2003年度诺贝尔经济学奖获得者及其时间序列模型简介

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2003年度诺贝尔经济学奖获得者及其时间序列模型简介

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注：本文由 王瑞泽 译
一 背景介绍



瑞典皇家科学院10月8日宣布，把2003年诺贝尔经济学奖授予美国经济学家罗伯特·恩格尔(Robert F. Engle)和英国经济学家克莱夫·格兰杰(Clive W.J. Granger)，以表彰他们在“分析经济时间数列”研究领域所作出的突破性贡献。
恩格尔1942年生于美国纽约的锡拉丘兹，1969年获美国CORNELL大学博士学位，现为美国纽约大学金融服务管理学教授。他在上世纪80年代创立了一种被经济学界称之为“自动递减条件下的易方差性”(又称“自回归条件异方差过程”----autoregressive conditional heteroskedastic process,简称ARCH模型)理论模式，并提出了根据时间变化的变易率(time-varying volatility)进行经济时间数列分析的方式。瑞典皇家科学院称赞恩格尔的分析方式对经济学研究具有“重大的突破性意义”，而且他的ARCH理论模式已成为经济界用来进行研究以及金融市场分析人士用来评估价格和风险的必不可少工具。
格兰杰1934年生于英国威尔士的斯旺西，现为英国公民。他1959年获英国诺丁汉大学博士学位，现是美国圣迭戈加利福尼亚大学荣誉经济学教授。据瑞典皇家科学院介绍，格兰杰对经济学研究的一大杰出贡献是，发现非稳定(non-stationary)时间数列的特别组合可以呈现出稳定性，从而可以得出正确的统计推理。他称此是一种“共合体”(学术上译为协整cointegration)现象，并提出了根据同趋势(common trends)进行经济时间序列(time series)分析的方式。瑞典皇家科学院说，格兰杰的发现对研究财富与消费、汇率与价格以及短期利率与长期利率之间的关系具有非常重要意义。
以下就简单介绍两位经济学家的时间序列模型的基本思想.



二 两位经济学家的时间序列模型简介



1. 经济数据时间序列分析的统计方法
经济学家在揭示经济变量间的关系,对经济发展趋势做出预测以及检验经济理论的假设条件时往往使用按照时间次序排列起来的统计数据----即按时间先后顺序排列的观察数据.比如我们知道经济生活中的消费一般取决于总劳动收入及财富(total labor income and wealth),实际利率以及人口年龄分布等等, 那么最容易想到的描述它们之间关系的模型是在教科书上的只有两个变量的静态线性模型:



根据上述公式, 变量 (比如代表季度t的消费量)依赖于变量 (比如代表同期收入). 后面的et是随机误差项,代表因随机因素影响而在模型中无法解释变量yt的异动部分. 通过对两个变量使用时间序列数据,参数a和 b就可以运用统计方法估计出来 (即用回归分析方法). 有效的结论意味着这种方法同样可以很好地运用到具有时间序列特征的经济模型上. 今年两位诺奖获得者在研究经济时间序列的两个主要特性方面取得了突破性的进展和方法: 非稳定性和时变变易率( time-varying volatility).



2. 格兰杰的贡献-------非稳定性, 共同趋势以及协整(cointegration 有人又译为同积)
很多的宏观经济时间序列是非稳定的: 一个变量,比如 GDP, 有一个长期发展变化的趋势而在该趋势中暂时性的扰动又会影响这种长期趋势. 与稳定的时间序列相反, 非稳定性序列没有明确的趋向,不会返回一个常数或者一个给定的趋势. 图 1 显示了这种时间序列的两个例子. 锯齿状实曲线代表的是自1970年以来日元对美圆的每月汇率变动,显然存在很大的短期波动. 较平缓的虚曲线显示的是同期日本消费水平与美国消费水平之比.







图1:日圆对美圆汇率对数曲线和日本消费价格指数(consumer price index)与美国消费价格指数(consumer price index)之比的对数曲线; 月度观察数据,自1970年1月–2003年5月.

长期以来, 尽管事实是宏观经济序列常常是非稳定的, 但研究者只能使用用来研究稳定序列数据的标准方法. In 1974年, 格兰杰 (及其同事保罗.牛鲍德 Paul Newbold) 发现非稳定变量间关系的估计可能会产生非理性的结果,因为这种估计错误地揭示根本不相关的变量却显著相关. (上述方程中,如果随机误差项 是非稳定的,问题就会随之产生. 标准检验也许显示 b 显著非 0, 然而事实上其真值应该为0.)
类似这样的统计陷阱(statistical pitfalls)也可能在如下情况下导致令人误解的结果:即变量间事实上确实存在一定的关系. 特别地, 要在非稳定时间序列中区分暂时的和持久的关系是非常困难的. 例如, 经济理论假定, 长期而言一个较强的汇率应该和相对较慢的价格增长有关, 因为通过共同货币(common currency)表述的价格不能相互偏离太远. 图1也显示了该种倾向, 在那里日圆总体上强于美圆,而美国的价格水平高于日本的价格水平. 但是就短期而言, 预期以及资本运动对汇率的影响如此之广泛以至于标准方法对精确估计变量间长期关系无能为力.
过去处理这种非稳定数据通常是用统计模型来描述变量的差分(differences),亦即增长率(rates of increase).比如我们可能会估计货币贬值与相对通货膨胀的关系而不是使用汇率和相对物价水平这样的变量. 如果这样的增长率确实是稳定的,那么传统方法就可以提供有效的结果. 然而即使一个完全基于差分的统计模型能够捕获短期的动态规律, 它对于描述变量的长期共变(covariation)方面却显得苍白无力. 这是因为非常不幸的是经济理论往往不是以经济变量的差分建构而是以经济变量本身为基础.
由于非稳定数据的这些特征, 要发现变量隐藏于短期波动“噪音(noise) ”之下的潜在的长期关系是一件极富有挑战的工作. 格兰杰的工作就已经找到了一种统计分析方法.
在上个世纪80年代发表的论文中, 格兰杰发展了一些新概念和统计方法来函盖短期与长期趋势. 这些方法以及有效统计推断的关键是他发现将两个(或多个)非稳定序列用特别的方式合并(specific combination)在一起将会产生一个稳定的序列. 经济理论通常会非常精确地做出如下预言: 如果两个经济变量间有某种均衡关系(equilibrium), 在短期内它们可能会偏离均衡状态, 但是长期而言它们将向均衡状态调整. 例如, 传统理论预言汇率长期而言是均衡的, 这里以共同货币表述的物价水平相互平等(on parity with each other). 格兰杰创造了协整(cointegration)这一术语以描述非稳定变量的稳定合并.
格兰杰还发现协整后的变量交互动态(joint dynamics)可以用一个所谓的误差修正(error-correction)模型来表示. 这种模型不但在统计上是良好的,而且还能够给出一个有意义的经济解释. 比如, 汇率和物价方面的动态变化是由两种力量同时推动的: 一种熨平偏离长期均衡汇率波动的倾向,和围绕着这种走向长期均衡的调整之路的短期波动.
如果没有强大的估计和假设检验(estimation and testing of hypotheses)统计方法,协整这个概念在实践中没有任何用处. 格兰杰和恩格尔在1987年共同发表了一篇具有广泛影响的论文,在这篇论文中他们介绍了这些方法. 包括对误差修正模型的两步法参数估计和对非稳定变量没有协整关系的假设检验. 这些方法经梭伦.约翰逊(S鴕en Johansen )改进后发展成为现在的标准方法.
在此后的研究工作以及和其他研究人员的合作中格兰杰在很多方面拓展了协整分析,包括处理季节性序列(series with seasonal patterns,又叫季节协整---- seasonal cointegration)的能力和处理那些只有偏离超过一临界值才向均衡位置调整的序列的能力 (称为临界点协整-----threshold cointegration).
格兰杰的工作已经改变了经济学家处理时间序列的方式. 今天对于动态计量模型的详细描述,稳定性以及协整检验是日常使用的必不可少的工具.协整分析已被证明在下述环境下特别有价值,即短期动态受随机扰动的影响巨大而长期变化却要同时受制于各种均衡经济关系. 其中一个例子就是汇率与物价水平的关系. 其他例子包括消费与财富(wealth)的关系 (尽管短期而言消费变化比财富要平稳的多,但长期而言二者必须达到一致), 红利与股票价格的关系(长期来说股价依赖红利的变化, 但短期波动比红利的波动要大得多)以及不同票据(maturities)的利率 (因为对短期利率的前景预期而使得长期利率与短期利率相勾连,但二者长期的变化方向却不同).



3. 恩格尔的贡献-----时变变易率(Time-Varying Volatility)和Arch模型
在金融市场上风险评估(risk evaluation) 是所有活动的核心. 投资人对其一项资产根据市场风险来评价预期回报(returns). 银行和其他金融机构则试图保证其资产价值不能低于使其破产(insolvency)的最低水平. 如果不能测度资产回报的变易率则这种评估难以进行. 恩格尔就发展了一些完成这类评估的方法.
图 2 展示的是1995年5月至2003年4月间所有交易日投资于NYSE股票指数(标准普尔the Standard & Poor 500)的收益率图形. 可以看出平均年收益率为5.3%. 而在同期的一些日子里股价的波动大于5%(向上或向下). 全期的日收益率标准差(The standard deviation)为1.2%. 但是更细致的观察发现变易率随着时间的变化而变化: 大的变化(向上或者向下) 经常伴随着进一步的大的波动, 而小的变化则倾向于伴随着小的波动. 图3清楚地表明了这一点, 该图显示了过去四周度量的的标准差是如何随着时间而变动的. 很显然, 标准差随时间而剧烈波动, 从温和期的约0.5% 到巨变期的近3%.很多金融时间序列具备类似的时变变易率特征.








图 2: 1995年5月16日至2003年4月29日间投资于股票指数的日投资收益率曲线.




图3: 1995年5月16日至2003年4月29日间投资于股票指数的日投资收益的标准方差曲线(根据前四周数据计算而得).



图3 展示的是向后的时变变易率的计算. 但是投资人和金融机构需要的是前瞻性的预测–-- 明天，下周乃至明年的变易率预测. 恩格尔在1982年发表的杰出文章中构建了能够做出这种预测的模型.
资产收益的统计模型只能解释从一天到另一天变化的一部分. 因此大部分变易率隐含在随机误差变量中–--换言之, 隐含在模型的预测误差中. 在标准统计模型中, 随机误差的预期方差随着时间的变化应该为常量. 显然这和图3描述的资产收益率的较大的波动相去甚远.
与此相反的是恩格尔假设在一定时期在一定的统计模型里随机误差的方差系统地依赖于先期得出的随机误差, 如此一来大 (小) 误差倾向于追随大 (小) 误差. 用技术术语来说, 随机变量显示了自回归条件异方差（ autoregressive conditional heteroskedasticity）.因此他的方法便根据缩略语叫做ARCH模型. 在我们的例子里, 模型不仅仅包含一个对资产收益率的预测方程, 还包含一些参数，这些参数显示随机误差的方差是如何依赖于先期的预测误差. 恩格尔演示了如何估计ARCH模型以及介绍了一种对假设（即条件随机误差之方差是常数）进行检验的实际方法.
在此后的研究工作以及和其学生和其他研究人员的合作中, 恩格尔向几个不同的方向发展了这个概念. 最著名的拓展当属广义的（generalized） ARCH 模型 (GARCH) ，该模型是由Tim Bollerslev在1986年建立起来的. 在广义模型里, 一定时期的随机误差的方差不仅仅取决于前期误差, 也取决于较早的方差本身. 这个发展是非常有用的; GARCH 模型在今天被广泛使用.
在关于ARCH的第一篇文章中, 恩格尔用他的时变变易率模型来研究通货膨胀问题. 但不久他发现, 他的模型最重要的应用是在金融领域, 在该领域主要面对的是各种类型的风险定价. 定价模型描述证券价格和变易率之间的关系: 具体股票的预期收益率取决于股票收益率与市场有价证券的协方差 (根据1990年诺奖得主Sharpe 的CAPM 模型), 期权价格决定于原始资产（underlying asset ）收益的方差 (根据1997年经济奖获得者Merton 和Scholes的 Black-Scholes 公式)等等.
在与其他研究人员的联合工作中, 恩格尔通过发展他的模型(GARCH-M) 而捕获到这样的关系：预期收益率决定于时变变量的方差和协方差, 故而它本身也成为了一个时变变量.
时变变易率的实际意味着什么呢? 图2中如果一个 GARCH 模型应用在股票收益率上, 条件变易率（以标准差表示）在讨论期内的波动区间是0.5% 到3 %. 如果一个投资者按照标准普尔500（Standard & Poor 500）投资一个有价证券, 那么第二天她会风险性地损失多少资金呢? 给定预测标准差是0.5%, 她的损失（99%的可能性）– 不会超过她总投资的1.2%. 如果标准差是3%, 相应的资本损失会高达6.7%. 现代银行和其他金融机构在计算他们的有价证券的市场风险时使用相同风险值计算方法，这一点在当今风险分析中是至关重要的. 自1996起, 一项国际规定(所谓的巴塞尔规定---- Basle rules) also prescribes 建议使用风险值来控制银行的资本要求（capital requirements）. 通过这些应用, 以 ARCH 为框架的模型成了金融领域风险评估的一个不可或缺的工具.



作者注: 本文译自网站www.nobel.se