关于经济学学习中如何把握数学的几篇文章

newbeing

前不久在图书馆见到一则轶事，说是美国有一次召集了一批著名经济学家与物理学家进行对话，结果双方都对对方的数学水平表示惊讶。物理学家未曾料到经济学家竟知晓这么多高深的数学知识；而经济学家则惊诧于物理学家的数学学识竟是如此“贫乏”。

作为一个具有强烈数理倾向的经济学学生，初见此则轶事，蓦然地有一种窃喜，没想到作为社会科学的经济学在数学的应用方面竟已超过了一贯以严谨、科学著称的物理学，但事后冷静想想却不禁又有些怀疑。众所周知，数学起源于簿记、丈量等实际工作，而其发展则是同物理学的发展分不开的，微积分的出现就是出于力学发展的需要。一个数学概念要想得到较好的接受，往往需要与一定的物理实体相对应。不可否认，数学也有其自身的发展逻辑，并且经常领先于应用的发展，但物理学始终是数学发展最重要的思想来源。但为什么会出现上述令物理学家和经济学家都感惊讶的结果呢？这就需要仔细地辨别一下数学在上述两门学科中的具体应用情况。

在回答以上问题之前，让我们首先考察一下当前数学的主要组成部分。我认为数学可以从学习的顺序上分为初等数学和高等数学两大层次。其中初等数学主要包括一般数系的基本知识以及初等代数和几何学，另外还应包括基本的线性代数和概率统计知识。而高等数学则可分为分析学和现代数学两大类。其中分析学主要是指微积分以及相应的一些基础问题。而现代数学则主要是指抽象代数，即对群、模、环、域等基本代数结构的研究，以及点集论、拓扑学和一些前沿专题，如分形、混沌、小波分析等。现代数学可以说是数学自身发展逻辑的必然产物，是研究数学的数学，其特点是高度抽象化，较少与具体物理实体相对应，其实际应用一般不是显然的，也就是说理论往往领先于应用。

应该说初等数学是其他所有应用的基础，是各个学科都应掌握的基础知识，而物理学对数学的更深入应用则主要集中在分析学方面，诸如复变函数、傅立叶积分、泛函分析等。 而经济学对数学的更深入的应用除了基本的微积分知识外，还包括点集论、拓扑学和凸规划等现代数学的知识。但是否因此就可以认为经济学中的数学应用已超过了物理学了呢？ 其实不尽然。诚然，经济学所涉及的数学知识的范围似乎比经典物理学广，但这只是一个广度与深度的区别，而从艰深的程度来说，并不能认为现代数学在经济学中的应用已超过 了分析学在经典物理学中的应用。事实上，现代数学的概念在现代物理学，如量子力学和相对论等方面的应用也是相当普遍的。

现代数学的许多概念和分析学是平行发展的，并不存在谁是谁的先修科目问题。现代数学的学习从理论上说只需要初等数学的知识和良好的抽象思维能力。他更注重数学修养的培养而非实际的应用技能。适当地学习一些现代数学的知识对于进一步学习分析学将是受益菲浅的。之所以认为现代数学艰深的原因不外乎两个：一在于他的抽象性，而另一个很重要的原因是因其未被纳入常规的教学体系，也就是说人们缺乏系统学习的机会。

中国过去由于意识形态方面的原因，将马克思主义政治经济学（或者说是前苏联的那一套政治经济学）绝对真理化了，而对西方经济学采取完全抵制的态度，偶有介绍，也只是作为批判的对象。改革开放后，客观上产生了学习西方经济学的需要。而西方经济学这几十年的发展，尽管也有一些不同的声音，但总体趋势就是形式化。这必然会对国内的传统观念产生严重的冲击。中国过去由于实行文理分科，文科学生的数学素质普遍过低，而经济学又一向被划入文科的范畴，以致于在进一步深入学习西方经济学的过程中遇到了难以逾越的障碍。

人们在对待一个不熟悉的事物时往往容易采取两种极端的态度。第一种态度就是竭力贬低它。中国过去由于传统的政治经济学力量相对强大，权威们（既得利益集团）出于对自身地位的担忧，就采取了这种态度。那时的西方经济学被认为是庸俗的经济学，是应该批判的对象，而数学作为其分析方法则完全是为了垄断资产阶级的利益服务，被斥为是掩盖西方经济学庸俗本质的一种工具。因而不去学习其技术细节。这在很大程度上使我们对西方经济学的介绍始终停留在一个肤浅的层面，被其表面的诸多流派所迷惑，阻碍了我们对西方经济学本质思想的吸收利用，使大学的经济学系成了一个缺乏自身明确方向的专业。

随着社会主义市场经济体制的确立，在对待西方经济学的态度方面也有所转变，庸俗的提法已很少出现，而对数学则采取了一种折衷的态度，既承认它是一种有用的分析手段， 但也反对将其过分抬高，要看到他庸俗的本质。总之数学只是一种需要时可以加以利用的手段而已（不懂得真正去爱，又怎能真正得心应手？）。一般来说，中庸之道总是没错的。 但对中国这个在经济学方面长期缺乏严密逻辑传统的国家来说，一定程度的校枉过正应该是必要的，现在在青年学子中间已经产生了强烈的数理化愿望，这在一定程度上也是出于 更牢固地确立经济学学科地位的需要。

但文理分科的后果并不是能马上消除的，旧有的教学体系也不是能在一夜之间改变的。现在中国经济系的学生多数都缺乏足够的数学训练，而在研究生阶段也不可能系统地开设那些必要的数学课程，并且更重要的是，缺乏足够的能够教授数理经济学的教师队伍，这就使得学生们显得无所适从。作为研究生，由于数学的限制，往往只能学习一些国外本科生所用的中级教材，而一些经典的文献都难以阅读，于是第二种态度产生了，那就是对数学的过分崇敬乃至畏惧。数学在经济学中的应用被人为地夸大了。

正如前面所分析的，数学在经济学的应用并不如通常所以为的那样艰深。事实上，即使在《美国经济评论》这样的刊物中，90%以上的文章也只是用到一些简单的数学模型。在经济学中应用最广泛的数学知识就是微积分中的极值原理，即通常所说的一阶和二阶条件，这对每个经过大学训练的人都应是不成问题的，只是由于经济系的学生平时使用数学的机会较少，因此看到满眼的积分微分符号，就会有一种本能的“畏惧”，事实上，只要硬着头皮耐心去读，一般都是能读懂的。真正令经济系学生感到头痛的是那些以前所未曾接触过的概念：如消费者行为中的非线性规划、一般均衡与博弈论中的不动点定理，分离超平面以及宏观经济学中经常会用到的随机过程、变分法等。这些概念从纯数学的角度来说其理论基础或是证明过程都是非常高深的，但对于应用目的来说，其逻辑一般都并不复杂。就拿在描述经济学的数理化程度时经常被提及的不动点定理来说，排除数学证明上所要求的严格性，其逻辑是很容易理解的：一个经济系统可以看成是一个函数，它以上一阶段的运行结果作为本阶段的输入并将本阶段的输出作为下一阶段的输入，那么所谓的一般均衡状态也就是输入等于输出，从而整个系统的运行状态保持不变的状态，而这很自然地对应了数学中的不动点定理，即在有界凸集上定义的映射到自身的连续函数f(X)中存在不动点，使得X=f(X)。因此，只要适当地开设一些分析基础的课程，或者自己静下心来学习一、两个月，很多概念都是能够澄清的，从而为今后的进一步学习打下良好的基础。

当然，不可否认，在经济学中也确实存在一些难以在短期内掌握的概念，但这些一般都不是主流，根据经济学的基本定理，他们是边际收益递减的，并不会影响大多数内容的学习，况且，在需要时花上一定精力去掌握它们对于高层次的学习也应是必要的。另外，学习数学其价值决不仅在于实际应用，他更大的价值在于对逻辑思维和分析能力的培养。因此，学习数学应该抛开实用主义的利益导向，而将它作为基础素质的训练来学习。

其实真正危险的倾向在于为了掩盖自身的不足或是抬高自己的身价而有意无意地过分夸大经济学中数学的高深程度。遗憾的是，这种情况已经发生，数学已成为一种装饰，一个炫耀的资本。

数学可以成为一个进入壁垒以抬高经济学学科的地位，保护已在圈中的既得利益者。数学基础差的人可以通过夸大数学的难度来为自己开脱并赢取他人的谅解，有时甚至还能产生自豪感。而数学基础好的人则一方面可以将其作为炫耀的资本，另一方面必要时也可成为自己对经济的本质问题缺乏理解的挡箭牌——我就是在搞纯理论研究，我就是在玩数学。

总之，数学不应被神化。要想使数学这把利器真正为我所用，就应首先将它请下神坛。

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盛洪一篇文章的部分，我认为他对数学和经济学的关系认识地非常清楚，推荐给大家。

二、作为科学和超越科学的经济学（３）

　

应该承认，在模仿科学方面，经济学做得相当成功。它按照科学的规范建立了自己的语言、文字和逻辑系统。一组初始概念，一套公理体系，精确的定义，严密的逻辑，以至经济学的语言已经非常不同于自然语言，如果没有受过专业训练，很少有人能够读懂经济学的论文。一个更为重要的标志，是数学在经济学中的应用。翻开如今的经济学教科书，我们可以发现非常类似于物理、化学等科学学科的文字表达方式，如公理、定理、推论；如果没有一定的数学功底，我们不要指望能够看懂那些权威的经济学学术刊物上的论文，尤其是国际上公认的刊物，如《美国经济评论》，《政治经济学》，《经济学文献》，《数理经济学》，甚至那些非主流的学术刊物，《经济问题》，《法与经济学》，以及《经济行为与组织》。作为一种科学活动，经济学已经变成一个可以容纳众多人的职业；经济学家之间的分工已经变得非常细密，以至一个很小、很专的研究领域（如某一国的某类产品的价格弹性）、或研究阶段（如具有某一特征的数据的处理方法）都可以使一个人安身立命。为了更有效地组织经济学研究的分工与合作，出现了各种各样的经济学研究组织。从大学的经济系到专门的经济研究所，从各种经济学分支的学会，到综合性的经济学研究的国际组织。也许最能够证明经济学模仿科学的成就的，是瑞典皇家科学院诺贝尔委员会设立经济学奖的决定。在１９６９年第一次接受这一奖金的弗里希教授和丁伯根教授，是因为“给予经济理论以数学的严密性”，并且作为“把经济学发展为数学的和定量的科学的先行者”（爱立克．伦德伯，１９６９，第１页，第３页）而获得这一荣誉的。

　

由于经济学模仿科学的成功，它在社会科学和人文理论中确立了相对的优势地位。在微观领域，经济学不失为一种有效的分析工具；对于经济现象和历史，经济学的方法显得比其它学科更为成熟和更有解释力。经济学因此不断地越过边界向其它领域渗透，以至人们称之为“经济学帝国主义”。如今，经济学不仅用来解释人们认为的传统的经济问题，如市场中的交换与生产，而且用来分析投票程序，政府制度，家庭问题，宗教道德，全球环境，以至文化演进和文明冲突；经济学不仅进入了法学领域，政治学领域，史学领域，也进入了社会学领域。一个人即使不参加科学活动，如果能掌握一些经济学知识，也能够在分析社会问题时，有着更为明快的方法。

　

然而，从较长的历史时期来看，经济学对人类历史并没有产生象科学那样大的影响。近代以来的工业革命和经济发展，并不是因为人们先发现了有关经济发展的机理，然后应用于经济实践中的结果。相反，我们看不出经济学研究与一国经济发展的直接的相关关系。某一国家的经济学家人数较多，不是其经济成长的原因，而往往是它的结果。更为严重的是，如果说经济学理论曾被积极地应用过，其结果经常是灾难性的。计划经济试验的失败就是一个著名的例子。它证明由人类理性设计的社会制度，远不如自发演进的制度更有效率。当几乎所有计划经济国家决定走向市场经济的时候，经济学再一次证明了它的局限性。由那些代表主流经济学的学者们设计的改革方案（如在前苏联和东欧），不仅没有导致比其它的改革方案（如在中国）更好的结果，而且给实行方案的国家带来了绝对福利的下降。

　

迄今为止，如果说经济学对人类历史产生过重大的积极影响，也是在否定意义上的，即它告诉人们不应该做什么。最值得一提的事情，是经济学不断地告诉政府，不要轻率地干预人们的经济自由和市场经济制度。我们可以认为，英国在十九世纪中叶走向自由贸易，是斯密的自由主义经济学的影响；哈耶克在计划经济兴盛时期继续坚持的经济学自由主义传统、和对计划经济的批判，对后来计划经济国家走向市场化道路起了重要的作用；八十年代以后在西方诸国凯恩斯主义经济政策被自由主义经济政策所取代，与经济自由主义的重新兴起密切相关。然而，即使这些功绩，经济学自身的逻辑又可以把它们抹杀掉：这些政策或制度的变化是人们为了追求自己的最大利益，通过政治过程而实现的，与经济学家的主张没有多大关系。

　

由此，我们发现经济学与科学有着巨大的不同。在经济学这里，联合的大脑不仅没有象科学那样创造奇迹，反而遇到了自己的边界。这是因为，在经典科学中，联合的大脑面对的是一个无生命、从而没有博弈能力的世界，而在经济学中，联合的大脑面对的是另外一些大脑（４），它们或者是分散的、也有可能是联合的。大脑的联合所带来的优势，会被其它大脑的对策所抵消：当这些大脑是分散的时候，它们的对策可能是消极的（如针对特定的宏观经济政策，民众所产生的理性预期及其所导致的行动）；当它们是联合的时候，对策可能是积极的（如对计划经济所进行的市场化改革）。换句话说，当人与人之间存在着多次博弈关系时，任何一方都不能凭借着经济学研究上的优势，以损害他人的方式而获益；经济学的逻辑是，你想获得利益吗？你必须使对方也获得利益。有趣的是，对于这种情况，经济学自身知道得最清楚。因为它的最有影响的理论就是奠立在“人类理性有限”这样一个认识论的基础之上的。就这样，当联合的大脑面对经济社会问题的研究时，它的最重要的成果，就是证明联合的大脑本身是有局限性的。这一结论，本来可以由个别的大脑得出。但是在一个科学取得了巨大成就的时代，一个过分夸大理性作用的时代，这种结论要用理性化的方式提出，才能获得相当的说服力。因而，对科学万能主义的批判，要以科学活动的方式进行。同时，给科学或理性的作用划一道界限，就意味着经济学已经超出了科学的范围。既然经济学知道了这个边界，它对人类社会负责任的行为，就是努力阻止人们越过这道边界，即阻止科学的过度应用。用一句话说，经济学“是对遵循自然秩序的理性表达，是对人类自身理性有限性的理性证明。”（盛洪，１９９５ａ，第１９３页）

donno2000

有点夸张了,物理学和经济学中的数学方法当然是属于不同的数学分支里面,物理更加强调实际问题的解决,所以偏重与模型,常偏方程等等的工程应用求解,较微观.

数量经济学着重于概率,随机,凸优化等等泛函方法的应用.较宏观.所谓术业有专攻,各人有各人的优势.比如电影美丽心灵中nash的博弈论的一个理论,其实就是应用泛函分析的结果.

所以文章的出发点是令人迷惑的!

coolsila

数学的作用逐渐被各种CAD软件所取代