这样我再吹这个汽球，它就肯定和这个房子的墙壁紧密接触了吧？
好，现在本人提出二十一人民网强国论坛数学网友提出的最伟大的数学猜想如下：

将一个内胎置入一个外胎里，然后对这个内胎使劲打气，最后的结果一定是内胎的外表面和外胎的内表面亲密接触。

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以前看过一位中国留英博士写的文章，里面嘲笑爱因斯坦学术水平太低，相对论碰巧被老爱捡着了

和k兄贴的这篇有的一拼啊.........

长歌－废墟

引用第34楼hooker于2006-06-12 12:52发表的“”:
以前看过一位中国留英博士写的文章，里面嘲笑爱因斯坦学术水平太低，相对论碰巧被老爱捡着了

和k兄贴的这篇有的一拼啊.........

其实K兄那篇文章作者根本不懂什么是数学,照他那说法几百年数学成就都是废话.不知道作者是否知道:一个球在不被打破的情况下是否能够里外翻转?直觉告诉我们不可以,但是数学告诉我们这是可以的,而且证明这定理的数学家和Poincare猜想还有点关系^_^.骄狂之气不可长!

小雪

庞加莱猜想证明意义篇（2）
                            （二）
   2006年6月5日，胡锦涛同志在中国科学院第十三次院士大会、中国工程院第八次院士大会上发表重要讲话。学习胡锦涛同志的重要讲话，我们认识到胡锦涛同志强调国际一流的科技尖子人才、国际级科学大师、科技领军人物，可以创造世界领先的重大科技成就，可以催生具有强大竞争力的企业和全新的产业；要全面贯彻尊重劳动、尊重知识、尊重人才、尊重创造的方针，努力形成江山代有才人出的生动局面，十分英明正确。我们认为，庞加莱猜想的被证明，必将引出对庞加莱现象的第三次认识。
   庞加莱（Jules-Henri Poinear 1854～1912）又译彭加勒，法国数学家。《自然辩证法通讯》主编李醒民认为，庞加莱是19世纪最后四分之一和20世纪初期的数学界的领袖人物，是对数学和它的应用具有全面了解、能够雄观全局的最后一位大师。他的研究和贡献涉及数学的各个分支，例如函数论、代数拓扑学、阿贝尔函数和代数几何学、数论、代数学、微分方程、数学基础、非欧几何、渐近级数、概率论等当代数学不少研究课题，都溯源于他的工作。
   但改革开放前，我国类似《唯物主义和经验批判主义》的教材和学习辅导材料一类的书籍，用不很文明或很不文明的语言挖苦、咒骂的彭加勒，也正是法国的数学家庞加莱。这是沿于革命领袖列宁在《唯物主义和经验批判主义》第五章中对庞加莱的批判。
   第二次的认识是改革开放后，以李醒民为代表的我国学者发现，庞加莱对物理学危机的看法是符合当时的历史事实和科学发展规律的，但长期以来他的基本观点却普遍受到人们的误解和曲解，在苏联和我国出版的有关政治、哲学的论著中，庞加莱被描绘成在现代科学史上兴风作浪的反面人物。为了恢复历史的本来面目，进一步端正学风，我国对有的问题进行了必要的澄清，例如，我国新出版的《列宁选集》第三版已加了一条注释，就庞加莱的原文作了说明。
   但是我国改革开放前批判庞加莱，为什么没有影响我国创造了以“两弹一星”为标志的伟大科技成就？因为毛泽东、周恩来等开国领袖领导的中国革命是正确的，革命领袖列宁领导的俄国革命是正确的。这些革命的正确，是缘由19世纪和20世纪上半叶各自国内及国际积累的阶级矛盾尖锐化，引出的革命斗争是正确的。当然指导这些革命的理论，沿引的自然科学哲学基础，还仅包括了19世纪和20世纪初以前发展起来的最先进的自然科学理论，“原子”论也就是其中之一。
   19世纪末和20世纪初，高举先进的自然科学原子论大旗的是著名的玻尔兹曼，他的最大敌手虽是马赫，但其中也有庞加莱、奥斯特瓦尔德等。列宁作为革命领袖，是支持玻尔兹曼等的最先进的自然科学理论的；况且爱因斯坦和斯莫卢霍夫斯基分别于1905年和1906年给出了布朗运动的理论，1908年佩兰和他的合作者通过用显微镜观察藤黄树脂微粒的布朗运动，也证实了“原子”的实在性。庞加莱面对这一事实，也坦率地承认“化学家的原子现在已经是一种实在了”。所以，列宁在《唯物主义和经验批判主义》中批判马赫和庞加莱两个学派的代表人物，也不是无的放矢。
   但列宁是把马赫和庞加莱一锅熬了，原因是时代的局限性，列宁未认识到20世纪初期正在发生另一种不同性质的“革命”---不同于19世纪和20世纪初经典物理理论与实验的科学革命---量子力学发现的“不确定性”在微观世界的存在，这是光和电子的双缝实验证实的科学革命---即不管是原子还是波，如果只是单缝，都只是一种单共轭编码的“革命”，类似社会的阶级矛盾和阶级斗争革命；只有双缝才是一种双共轭编码的“革命”，具体的意义这在基因的双螺旋上很清楚。
   一百年后反过来看，“原子”论到爱因斯坦1905年开始的“证明”，还只是物理理论与实验的证明，并不是数学推导的证明---这个数学推导，就是要证明“庞加莱猜想”：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。现在可以得知，这是2006年6月1日出版的《亚洲数学期刊》发表我们中国人最终证明庞加莱猜想的封顶论文，才有了结果的。而这个结果，我们看，也与1978年3月党中央、国务院召开全国科学大会及其以后，邓小平同志提出“科学技术是生产力”和“知识分子是工人阶级的一部分”，以及强调贫穷不是社会主义等重要论断有关。
   虽然有人说，科学类似政权，金字塔高端的一些呼风唤雨之辈未必一定能有所作为，在哲学或科学的垄断产业中，有些真正的学术天才也就不免因暗于世事，而在利益大战中越来越边缘化。朱熹平及其团队脱颖而出，有其偶然性，更有其必然性：他不仅有数学天赋，还幸运地遇到了伯乐丘成桐，又处在环境宽松的中山大学，而他们面对的学术共同体，也不仅仅是国内的，而且是国际性的。但朱熹平们今天的成功，所依赖的宽松环境，正提示着中国没有邓小平同志倡导的改革开放，朱熹平和曹怀东就没有优越的条件，即使朱熹平和曹怀东做出了证明庞加莱猜想的成绩，也如陈景润一样，即使得到有上层的支持，也会得到同样的干扰。
   这中间的路线图在哪里呢？这里涉及庞加莱猜想，也正联系奥地利物理学家玻尔兹曼。例如，庞加莱猜想：空间每一条封闭的曲线都能收缩成的一点是圆球，玻尔兹曼把它定名为“原子”，能以波尔兹曼常数表示出每立米中某种空气的“原子（分子）”数，这在统计力学理论上具有相当重要的地位。但在1872年时，“原子”还是先验的抽象的东西，无人见过、无人经验。但玻尔兹曼坚信“原子”的存在，并凭借自己在数学方面惊人独创的玻尔兹曼方程式和从这一方程中得出的H定理，表明了原子为什么可以解释从气体的变化到大自然为什么不允许导致熵的事件减少。
   但悲剧由此发生，1894年玻尔兹曼接受维也纳大学的教授职位，第二年著名科学家马赫也来到这所大学，他同著名化学家奥斯特瓦尔德共同对玻尔兹曼的研究发起了一场持久的攻击，他们以“唯物主义”为武器，坚持在经验上得到证实的说法才有科学意义；由于没有人见到原子，“唯物主义”就不应当拿原子当真；他们宣称，理解物理学的关键是能量而非原子。二比一的笔头上和会谈上的争论，精疲力竭的玻尔兹曼1906年9月自杀吊死在家中。但玻尔兹曼不知道当时他距打败自己的批评者有多近：在他死前一年，爱因斯坦的论文已表明原子确实存在；在他死后一年，奥斯特瓦尔德也承认玻尔兹曼是对的。
   列宁以无产阶级革命家的勇气，把批判“先验图式”的马赫坚持的“唯物主义”打成唯心主义，为唯物主义与唯心主义的斗争树立榜样，指导了俄国革命的胜利，也指导了中国革命的胜利。这其中的联系是：共产主义社会是人类理想的社会；而社会理想被称作“乌托邦”，联系玻尔兹曼的原子论起源，那是一种最简单最理想的自然物体，是绝对光滑的、不可分的、没有结构的、理想弹性材料的、均分的、虚构的类似台球的“乌托子球”。“乌托邦”和“乌托子球”两者都是没有人见到的东西，如果“唯物主义”认为不应当拿“乌托子球”的原子当真，那么是否无产阶级也不应当拿社会理想的共产主义当真？列宁虽没有把这个打击“唯物主义”的逻辑说出来，但他是心中有数的。
   把社会理想共产主义与“有权的幸福，无权的痛苦”联系起来，俄国唯物主义成功了，中国唯物主义也成功了。“有权的幸福，无权的痛苦”是阶级矛盾的必然产物，走向强调“又红又专”又是“有权的幸福，无权的痛苦”的必然产物；这好似一种双共轭编码，实际还是一种延续的单共轭编码。因为“红与专”在数学上有四种组合：又红又专、只红不专、只专不红、不红不专；只强调“又红又专”，就有时会打击到四分之三的人，不全符合“三个代表”的原则；所以从阶级斗争为纲转到以经济建设为中心，两手都要硬成了一种双共轭编码原则。即以列宁20世纪初开辟的唯物主义与唯心主义的斗争，开始是以阶级矛盾和阶级斗争为主的单共轭“革命”，类似坚持球量子连续统哲学；但马克思列宁主义的实践发展到以邓小平为核心的第二代、第三代、第四代阶段，唯物主义实践已发展到类似双共轭“革命” 的强调要完整、准确理解唯物主义与唯心主义的斗争阶段，从“四项基本原则”已发展到“三个代表”、“八荣八耻”的多共轭编码阶段

小雪

庞加莱猜想证明意义篇（3）
                            （三）
   先验图式该不该批？怎样批？物质有没有先验图式？最基本的一种还是两种？庞加莱猜想证明的意义也许还在这里。因为我国有人认为：类似点与弦的关系，弦与维的概念，只是物质结构在尺度上呈现的不同层次；没有绝对的点，也没有绝对的弦，无论点、弦（线）或是膜（面），在自然界都是再平常不过了客体，正如开弦和闭弦的关系，就像大指姆和食指，张开为弦，闭合为环，没有什么新奇。如果把它们翻译成“庞加莱猜想”的语言，就是球面和环面没有新奇的区别，所以“庞加莱猜想”的证明没有什么意义和用处，没有必要像“庞加莱猜想”那样故弄玄虚。
   有人认为：如果“庞加莱猜想”成了人们思维的先验图式，企图用“庞加莱猜想”整合并修改其它物理理论，将会给科学、哲学和社会带来的危害，其结果是与经验事实发生不少冲突，歪曲了其他理论对物理过程的合理解释，这不仅是学术上的争论，还是一场唯心主义与唯物主义的斗争。
   这后一句说得太好了──这不仅是学术上的争论，还是“科学”与“革命”上的一场“战争”---即用“庞加莱猜想”的语言说，围绕球量子与环量子是一种还是两种先验图式之争，是从20世纪打到21世纪的双百年“战争”。
   那么庞加莱猜想的两种先验图式与玻尔兹曼的原子“乌托子球”一种先验图式，解答的路线图又在哪里？
   核心的关键是，庞加莱提出的“亏格”表示的洞数，就直指玻尔兹曼“先验图式”的原子“乌托子球”；而玻尔兹曼类似“乌托子球”的原子论，并不是现代科学中的原子论，而更类似现代科学中的量子论。而庞加莱猜想到“庞加莱猜想”之外的也是：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成类似一点，其中只要有一点是曲点，那么这个空间就不一定是一个三维的圆球，而可能是一个三维的环面。即庞加莱猜想是分为正定理和逆定理的。到2006年6月1日出版的《亚洲数学期刊》，朱熹平和曹怀东才完全证明了庞加莱猜想---我们称为庞加莱猜想正定理的，但它的逆定理还没有证明，或者它已被朱熹平和曹怀东的证明反证明了。所以庞加莱猜想实际提出了两种“先验图式”的能量与物质的先验图像和经验图像---一是玻尔兹曼的“乌托子球”，一是庞加莱自己没有说出口的“乌托子环”。
   玻尔兹曼的原子“乌托子球”，可以充当大至星球，小至晶体、电子，令人满意地解释固体、液体、气体和等离子的许多性质，庞加莱肯定是能看到的，但庞加莱主要是数学家而不是物理学家，搞现代数学的人都知道，“乌托子球”如球状石头，外部那张曲面---随便哪种曲面都是复杂的；然而一个物体要与周围区别开来，总会攘张皮的。有科学家说，石头是最简单的子弹，原始时代的军队大概会热心研究石头弹道曲线，但原始时代的物理学家不会去碰它，因为石头太复杂，表面一点也不规则，而五种规则的正面体却最简单；但规则的固体也有棱角，把那些棱角磨掉，就得到一个台球，所以原始时代的自然哲学家也喜欢球状石头的研究成果，这就是原子论、量子论的起源，这也是庞加莱猜想的源头。例如，众所周知的欧拉-庞加莱示性数，就与庞加莱猜想有关。
   庞加莱没有把两种先验图式说出口，也许他看到玻尔兹曼的一种先验图式，已经遭到著名科学家马赫拿“唯物主义”向“先验图式”的攻击。另外，他自己也对玻尔兹曼唯“乌托子球”的先验图式不满意---更重要的是，20世纪初已露头的量子论和相对论仍是以类似玻尔兹曼“乌托子球”的一种先验图式，作的能量与物质、时间与空间及其它们的场的量子化。面对这种强大的社会和科学集团的压力，庞加莱深深地失望了，他把庞加莱猜想逆定理深深地埋在心里，用公开“庞加莱猜想”的形式寄托于未来，寄托于未来国际一流的科技尖子人才、国际级科学大师、科技领军人物的出现，寄托于未来真正全面贯彻尊重劳动、尊重知识、尊重人才、尊重创造的社会的出现。
   这里，伟大的革命领袖列宁没有看得出，而且19世纪末和20世纪初即使动摇了整个物理学理论的基础的、接踵而至的一系列新实验事实与经典物理学理论发生的不可调和的矛盾，导致了物理学危机，也没有人看出。当时老一辈的物理学家囿于机械论的自然观，看不清物理学发展的形势，只是企图在旧理论的“乌托子球”框架内进行修补，找不到摆脱危机的出路。新一代的物理学家虽乐于唯物主义新的自然观，看清了物理学发展的形势，但也仍是乐于在旧的“乌托子球”框架内进行“革命”。
   马赫“唯物主义”的学生们，把“一切缺乏直观证据又不符合逻辑推理的东西都必须从知识的殿堂中剔除出去”，定为“唯物主义”的标准，实际也没有错。问题这中间的“逻辑推理”谁在做？做不做？怎么做？有没有客观的标准？现代科学发展到今天，类似自己培养出来的科学技术博士生导师，即使能创立有特色的工程技术理论体系的，但有的也习惯于还拿宪法、党章中坚持的“唯物主义”说事，用来批判“相对论”、“量子论”、“大爆炸宇宙学”等20世纪唯心主义与唯物主义斗争产生的自然科学理论；难道我们的宪法、党章中坚持的“唯物主义”就是一慣用来批判“相对论”、“量子论”、“大爆炸宇宙学”的？恐怕很多人都不同意，因为如果真是这样，我们党中央寄托的国际一流的科技尖子人才、国际级科学大师、科技领军人物的出现，寄托的尊重劳动、尊重知识、尊重人才、尊重创造的局面，就会是一句空话。因为类似“相对论”、“量子论”、“大爆炸宇宙学”是有怎么做的客观标准的。当然，也不能全怪这类说事者，因为这也是我们唯物主义与唯心主义斗争的历史背景的反映，这种争鸣会是长期的。
   能量与物质的先验图像和经验图像的玻尔兹曼“乌托子球”与庞加莱的“乌托子环”图式，是不是唯物主义？其实它们并不缺乏直观证据也符合逻辑推理。就拿看波尔兹曼“乌托子球”先验的数学方程和H定理看，实际他也还是有经验的“原子”图像“球量子”在作基础，其数学表达计算的结果，还是有经验的宏观物质可供检测。所谓的“理解物理学的关键是能量而非原子”，实际既非能量也非原子而是唯象的经验的“球量子”图像──能量没有唯象的经验的“球量子”图像，就没有波尔兹曼的学生普朗克的“量子论”

小雪

庞加莱猜想证明意义篇（4）
                       （四）
   我们认识“乌托子球”和“乌托子环”图式，是上世纪50年代末那个既热烈又饥馑的年代。到上世纪六十年代中，中国理论物理学家们拿出“乌托子球”层次无限可分的层子模型打响了“第一枪”，政治上也迎来史无前例的无产阶级文化革命，把中国推上了“大动荡、大改组、大分化”的绝境，搞得经济几乎到了崩溃边缘。中国有句俗话：物极必反。因为事物还存在“连续”与“间断”的共轭。人类从约公元前500--400年的古代留基开始起，就一直没有停止过对物质或时空微分单元的思考，而提出了“原子”和“虚空”的概念。以“物质无限可分”的命题为例，它是只承认“连续”呢？还是也承认有“间断”的互补或不确定性？完整和准确地理解辩证与唯物，恰恰包含了后者。证明如下：既然有“物质”这个命题，就一有非“物质”这个命题。辩证与唯物也恰恰是以“物质”为第一性，“意识”为第二性作非对易的根本区别的。用数学描述，它们不是正实数和负正实数之间的正反对称和非对易，而是实数和虚数之间的正反对称和非对易。众所周知，在一维的数轴上，实数和虚数之间不存在“连续”的无限可分。而且“物质无限可分”在实数范围也存在“间断”，这就是类似“芝诺悖论”的证明。“物质无限可分”的命题在实数范围内的成立，主要是在整数的情况下。“整数”可以描述“个体”，即使虚拟的也可。所以在一定意义上，也是包括了正反对称和非对易的“连续”的，这在一维的“整数”数轴上可以描述出来。这里的“个体”包括了球状，也包括了环状；而环状是有“连续”与“间断”的“虚空”和“实体”的。综上所述，“物质无限可分”的命题完整和准确地理解，是一个有“连续”与“间断”的互补或不确定性概念，也是一个有完美和简洁性的概念的命题。
   从庞加莱猜想和“亏格”看球量子与环量子的几何拓扑分类，其实“层子”与“夸克”也可以说是相通的，，“层子”与“夸克”都属于球量子，它们的研究者都反对量子力学哥本哈根学派对基本粒子是"点"模型这一“不是无限可分”的诠释。层子模型受到“球量子”时代思维的局限，一味单纯追随坂田昌一的“无限可分”，实际上就是“球量子”无限可分模型。“层子”追随坂田的“体”模型又追随坂田的“无限可分”，实际是一种变相的反“量子论”思潮，因为普朗克创立的“量子论”，实际是在实连续统普朗克长度下不可分的“量子论”；要分，必须转入虚连续统。美国的盖尔曼却不同，他既追随坂田的“体”模型又追随哥本哈根学派对基本粒子“点”模型是“不是无限可分”的诠释思想。他实际是属于“球量子”而又不是无限可分派的。我们对“乌托子球”和“乌托子环”图式的理解，很难得到支持是历史背景的自然反映，所以上世纪八十年代初西方弦理论传遍全国，我们是欢迎的，也感到了轻松。
   今天有人说，在对物质的认识过程中，人们认识到了分子、原子、电子、中子、质子，各种轻光、重子和物质物质波，可是，当人们认识到了夸克之后就再也没能真正地前进一步，于是人们舍弃了对夸克的研究，直接去寻找超弦，宇宙膜、虚粒子、反引力、反物质......人们无法理解奇点、反引力、宇宙膜，也无法诠释多维时空，还有超弦理论，真空中的虚粒子，这不能不是一种悲哀。 他们分析说，爱因斯坦毕竟是前人，他考虑不到的事情可能很多，我们有着多于他的知识和经验，对相对论提出一些质疑或一些批评也应该不是一件太出格的事，例如，如果真有奇点，那么作为形成现在这个宇宙的那个奇点，就永远不会爆发，因为这个顶级奇点的强大引力，会把自己消耗了去，成为一个绝对的空洞，从而失去任何物质的意义。在物理学的核心处出现量子理论和相对论两大体系的不相协调，使得人们陷入了无奈和迷茫，是“唯心主义”既不愿放弃量子理论的成果，又不愿舍弃相对论精神的尖锐矛盾；又由于物理学的无能导致数学的高度发展，目前存在物理数学化的思潮倾向是不正常的---现实中的各种粒子不是在数学方程计算中产生的，引力产生的原因也不是计算出来的---我们人类自身所具有超逻辑超理性的功能属性，才是认识事物的先决性条件。现在数学里的是，说是就是，说不是就不是，是也不是，不是也是；有些完全是人为野蛮性的硬性规定，将不是硬说作了是。
   对此，我们不需要说什么，只请他们看看朱熹平和曹怀东两教授最终证明了百年数学难题庞加莱猜想的报道，有能力的还可以看看他们的证明论文。因为我们的这些同胞也是来自唯物主义与唯心主义斗争的历史背景的反映。李文林先生说，1981年兴起的超弦理论，是以引力理论、量子力学和粒子相互作用的统一数学描述为目标，其中用到的数学已涉及微分拓扑、代数几何、微分几何、群论与无穷维代数、复分析与黎曼曲面的膜理论等。可见它与朱熹平和曹怀东证明庞加莱猜想用的工具一样复杂。我们不能要求90%以上的人都懂得这些，但为了90%以上的人懂得这种辛劳，我们的政府再紧，也紧不了拿些经费，支持用中文出版朱熹平和曹怀东两教授证明庞加莱猜想的论文，平价在新华书店出售。

小雪

庞加莱猜想证明应用篇（1）  
                          曾富
                          （一）
   
   哈佛大学讲座教授、美国科学院院士、中国科学院外籍院士丘成桐2006年6月3日在北京宣布：经美俄中数学家30多年的共同努力，两位中国数学家──中山大学的朱熹平教授和美国里海大学教授及清华大学讲席教授曹怀东，最终证明了百年数学难题──庞加莱猜想。我们等待了40多年的庞加莱猜想证明，终于等到了，因此我们想说：向朱熹平和曹怀东学习！向朱熹平和曹怀东致敬！
   庞加莱是法国数学家，1904年他在一组论文中提出有关空间几何结构的猜想，但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，这就是“庞加莱猜想”：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。 丘成桐院士认为，庞加莱猜想和三维空间几何化的问题是几何领域的主流，它的证明将会对数学界流形性质的认识，甚至用数学语言描述宇宙空间产生重要影响。
   庞加莱猜想证明对用数学语言描述宇宙空间产生重要影响，我们可举在超弦理论上的应用来说明。
   首先我们要对庞加莱猜想的“点”作一个约定：庞加莱猜想中的“点”可以指数轴、坐标、直线、曲线、平面、曲面等等数学空间的数值点、标点、原点、奇点、焦点、鞍点、结点、中心点......而不能指我们说的“曲点”和“点内空间”的点，不然就会产生矛盾。
   因为我们说的“曲点”，是指环圈面、圆环面收缩成的一点，以及“环绕数”收缩成的一点---如圈是“绳”一致分布中间没有打结的封闭线；在这种纽结理论定义中，两个圈套圈的纽结，有一个交点；如果这种圈套圈有两次纽合，圈套圈的纽结“点”就包含了“环绕数”，把有一个以上“环绕数”的圈套圈，紧致化到一个交点，就是一个“曲点”。即“曲点”最直观的数学模型，是指包含“环绕数”的点。而我们说的“点内空间”的点，是指虚数一类虚拟空间内的“点”。
   如果把“在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球”称为“庞加莱猜想正定理”，那么“曲点”和“点内空间”正是来源于庞加莱猜想之外还有的一个庞加莱猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成类似一点，其中只要有一点是曲点，那么这个空间就不一定是一个三维的圆球，而可能是一个三维的环面---我们称为“庞加莱猜想逆定理”。庞加莱猜想至少有两个来源---一个是函数论，一个是代数拓扑学。
   即有人认为，19世纪是函数论的世纪，庞加莱因发明自守函数而使函数论的世纪大放异彩的。所谓自守函数，就是在某些变换群的变换下保持不变的函数。自守函数是圆函数、双曲函数、椭圆函数以及初等分析中其他函数的推广。自守函数今天已包括那些在变换群或这个群的某些子群作用下的不变函数。此外，在复平面的任何有限部分上，这个群完全是不连续的。庞加莱把分式变换群扩充到复系数的情况，并考虑了这种群的几种类型，他把这种群叫克莱因群。对这些克莱因群，庞加莱得到了新的自守函数，即在克莱因群变换下不变的函数，庞加莱把它叫做克莱因函数。此后，庞加莱指出如何借助于克莱因函数表示仅有正则奇点的代数系数的n阶线性方程的积分。自守函数提供了具有某种奇点的解析函数的头一批例子，它们的奇点构成非稠密的完备集或奇点的曲线。代数曲线的参考化定理也是自守函数论的一个结果，它促使庞加莱在1883年导出一般的“单值化定理”，这等价于存在由任意连通、非紧致黎曼面到复平面或开圆盘的共形映射。
   其次，庞加莱是代数拓扑学(组合拓扑学)的奠基人，最先系统而普遍地探讨了几何学图形的组合理论。现在称之为单形的同调论的一整套方法完全是庞加莱的发明创造---其中有流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等概念以及从该矩阵计算贝蒂)数的方法。籍助这些方法，庞加莱发现关于流形的同调的著名的对偶定理；定义了基本群(第一个同伦群)，并证明它与一维贝蒂数的关系，还把贝蒂数和微分形式的积分联系在一起，以及欧拉多面体定理的推广---现称之为欧拉—庞加莱公式：
       x（D）=F－E+V                 （1）
   这个式子的右边是和三角剖分的方式有关，但实际上x（D）和剖分的方式无关，它是曲面的一个拓扑不变量。对于紧致曲面，边界曲线不出现，仍然可以作三角剖分，因可求得：
   （1）球面：x=2；
   （2）环面：x=0；
   （3）二个洞的曲面：x=－2；
   （4）n个洞的曲面：x=－2（n－1）。
   根据拓扑学的定理可知，任何定向的二维紧致曲面的欧拉--庞加莱示性数总是取2，0，－2，…，－2n，…中的一个，而且示性数相同的紧致曲面同胚。因此，x就完全给出了定向的紧致曲面的拓扑分类。 称为s的亏格，即s的洞数。因此，可以求出：球面的亏格为0，环面的亏格为1，这也是球面与环面不同伦的区别。
   亏格涉及事物的整体性质，20世纪以来，人们对整体性质研究得非常多，但其实很多性质仍然是从子系统的研究得出的。微分几何和拓扑学首先注意到，许多曲面，如球面，环面，椭球面，单叶双曲面，双叶双曲面等，都是一个整个，除了它们各个小片所具有的几何性质外，还有整个曲面所具有的几何性质，称为整体性质。比如说，球面的任何一条测地线都是闭曲线（大圆），又如平面上任何一条测地线（直线）可以无限延伸，这就是整体性质。设U为二维欧氏空间的一个矩形区域（a<u<b，c<v<d），或者是和矩形区域同胚的区域，如单位圆内部，平面上凸区域等，r(u，v) 是U到三维欧氏空间E3的一个映照。
     r(u，v)=(x(u，v)，y(u，v)，z(u，v))          （2）
   S是这个映照的像。球面、环面都是紧致的，而平面则是非紧致的。一般地，曲线可能穿过若干个坐标区域，那么在每一坐标区域中都可有它自己的表达式，在每个区域中的部分，就可以计算出它的弧长。假设D是S上的一个区域，它的边界是由互不相交的n条简单的分段光滑闭曲线所组成；这些弧之间除连接点外没有交点，由拓扑学可知，可以把D三角剖分，即把D分割成许多以三条曲线段为边界的曲面三角形。如果所考察的曲面是定向的，设法线方向为大拇指方向，依右手规则可以定出每一三角形的边界的定向，这时内部边界的定向刚好相互抵消。经过这样剖分后得出三个数：F是三角形的个数，E是边的条数，V是顶点的个数，它们就是前面欧拉-庞加莱示性数（1）中符号表示。
   正是庞加莱提出的“亏格”表示的洞数，直指“庞加莱猜想正定理”和“庞加莱猜想逆定理”；也直指超弦理论中构造的开弦和闭弦这两个不同的庞加莱猜想版本。因为按庞加莱猜想在一个三维空间中，开弦曲线及其开弦运动形成的二维膜上的每一条封闭的曲线，都能收缩成一点，因此它们形成的空间是类似同伦、同调、同胚于一个三维的圆球的；相反，闭弦曲线及其闭弦运动形成的二维膜上的每一条封闭的曲线，都不能收缩成一个“庞加莱猜想点”，因此它们形成的空间不是类似同伦、同调、同胚于一个三维的圆球，而是类似我们说的“曲点”。
庞加莱猜想证明应用篇（2）
                        （二）
    庞加莱猜想证明封顶，对解决超弦理论和圈量子引力理论的统一带来了曙光。道理就在单孔收缩与双孔收缩的性质不一样，其统一路线图如下。
    1、庞加莱猜想证明揭示了点有三种实在论的性质，可联系宇宙中的物质、能量和信息三个“要素”。例如，在一张纸页上放一粒沙（类似实物），是一个“点”；在纸上打个针孔眼（类似破裂、虚空），是一个“点”；在纸上作个笔尖墨迹印子（类似中性），是一个“点”。物质类实，可对应粒沙“点”；能量类虚，可对应针孔“点”；信息类中性，可对应墨迹“点”。所以对庞加莱猜想中的“点”首先要作个约定，证明才不会有矛盾。即约定：粒沙“点”和墨迹“点”是归属“庞加莱猜想点”；而针孔“点”是归属我们说的“曲点”。其次，数学要考虑形式上的构造，也要考虑实际意义，对庞加莱猜想中的“收缩”也要作个约定：它类似连续统假设。所谓连续统假设指：在可数集基数和实数集基数之间再没有别的基数。但中国古人对于无限的认识有“一日之棰，日取其半，万世不竭”；又有“至大无外，至小无内”。连续统假设建立在明确集合元素的意义和集合之间的关系是否相容，现有了连续统的“收缩”假设，就用不着反复讨论，否则可以无限的分下去，用老话讲就叫不着边不靠谱。但同样的连续统在时间、空间、几何、数量的表示关系上是不一样的，数学连续统假设的独立性存在任意性，有限与无限之间应该设定一个界限：集合永远不能属于自身，全集合是不存在的；但绝不可以任意无原则的等同，庞加莱猜想中“收缩”的集合条件是指，不管基数的大小即使量子化也是连续的，而对于没有现实意义的集合，这样做没有意义。
   2、用庞加莱猜想证明分析超弦理论并列构造的开弦、闭弦两个不同的庞加莱猜想版本，即开弦是对应在三维空间中，开弦曲线及其开弦运动形成的膜上的每一条封闭的曲线都能收缩成“庞加莱猜想点”，因此是类似“庞加莱猜想正定理”对应的一个三维的圆球；而闭弦曲线及其闭弦运动形成的膜上的每一条封闭的曲线都不能收缩成“庞加莱猜想点”，因此是类似“庞加莱猜想逆定理”对应的一个三维的“曲点”。在超弦理论中开弦和闭弦是如何统一的呢？它是避开了庞加莱猜想这个程序，直接跳入轨形拓扑这个程序才解决的。因为在有弦论之前，就有Kaluza-Klein理论考虑过有可能实际的空间是超过三维的：一加一维的弦运动出来的这个曲面，存在的二维空间像一个管子一样，假设这个管子很细的话，在管子的截面方向上均匀地分布的就是微小圈。把它变成三维跟二维的模拟的话，就是有两个三维的空间，但是其中一个方向是被限制在一个很小的范围上，也许这个很小的距离加上周期的边界条件，要求所有的物理量都有周期性的性质。但是为什么可以假设大部分的东西都是在这个小的维度上均匀地分布呢？这是根据量子力学，这个在很小的维度的方向上面如果有一个物质的质量有变化的话，那么总是可以对它分成正弦函数或者余弦函数的迭加，其中的每一个正弦或余弦函数，它对应到的动量或能量会和这里面出现的几个周期，会由这个整数除以额外维度的宽度R这个数字决定。
   3、用庞加莱猜想证明的分析，不但能分出了开弦与闭弦的对立，也能分出三维空间与额外维空间以及宏观与微观的定量区别。因为早在庞加莱猜想诞生之前，人们已经开始注意到了庞加莱猜想中的“连续”与“间断”的共轭与区别，特别是19世纪末玻尔兹曼的“乌托子球”原子论对应庞加莱猜想的一个三维的圆球，能令人满意地解释固体、液体、气体和等离子的许多性质，用其中的波尔兹曼常数能推出每立米中某种空气的“原子（分子）”数，为宏观与微观作出第一个的定量区别，从而加深了宏观与微观中粒子与波场的对立。
   4、第二是在20世纪后的电子和光子等微观粒子的双缝实验中，“庞加莱猜想球”与“庞加莱猜想孔”在单缝实验中的粒子与波场的对立并不明显，从而加深了庞加莱猜想对宏观与微观的再认识：即庞加莱猜想虽然把时空中分成了“连续”与“间断”的共轭，但在只有一个“庞加莱猜想孔”的“间断”空间内，庞加莱猜想是等价的，即在“间断”的空间也能收缩成一点；但在双缝实验类似有两个“庞加莱猜想孔”的情况下，“连续”与“间断”不能兼容，三维与额外维就以粒子与波场对立的几率幅的定量形式显示出来了。
   5、第三是把单缝和双缝的缝宽与普朗克尺度作比较，电子等粒子的半径在大约10的－12次方厘米到10的－15次方厘米对应的缝宽范围，动量和位置出现的不确定性显示的量子干扰，是确定宏观与微观的又一定量区别；而且粒子的物质性与粒子的能量性的区别，定量地显示出能利用庞加莱猜想反证的曲点，按戴德金的分割观点建构量子化---曲点自旋分割，产生时空和质能量子化曲点，沿相反方向的趋势飞散。其次，也不能再把时空曲点和质能曲点当成是单独的一样东西；量子化由时间曲点和空间曲点对组成时空曲点群、质量曲点和能量曲点对组成质能曲点群。
   6、于是再通过著名物理学家费曼拓展双缝实验建立的量子路径求和概念，就可以把超弦理论和圈量子引力理论的统一起来：费曼关于量子振幅的路径求和观点是：A、原始的双缝实验，电子有两条可能的路径。B、源与探测器之间有两块屏，屏上共有五条缝，可能的路径数目现在变成了六。C、插入更多的屏幕，每块屏幕上刻更多的缝，最后就跟完全没有屏幕一样，电子从源S到探测屏D的总几率幅就变成了所有可能路径的求和。把费曼以上观点变成庞加莱猜想证明就是，A、原始的双缝实验，是两个“庞加莱猜想孔”式的曲点，电子有两条可能的路径。B、源与探测器之间有两块屏，屏上共有五条缝，是五个“庞加莱猜想孔”式的曲点，可能的路径数目现在变成了六。C、插入更多的屏幕，每块屏幕上刻更多的缝，类似时空全都是由曲点组成，最后时空就跟完全没有屏幕一样，电子从源S到探测屏D的总几率幅就变成了所有可能路径的求和。这个总几率幅是所有可能路径的求和，叫做超弦理论或圈量子引力理论的作用量，它是时空与质能内禀的度规和位置的矩阵的泛函，即可推出与现在超弦理论或圈量子引力理论相似的作用量公式
庞加莱猜想证明应用篇（3）
                              （三）
   把超弦/膜、圈量子引力、全息论变成“傻瓜”普及理论，接下来是利用庞加莱猜想证明仔细分析针孔眼“点”的那种庞加莱猜想式曲点的情况：时空是穿过针孔眼的，它实际上是环面。不管是用一张膜或一张纸，还是用两张膜或两张纸，作类似黎曼切口的轨形拓扑，可作25种卡--丘流形的规范轨形拓扑，且只能作25种；其中无孔的4种，有孔的21种。这实际是25种子流形，可联系25种宇宙模型或25种物质族基本粒子问题。由此，黎曼切口可等价环量子膜；点外时空或线外时空，点内时空或线内时空，它们的势能与动能，可分别对应能量与暗能量；而物质和暗物质，也可从环量子三旋规范夸克立方周期全表出发，以“量子避错编码”眼光看待，发现物质与暗物质共约162个量子编码，按广义泡利不相容原理及夸克的味与声的避错选择原则，宇宙物质约占24个。即可定义物质为宇宙量子避错码；暗物质为宇宙量子冗余码。
　  从上面已知，在数学上，从庞加莱猜想对球量子与环量子“亏格”的几何拓扑分类看，超弦理论因保留有弦和圈不分，因此存在圈在先还是弦在先的问题。如果是弦在先，圈在后，有如下的“天使悖论”：在普朗克尺度数量级，这实际近乎一个点，超弦理论却认为它是一根不同振动模式的基本弦或膜，这实际近乎是一种曲线或曲面。如果赞成物质和时空存在“连续”与“间断”的想法，而对应实体和虚空，那么在高达10的15至19次方GeV的尺度上来观察自然时,就应赞成自然的终极组成不是粒子或场。就是说，在10的15至19次方GeV高能的作用下，可以聚焦到万有引力和量子理论中的基本长度单位---约为10的－33次方厘米的普朗克长度范围；由于场是多粒子系综状态，而对于是10的－33次方厘米之小，也许只能容下一个粒子。所以，若问在“乌托子环”三旋的“针尖”上能站几个“天使”跳舞？回答即使一个“天使”，也能由环量子自旋涨落分叉出正反粒子对的时空和物质场系综。但若问在超弦的“针尖”上能有几个“天使”跳舞？由于超弦用弦的场振动描述作用量，其悖论是，弦的振动驻波的波节，超出9个必然超出普朗克尺度规定的数量级；就是说，超弦“针尖”上的“天使”超出9个的小与多，都会与普朗克尺度规定的数量级相矛盾。若再问在圈量子引力理论的“针尖”上能有几个“天使”跳舞？圈量子引力理论没有困境，是因为它一开始就把普朗克尺度微单元和场的自旋网络并列的，即它的“针尖”既是站一个“天使”又是多个“天使”等着的，它们类似用圈套圈的纽结图组合的，“自旋”不是真正的环量子自旋。
   圈套圈的纽结应用到普朗克尺度物理中，其耦合来自类似麦克斯韦的电磁场理论：变化的磁场产生电场，变化的电场产生磁场的联系，而形成一个不可分离的统一的场，这实际是一种“庞加莱猜曲点”套“庞加莱猜曲点”的线旋运动。这跟圈量子引力强调的理论必须背景独立是一致的：圈量子引力把广义相对论看成是一个以联络为位形变量，密度化的标架为动量变量的规范场论；因此利用曲点类似希尔伯特空间的由自旋网络函数为基构成的平方可积函数空间---相当于是无穷多个有限维希尔伯特子空间的直积空间，使其数学上可严格的定义出位形算符和动量算符，如几何算符的量子化，即面积、体积等几何量像原子能谱一样分立取值，而不是像经典理论那样可以连续的取值；这种分立性对应于动量在普朗克尺度下的截断，可解出曲点量子引力的运动学约束，得到了运动学希尔伯特空间。
  而对于超弦理论的一根弦出现的又一个悖论是：弦只有普朗克尺度10的-33方厘米长，却具有普朗克质量大的质量；普朗克质量大约是质子质量的10的19次方倍。质量是由希格斯粒子提供，希格斯粒子质量大约是115GeV。根据物质族质量谱计算公式得出的Ve中微子质量是1.47X10的-11次方GeV，如以Ve中微子的质量作希格斯粒子质量的单位，希格斯粒子是Ve中微子的10的13次方倍。质量是由小组成大，没有由大组成小的；但超弦理论和标准模型就有这个矛盾。质量曲点论主张希格斯粒子质量有微单元质量0.01X10的-11次方GeV，从而可把希格斯微单元与磁单极联系起来，解决弦在先圈在后的天使悖论。
   这是把磁单极作弦，联系构筑闭弦旋圈。因为费曼认为，虽然至今尚无人见到磁单极，但磁单极的根本因素是粒子转动性质与它们的统计性质之间的联系：可以想象它像一根很长的条形磁铁，从磁铁的一端发出的磁通，就有点像这种磁单极发出的，因为另一端离开得很远。而一个电荷附近有一个磁单极，这个复合客体具有一个角动量的最简单方式是，一个电荷和一个磁单极连线组成的复合客体，以ω角度作圆锥面转动。而“庞加莱猜想”的曲点三旋是：体旋──曲点绕圈面内轴线的旋转，面旋──曲点绕垂直于圈面的圈中心轴线的旋转，线旋──曲点绕圈体内环状中心线的旋转。如果曲点三旋是“内禀”运动，就只能存在于环量子中。
   在这里，曲点三旋称电荷和磁单极的连线为转轴，称电荷或磁单极为转点；环量子就是超弦理论认为的一维弦的包含着卷缩在普朗克尺度中的卷缩维。弦的微单元可分到10的-33次方厘米，因这仅是长度单位，不和质量单位的希格斯微单元0.01X10的-11次方GeV矛盾。对比弦的质量是质子质量的10的19次方倍，弦实际是希格斯微单元质量的系综，其数目也不是趋于无限大。这也说明，为什么至今尚无人见到磁单极？就因为相通的磁单极，只能存在于弦及希格斯的微单元。这个“形象思维”是，一般的开弦和闭弦是由若干有限的希格斯质量微单元类似的曲点串联起来的，如果这些希格斯微单元类似电荷和一个磁单极连线组成的像一端不动，另一端连同整体作圆锥面转动的复合客体，那么开弦就存在“内禀”的类似三维圆球的体旋自旋运动，而闭弦则存在“内禀”的类似超导线圈磁场的线旋自旋运动。再由量子环的三旋密码，也可以建构夸克三旋模型。
   庞加莱猜想证明应用于类似时空全都是由曲点组成的三维空间，自恰的弦论要求空间必须是九或者以上数目，就不成问题，因为庞加莱猜想证明时空在波尔兹曼常数计数粒子的地方，或大约在10的－12次方厘米到10的－15次方厘米以上范围，是属于三维空间，小于这个界面由于动量和位置的不确定性，额外的空间维数，可由理论的约定推导选择。五维时空就是曲点选择的基本时空。庞加莱认为这里，对于不连续的几率函数的情况，它将起哈密顿微分方程的作用；而任何孤立系统乃至宇宙也象粒子一样，会突然地从一个状态跃迁到另一个状态，但是在间歇期间，它依然是不动的。庞加莱猜想证明应用于类似时空全都是由曲点组成的三维空间，能量量子化由曲点三旋单群决定，可以变成像矩阵的东西，也可以把这个矩阵对角化，然后这个对角的这些数字就当作在测量的时有可能会量到的数字。这个过程也叫做量子化；正是它们引导庞加莱猜想曲点证明，应用往来于数学世界和实在世界。

巧了，我手头上正好有一篇文章，是人民日报的论坛上，“数学”先生的：

[数学]试图通俗地讲一下庞加莱猜想是怎么回事
[数学] 于 2006-06-06 10:42:08上贴

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试图通俗地讲一下庞加莱猜想是怎么回事

据说庞加莱猜想被中国人证明了，那个证明的长度有三百多页，这样一来就成了中国人的骄傲。本贴子因此就打算通俗地介绍一下庞加莱猜想是怎么回事。

因为，要说起来这个猜想的术语那是很抽象的，是说“单连通的闭三维流型同胚于三维球面”，但是这让数学的外行害怕，一害怕就不敢研究。但这样就有问题，万一其它专业的人要利用这个原理呢？所以我尝试用通俗的办法来讲一下什么是庞加莱猜想。

首先，我以前一直就是有一个观点，那就是数学家真没有意思，数学家要证明的东西，往往在常人看来，都是废话。什么是废话呢？比如人不吃饭要饿死，汽车没有火车跑得快这样的肯定对头的话，或者在常人看来理当如此的话。但是数学家们偏要证明一下，而且证明起来还挺难。

比方说吧，两点之间直线最近，这件事情不要说每一个人知道，甚至连一条狗都知道。但是你要真正证明它，光大学的高等数学知识还是不够的，还要进修泛函分析，变分法，这才能够证明这件事情，瞧这多麻烦？

好，现在来讲这个庞加莱猜想是什么回事，后面大家会看到，那其实也是一个废话。当然，现在已经证明了，就是庞加莱定理了。因为是在三维空间，因此就好说了。

我们居住的房子，如果里面没有摆放任何家具，当然就是一个长方体的形状的空间，有长，宽，高。当然，我们不讨论这样的通常的房子。

我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一下，一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。

嗨，我不妨假设这个球形的房子周边其实是钢做的表面，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球型房子里呆着。

现在拿一个汽球来，带到这个球形的房子里。随便什么汽球都可以（我一开始故意这么说，其实对这个汽球是有要求的）。这个汽球并不是瘪的，而是已经吹大成某一个形状了，什么形状都可以（后面要说明这也是胡说，其实对形状也是有要求的）。但是这个汽球，我们还可以继续吹大它，而且假设汽球的皮特别结实，肯定不会被吹炸了。还要假设，这个汽球的皮是无限薄的。当然，又无限薄又能够结实，这本身就是脱离实际了，但是没有办法啊，科学总是要抽象的嘛，不让抽象我们就得不出什么成果。

好，现在我们继续吹大这个汽球，一直吹啊吹。吹到最后会怎么样呢？那个庞加莱先生就猜想了，吹到最后，一定是这个汽球的表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙了。

当然，还要有一些假设，就是我们这个人不能呆在这个球形房子里，否则的话汽球会有一部分贴到人身上，而不是贴到墙壁上了。可是没有人怎么吹汽球呢？哎呀抽象嘛。我们可以假设有一个小精灵躲在汽球里面吹，用一个压缩的空气瓶吹。或者，也可以不是吹这个汽球，而是在这个大球形的，非常结实的钢制的房子外面抽气，把房里的气抽光，则汽球里的空气就能够膨胀，也能够达到效果，反正最后一定是能够汽球的表面和房子墙壁紧紧贴着，一点缝隙都没有。

但是这个猜想到现在还不严格。如果这个汽球只是一个长形的，或者球形的，那是可以做到的。但是，如果这个汽球是一个救生圈的形状，那就不行了，因为救生圈在不断吹大的时候，最后有一些表面并不是紧贴在墙面上，而是会相互挤在一起。

因此，这个猜想就必须把类似救生圈一类的汽球排除开。认为拿这样的汽球来吹属于赖皮行为。

最后定的规则是这样，就是，如果我们钻到那个汽球里去（假设我们是小人国里的小精灵，会飞），我们用一只苍蝇，用一根线绑在苍蝇身上，（假设这根线无限细且没有重量。然后让苍蝇随意地到处飞。这样，我手中的线就象风筝线一样不断地放出去，最后那个苍蝇还要飞回来，飞回来以后，我把栓在苍蝇身上的线头解下来，和我手中的线系在一起，这就构成了一个圈，或者叫一个绳套吧，能够把人勒死的那种。然后把这个绳套往自己怀里拉，拉呀拉，最后总能够把这个绳套统统都给拉回来。比如说，救生圈形状就不行，因为如果苍蝇在救生圈里飞了一圈回来，我这个结成的绳套就肯定收不会来，而给挡在那里了。那么，这样的汽球就不符合要求。

因此，我要求的汽球，它的形状虽然可以随意，但是，里面的任何一根封闭的曲线，或者说绳套吧，都不会绕过一根类似柱子这样的东西，或者说，这个汽球看上去没有“孔”，不象救生圈那样，可以把一个头伸进去。这样的汽球，数学家起了一个名字叫“单连通”，之所以要起这么吓人的名子，无非是为的显示自己挺有学问罢了，吓唬人的，无非是一个整个的不带孔的汽球嘛。

也就是说，庞加莱定理，说的就是，一个单连通的汽球（市面上卖的汽球大多数都是单连通的），在一个球形的房子里使劲地吹，最后一定能够使汽球的表面和球形房子的墙壁紧紧贴着，一点缝隙都没有。当然，得假设这个球形的房子里的空气，随着汽球的吹大，是会被排光的。

瞧，就这么个事，象不象废话啊？为证明这件事情花了三百多页，是不是有一些吃饱了撑得慌？

不光如此，这说法还如此地学究，什么“单连通的闭三维流型同胚于三维球面”，吓唬人不是？硬要将汽球说成是流型，显摆自己学问深不是？唉，总算球面大家还是知道的。什么叫“同胚”？也够吓唬人的，就是把汽球吹大后两个表面紧紧贴着。

所以啊，诸位小朋友们也可以想一些这样的废话，也就可以给出中国人给出的猜想了。现在光是外国人有猜想，中国人却没有。要我早知道庞加莱瞎猜的东西有这么简单，我就提前猜想了，让别人累得半死去证明去。那我多有名啊。

其实这样的猜想我也已经想到了一个。上面不是讲如果一个汽球是球生圈的形状，就不能够在一个球形的房间里吹大且和球形的墙壁紧密接触吗？那么好了，我这儿也设计一个巨大的房子，不是球形的，是一个球生圈形状的，而且，那个救生圈形状的汽球也套在这个巨大的房子里，这样我再吹这个汽球，它就肯定和这个房子的墙壁紧密接触了吧？

好，现在本人提出二十一人民网强国论坛数学网友提出的最伟大的数学猜想如下：

将一个内胎置入一个外胎里，然后对这个内胎使劲打气，最后的结果一定是内胎的外表面和外胎的内表面亲密接触。

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Quotations by Henri Poincaré

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Mathematicians are born, not made.
I entered an omnibus to go to some place or other. At that moment when I put my foot on the step the idea came to me, without anything in my former thoughts seeming to have paved the way for it, that the transformations I had used to define the Fuchsian functions were identical with non-Euclidean geometry.

In the old days when people invented a new function they had something useful in mind. Now, they invent them deliberately just to invalidate our ancestors&#39; reasoning, and that is all they are ever going to get out of them.

How is an error possible in mathematics? A sane mind should not be guilty of a logical fallacy, yet there are very fine minds incapable of following mathematical demonstrations. Need we add that mathematicians themselves are not infallible?

Point set topology is a disease from which the human race will soon recover.
Quoted in D MacHale, Comic Sections (Dublin 1993)


Later generations will regard Mengenlehre (set theory) as a disease from which one has recovered.
[Whether or not he actually said this is a matter of debate amongst historians of mathematics.]
The Mathematical Intelligencer 13 (1991).

Mathematics is the art of giving the same name to different things.
[As opposed to the quotation: Poetry is the art of giving different names to the same thing].

What is it indeed that gives us the feeling of elegance in a solution, in a demonstration? It is the harmony of the diverse parts, their symmetry, their happy balance; in a word it is all that introduces order, all that gives unity, that permits us to see clearly and to comprehend at once both the ensemble and the details.
Quoted in N Rose Mathematical Maxims and Minims (Raleigh N C 1988).

Thus, be it understood, to demonstrate a theorem, it is neither necessary nor even advantageous to know what it means. The geometer might be replaced by the "logic piano" imagined by Stanley Jevons; or, if you choose, a machine might be imagined where the assumptions were put in at one end, while the theorems came out at the other, like the legendary Chicago machine where the pigs go in alive and come out transformed into hams and sausages. No more than these machines need the mathematician know what he does.
Quoted in J R Newman, The World of Mathematics (New York 1956).

Talk with M. Hermite. He never evokes a concrete image, yet you soon perceive that the more abstract entities are to him like living creatures.
Quoted in G Simmons Calculus Gems (New York 1992).

Science is built up with facts, as a house is with stones. But a collection of facts is no more a science than a heap of stones is a house.
La Science et l&#39;hypothèse.

A scientist worthy of his name, about all a mathematician, experiences in his work the same impression as an artist; his pleasure is as great and of the same nature.
Quoted in N Rose Mathematical Maxims and Minims (Raleigh N C 1988).

The mathematical facts worthy of being studied are those which, by their analogy with other facts, are capable of leading us to the knowledge of a physical law. They reveal the kinship between other facts, long known, but wrongly believed to be strangers to one another.
Quoted in N Rose Mathematical Maxims and Minims (Raleigh N C 1988).

Mathematicians do not study objects, but relations between objects. Thus, they are free to replace some objects by others so long as the relations remain unchanged. Content to them is irrelevant: they are interested in form only.

Thought is only a flash between two long nights, but this flash is everything.
Quoted in J R Newman, The World of Mathematics (New York 1956).

The mind uses its faculty for creativity only when experience forces it to do so.

Mathematical discoveries, small or great are never born of spontaneous generation They always presuppose a soil seeded with preliminary knowledge and well prepared by labour, both conscious and subconscious.

Absolute space, that is to say, the mark to which it would be necessary to refer the earth to know whether it really moves, has no objective existence.... The two propositions: "The earth turns round" and "it is more convenient to suppose the earth turns round" have the same meaning; there is nothing more in the one than in the other.
La Science et l&#39;hypothèse.

...by natural selection our mind has adapted itself to the conditions of the external world. It has adopted the geometry most advantageous to the species or, in other words, the most convenient. Geometry is not true, it is advantageous.
Science and Method.

One would have to have completely forgotten the history of science so as to not remember that the desire to know nature has had the most constant and the happiest influence on the development of mathematics.

Les faits ne parlent pas
Facts do not speak.


If one looks at the different problems of the integral calculus which arise naturally when one wishes to go deep into the different parts of physics, it is impossible not to be struck by the analogies existing. Whether it be electrostatics or electrodynamics, the propogation of heat, optics, elasticity, or hydrodynamics, we are led always to differential equations of the same family. American Journal of Physics 12 (1890) 211.

When one tries to depict the figure formed by these two curves and their infinity of intersections, each of which corresponds to a doubly asymptotic solution, these intersections form a kind of net, web or infinitely tight mesh . . . . One is struck by the complexity of this figure that I am not even attempting to draw.

If geometry were an experimental science, it would not be an exact science. it would be subject to continual revision ... the geometrical axioms are therefore neither synthetic a priori intuitions nor experimental facts. They are conventions. Our choice among all possible conventions is guided by experimental facts; but it remains free, and is only limited by the necessity of avoiding every contradiction, and thus it is that postulates may remain rigorously true even when the experimental laws which have determined their adoption are only approximate. In other words the axioms of geometry (I do not speak of those of arithmetic) are only definitions in disguise. What then are we to think of the question: Is Euclidean geometry true? It has no meaning. We might as well ask if the metric system is true and if the old weights and measures are false; if Cartesian coordinates are true and polar coordinates are false. One geometry cannot be more true than another; it can only be more convenient.
Quoted in M J Greenberg, Euclidean and non-Euclidean geometries: Development and history (San Fransisco, 1980).

The scientist does not study nature because it is useful; he studies it because he delights in it, and he delights in it because it is beautiful. If nature were not beautiful, it would not be worth knowing, and if nature were not worth knowing, life would not be worth living. Of course I do not here speak of that beauty that strikes the senses, the beauty of qualities and appearances; not that I undervalue such beauty, far from it, but it has nothing to do with science; I mean that profounder beauty which comes from the harmonious order of the parts, and which a pure intelligence can grasp.

... it may happen that small differences in the initial conditions produce very great ones in the final phenomena.

Zero is the number of objects that satisfy a condition that is never satisfied. But as never means "in no case", I do not see that any progress has been made.