经济学和数学学习中的一点感想(转)

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正如Hayek所说，经济学理论总是从给定人们的偏好这一假设开始运作的，而效用函数几乎是偏好的一个等价物。学过高级微观经济学的人都知道，偏好在适当条件下是可以由一个“连续”的效用函数表示的。好，问题被引出来了，什么叫“连续”？当时在学习Mas Collele的书的时候只是把连续理解成数分中的定义，即当自变量很接近时，应变量也很接近，记得当时老师介绍了一种对偏好连续的定义，也就是上下轮廓集都是开集。初学的时候觉得偏好的连续和函数的连续是没有什么关系的。但是自从学了拓扑学之后才发现，以前对于这些内容自己上没有真正搞明白的。有一定数学成熟度的人都会知道，给了一个集合之后我们可以定义三个方面的东西：定义代数结构，定义拓扑，定义偏序关系（当然数学中的定义和高级微观中的 preference是有差异的）。（这样高度的概括并非自己以前所想，而是前段时间和李博师兄在交流时听见的。）而高级微观正是以消费品的空间这样一个最基本的空间为出发点，然后定义该空间上的理性偏好，接着书中似乎并没有讲清楚的是，理性偏好是可以诱导一个拓扑的（我前些时间已经自己证明了，{x: y>x,x属于X},{x:x>y,x属于X},{x:x>a,and b>x}恰好构成了拓扑基）。从这个角度来看定义偏好的连续性（{x:y>x,x属于X}，{x:x>y,x属于X}为开集）也就是等价于定义了拓扑。众所周知，没有了拓扑是谈不上什么连续性的，连续性有2中定义，一种是基于拓扑的，另一种是基于度量的（其实也是拓扑的，因为度量可以诱导拓扑，而且2者连续性是等价的）。在其他的一些数学分支中有很多种方法定义连续，其本质无外乎是“内积诱导范数，范数诱导度量，度量诱导拓扑”，这就是我在没学拓扑前的知识范围。可是学了拓扑之后，才明白，高级微观中的理论不是沿用这套办法来的，因为距离在经济学中实在是没有什么直觉性的含义，所以经济学家就采用了上问中所说的对集合定义一些内容的三种方法中的第三种——先定义一个理性偏好，再通过定义偏好的连续性来给出拓扑基，定义拓扑，然后再通过连续效用函数的存在定理引入效用函数，从而才使得经典的消费理论得以展开。在一开始学习高微的时候是想不到这些的，可从另一个角度来看，这只是理论上起到了基石的作用，即使不懂好象也不会影响后面的经济理论的学习。但是从一个热爱数学的人的角度来看，想清楚了这些东西确实是过瘾啊。经济学毕竟是经济学，有些事情并不是经济学家天生的责任。比如说现在很多教材和文章中的FOC,很多经济、金融学的文献中都直接给出某些优化问题（包括动某些最优控制问题）的 FOC,却从没有证明过这种必要条件的充分性。也许有的文章或教科书中会给出所谓的二阶条件，认为这就是充分条件，其实这是完全错误的（至少说从数学理论上来讲是错误的），因为所谓的SOC也只是说只要满足这个条件就满足局部最值，可经济学要做的是要找全局的最值啊。当然这不是经济学家的错，因为毕竟经济学家关心的是社会问题，就像物理学家关心的是物理问题一样，举个例子吧，以前的物理学家总认为常微分方程是有解的，他们所用的思维方法和现在数学中用级数逼近的方法有些类似，他们把常微分方程看成是对运动的描述，而他们认为用折线的运动总可以去逼近那些连续的运动（在数学中也就是那些由常微分方程的系统所构造出来的级数总是一致收敛的，而且恰好收敛于方程的解），物理学家的思维方式从哲学上来讲是没有错误的，他们做为物理学家来说是称职的。因此经济学家有些通过经济学直觉给出最优解的方法是可以接受的，比如很多优化问题的约束是带有>=的，一些书上总是说由于市场是竞争的，因此最终的均衡总会取=，想想那些物理学家的做法现在就觉得这些用经济学直觉的方法是可以接受的了。虽然说做这些优化并不是经济学的核心要务，也不是经济学的精髓，但是对于一个热爱数学的人来讲，一开始就接受这些算不得高度严格的东西是一件痛苦的事情。至少说，我以后写文章时是一定会给出充分条件的。（幸好，在学习数学分析时钟寿国老师曾教我们一些技巧，如何做优化，大体思路就是先证明并找出最优点的位置，然后在用FOC，这个暑假有时间就把这些方法整理出来。）.进大学已经2年了，学了2年的经济学和数学，我觉得自己还是相当热爱这些东西的，也没有什么原因，就是觉得学习并进行思考很过瘾。前几天什么都没有做，几乎是在网上荒废了，昨夜睡在床上，突然也就想起了上面所写的一些东西，于是今天中午草草地记录下来，以飨网友。可能我的一些观点是错误的，也许很多东西是可以用严格的语言来说的，可能只是我们现在还学得太肤浅罢了。