单侧曲面的维数 ？

iamluda

今天在 下面的页面
http://www.douban.com/group/topic/66573611/
看到这样一个问题：

问莫比乌斯带的维数是三维，二维，还是二维半？在哪方面的书里可以找到相关资料？

我的直觉是 在二维 和 三维之间，是个分数维，但不知道如何计算？

请熟悉这方面的书友给出自己看法。

zs2k

鲁提辖拳打莫比乌斯

oliven

对点而言维数是指独立的位置参数，按照这个理解，似乎不存在2.5维这样的概念，带上的一个点基于莫比乌斯带本身而言，属于二维，如果点基于三维空间而言当然是三维，如果还要考虑时间等其它维度，那就可能是四维或多维。

neotsu

你用2个维度能描述莫比乌斯带上所有点么，不考虑厚度的情况下。

显然不能，所以是3维的。

2维平面是说所有平面上的点只需要2个维度就能描述，即使有第三维存在，它们第三维的amplitude在与其平面正交的轴上都是一致的。

所以它也不是四维的。

半个维度只有文科生才说的出来吧。

oliven

引用第3楼neotsu于2015-04-26 06:34发表的 :
你用2个维度能描述莫比乌斯带上所有点么，不考虑厚度的情况下。

显然不能，所以是3维的。

2维平面是说所有平面上的点只需要2个维度就能描述，即使有第三维存在，它们第三维的amplitude在与其平面正交的轴上都是一致的。
.......

某特定曲面上的点，可以用三维参数坐标来表示，但这三个坐标并不是独立的，而是受到某一特定关系的约束，所以本质上给定曲面上的点只需要两个坐标就足以描述了，所以任何曲面都是二维的。

xuelangcn

引用第4楼oliven于2015-04-26 09:12发表的 :


某特定曲面上的点，可以用三维参数坐标来表示，但这三个坐标并不是独立的，而是受到某一特定关系的约束，所以本质上给定曲面上的点只需要两个坐标就足以描述了，所以任何曲面都是二维的。

空间曲面如何用二维坐标描述？
如果以曲面作为参照系来描述曲面上的点，当然可以两个坐标描述清楚，但这样情况下，曲面本身是怎么弯曲的，是什么形状，两个坐标就搞不定了。
所以，空间曲面必须三个坐标才能描述清楚。

oliven

引用第5楼xuelangcn于2015-04-26 13:34发表的 :

空间曲面如何用二维坐标描述？
如果以曲面作为参照系来描述曲面上的点，当然可以两个坐标描述清楚，但这样情况下，曲面本身是怎么弯曲的，是什么形状，两个坐标就搞不定了。
所以，空间曲面必须三个坐标才能描述清楚。

按照你的观点，空间曲线也是三维的，但实际上空间曲线应属于一维，同理空间曲面属于二维，而不是三维。我已经说过三个坐标并不是独立的。

xuelangcn

引用第6楼oliven于2015-04-26 14:20发表的 :


按照你的观点，空间曲线也是三维的，但实际上空间曲线应属于一维，同理空间曲面属于二维，而不是三维。我已经说过三个坐标并不是独立的。

在我们的三维空间里，空间曲线确实需要三个坐标才能完整、清晰定义出曲线上的点在什么位置。
空间曲面同理。

你所说的空间曲线属于1维的，就是说你的坐标轴沿着曲线的走向弯弯曲曲的（坐标轴不是直的），有这个限制条件的话，空间曲线确实可以用一个坐标表示，同理空间曲面也可以用两个坐标表示。
但这种表示方法，我们不知道这个空间曲线、空间曲面位于我们三维空间的何处...

xuelangcn

如果空间曲面用二维表示，两个坐标轴是否满足互相正交这个必要条件呢？

whoami2012

有时候生活中直观的概念和严谨的逻辑定义是有区别的，维数的定义没有那么简单

oliven

引用第8楼xuelangcn于2015-04-26 19:21发表的 :
如果空间曲面用二维表示，两个坐标轴是否满足互相正交这个必要条件呢？

给定的空间曲线，一般可由一个参数方程组表示：

①x=x（t）

②y=y（t）

③z=z（t）

这里只要确定了其中一个坐标，其余两个坐标可以通过解参数代入的方法也就确定了，怎么能算是三维呢？曲面亦然。

至于你说的两个坐标轴是否满足互相正交，与维度没有半点关系，坐标可以是很多形式，比如极坐标，球面坐标，等等

neotsu

引用第10楼oliven于2015-04-26 20:49发表的 :


给定的空间曲线，一般可由一个参数方程组表示：

①x=x（t）
.......

你这个是空间曲线的一个特例。直线是平面曲线的一族特例，平面曲线是空间曲线的一族特例。并不代表什么。充分和必要的关系而已。

另外你讲的是本身是一维的，还是存在于一维世界内。这两个概念别混淆了。

宇宙本身貌似是11维的呢。那么一条直线是否也是11维的？

neotsu

引用第7楼xuelangcn于2015-04-26 19:03发表的 :

在我们的三维空间里，空间曲线确实需要三个坐标才能完整、清晰定义出曲线上的点在什么位置。
空间曲面同理。

你所说的空间曲线属于1维的，就是说你的坐标轴沿着曲线的走向弯弯曲曲的（坐标轴不是直的），有这个限制条件的话，空间曲线确实可以用一个坐标表示，同理空间曲面也可以用两个坐标表示。
.......

这个说法不严谨，如果用一个坐标表示空间曲线，那么空间曲线的信息就丧失掉了。你无法还原他，就是说你的函数没法代表这个曲线，那说其他的就没有根据了。

iamluda

寻找隐藏的维度
下栽地址：
thunder://QUFodHRwOi8vYWlrYW5keS5vcmcv44CQNnbnlLXlvbF3d3cuZHkxMzEuY29t44CR5a+75om+6ZqQ6JeP55qE57u05bqmQkTkuK3oi7Hlj4zlrZcxMjgw6auY5riFLnJtdmI/ZmlkPU1FNXZTTE9VOFlMcUZYdE1Md290ZHpENW1zZ0FBQUFBQUFBQUFBQUFBQUFBQUFBQUFBQUFBQUFBQUFBQUFBQUEmbWlkPTY2NiZ0aHJlc2hvbGQ9MTUwJnRpZD1FNTFERDdCQzAxQTkyODJCQTc3RUMxQzNCRUIzQ0JGNyZzcmNpZD0xMjAmdmVybm89MVpa


在百度搜索 “寻找隐藏的维度” 后，有很多网站可在线观看

xuelangcn

引用第10楼oliven于2015-04-26 20:49发表的 :


给定的空间曲线，一般可由一个参数方程组表示：

①x=x（t）
.......

线性代数的线性空间中，维数这个概念跟基差不多，跟基础解系、坐标（不是指坐标值）也差不多，如果没记错的话，这四个概念在线性空间中应该是等价的。而线性方程组的基础解系各个解向量必须满足互相正交才能构成一组基础解系。
也就是说，空间坐标向量x/y/z必须是相互正交的，柱坐标、球坐标没算过，想来用线性代数的方式表示出来应该也是满足相互正交这个条件的。
有兴趣可以验算一下。
线性空间中，维度可以高于3，只要维向量满足相互正交即可。

louselice^_^

才子一网打尽贴

neotsu

引用第14楼xuelangcn于2015-04-30 22:24发表的 :

线性代数的线性空间中，维数这个概念跟基差不多，跟基础解系、坐标（不是指坐标值）也差不多，如果没记错的话，这四个概念在线性空间中应该是等价的。而线性方程组的基础解系各个解向量必须满足互相正交才能构成一组基础解系。
也就是说，空间坐标向量x/y/z必须是相互正交的，柱坐标、球坐标没算过，想来用线性代数的方式表示出来应该也是满足相互正交这个条件的。
有兴趣可以验算一下。
线性空间中，维度可以高于3，只要维向量满足相互正交即可。

是啊，维度之间需要相互正交，换言之就是相关性为0才可以。至于柱坐标，球坐标你说的也是对的，在这个坐标系中的表征各分量的元素也是正交的。

表达为n元方程式的话，这个元，就是类似于维的概念吧。只是数学中的元如果不能作为空间或空间投影的表达的话，这个元的数量本身是没有物理意义的。举个例子：

n[2], 是一个一维矩阵，那么m[2], 其中元素为n 就是一个二维矩阵了，同理可以 k[2]，以m为元素就是三维，这样在数学上可以无限下去，在物理上则无意义了。

但有些空间并不完全是“客观存在”的，线性或不线性则关系不大，比如 -1的根，复数里的虚数，作为空间投影的话，这个j 也是正交的。又或者电力电子中的d-q空间，是电磁关系的“空间”，其中的各元与物理的三维无关，但也是正交的。

这个正交的概念其实应用非常广泛。系统之间的相关度也经常用到，不只是在维度的定义上。例如电信上经常用的双机热备份，就要定义，在电气上，standby的单元与online的单元之间相关度越小越好，正交性强，而在数据与时序上，相关度越大越好了。

oliven

二位先搞清楚基本概念，不能对一个点说所谓的维数（当然你也可以说它是零维空间），维数必须是针对一个空间而言，

空间中包含若干点，要描述这个空间中的点，需要几个独立的参数，这个空间就是几维，所谓正交、垂直，在抽象代数

里都是有严格的定义，当然它与直观一般并不冲突，但有些含义远非直观所能理解，借助直观的东西可以理解抽象的，

但很多抽象内容远超出直观所包含的意义，比如我说曲线是一维的，你非要说其坐标轴是弯弯曲曲的，你直接按照定

义看看是不是用一个坐标就能描述清楚曲线上的点，就可以了，你管那坐标轴弯不弯干嘛？（更进一步说，坐标轴为什

么就不能弯，这是哪门子的规定？），如果拿你这种做法学习抽象代数，到了高维和无穷维，那根本没发搞。

neotsu

引用第17楼oliven于2015-05-01 09:25发表的 :
二位先搞清楚基本概念，不能对一个点说所谓的维数（当然你也可以说它是零维空间），维数必须是针对一个空间而言，

空间中包含若干点，要描述这个空间中的点，需要几个独立的参数，这个空间就是几维，所谓正交、垂直，在抽象代数

里都是有严格的定义，当然它与直观一般并不冲突，但有些含义远非直观所能理解，借助直观的东西可以理解抽象的，
.......

所以你要先弄清楚一个概念：到底你问的是啥问题。你要讲理论，咱们就讲理论，莫比乌斯环在物理空间内是三维的，至于你说的二维，那是在“三维”拓扑空间上的“2维”流形，那是数学上的概念，而且也脱离不开约束条件“三维拓扑空间”是不是？

所以你问的是这个环在欧氏空间的物理性质呢？还是在拓扑空间的数学性质？

oliven

引用第18楼neotsu于2015-05-01 10:16发表的 :


所以你要先弄清楚一个概念：到底你问的是啥问题。你要讲理论，咱们就讲理论，莫比乌斯环在物理空间内是三维的，至于你说的二维，那是在“三维”拓扑空间上的“2维”流形，那是数学上的概念，而且也脱离不开约束条件“三维拓扑空间”是不是？

所以你问的是这个环在欧氏空间的物理性质呢？还是在拓扑空间的数学性质？

不是我问啥问题，是楼主问“莫比乌斯带的维数是三维，二维，还是二维半？”，我没问问题。我只是对这一问题给出我的回答：是2维的，并做出一些解释。

你在3楼的回答说是3维的，至于究竟是几维，楼主可以自己对回答判断，或者不满意请教更多专业人士。