几何消点法使几何解题程序化

韩先生

1992年5月，张景中、周咸青和周小山在面积方法的基础上发明了“消点法”，编成了世界上第一个“几何定理可读证明的自动生成”软件。“消点法”把证明与作图联系起来，把几何推理与代数演算联系起来，使几何解题的逻辑性更强了。运用这一方法在微机上可以证明很多几何定理，并通过屏幕显示出证明的过程。这在当时是世界上最新、最好的几何定理证明软件。他们在电脑上证明了600多条较难的平面几何与立体几何定理了。专家认为，这种证明方法，大多数是简捷而易理解的，甚至比数学家给的证明还要简短、实用。
    消点法是一种遵循“后出现的点先消去”原则的几何定理机械证明法。通过线段相交的条件，推导出线段比例等式，是共边三角形定理的延伸。张景中院士所开创的几何解题的“消点法”可以机械地判定所谓“等式型可构造几何命题”的真假，命题成立时还能够产生人容易检验和理解的证明，即可读证明，书中先引入作者所发展的系统面积方法的两个基本工具，即共边定理和共角定理，接着在共边定理的基础上把面积方法算法化，系统地建立了面积消点方法，此外消点不限于面积法，在全角法、三角法、向量法以及复数法的基础上也能建立消点法。
用消点法证明等式型问题的一般步骤如下:
　(1)把题目中涉及的点按作图过程排队．作图过程中先出现的点在前面，后出现的点在后面．
　(2)把要解决的问题化为对某个式子进行处理化简的问题．这个式子中包含的都是一些几何量．
　(3)从要化简的式子中，逐步消去由约束条件产生的点．后产生的先消去．
　(4)消点时一方面应用该点产生的几何条件，另一方面对照图形，注意发现图形提示给我们的捷径．

(2009年全国初中数学竞赛)如图2，给定锐角三角形ABC，BC ＜ CA，AD，BE是它的两条高．过C点作?ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G，A
　D F C
　G E B 试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论
　图2分析 最后要证明的结论为DF=EG，即
　DF/ EG
　= 1．
　该问题作图过程为:
　①过三点A、B、C作圆;
　②BE⊥AC，AD⊥BC，过点C作圆的切线l;
　③作EG⊥l，DF⊥l．
　通过以上作图过程可以看出，问题中点的出现的点可分为:第一批次点A、B、C;第二批次点D、E;第三批次点F、G．只要逐次将后出现的点用前一批次的点表示出来，则问题一定得证．
　消点过程:∵EG=DF，
　∴EC·sin∠ECG= DC·sin∠DCF，
　∴EC·sin∠ABC=DC·sin∠BAC(消去G，F)，
　∴
　EC·sin∠ABC DC·sin∠BAC
　= 1．
　∴
　BC·cos∠ACB·sin∠ABC AC·cos∠ACB·sin∠BAC
　=
　BC·sin∠ABC AC·sin∠BAC =1(消去点D，E);
　∴
　BC·sin∠ABC AC·sin∠BAC
　=BC·
　AD AB AC·
　BE AB
　=
　BC·AD AC·BE
　=1
　2S?ABC 1
　2S?ABC
　= 1．
    通过以上问题的解答我们可以看出，采用消点法，可以使得数学问题的解答变得有章可循，寻找到一种程序化的算法，使得初等几何的解题方法进入更高的层次，使得某些几何证题有了以不变应万变的模式．超级画板可实现数学定理的机器可读证明，也正是受惠于消点算法的提出．
    消点法解决了几何习题没有固定的解法问题，以前的有添加辅助线，而几何消点法是逐渐消去点，从而不断简化以达到最终的结果。几何消点法可以解决通过尺规画图的几何问题。消点法不用画图，列出作图程序，直接按照消点法的公式，不断消点就可以了。我认为几何消点法值得在中学推广，解决中学数学改革的问题．

hpudqx

图2是什么？

hsq2516941

发现一个数学爱好者。
楼主宜把图形搞出来。。
这个也比较感兴趣。。
我几年的教学结果显示，学生要掌握这个面积证法，并不容易，即便是一些很好的学生。。
我已经在教学实践中逐渐淡出这种方法。。

maxfree

求图求接近

韩先生

这是图2，我给出了