泰勒展式 (Taylor expansion) 的剩余项救人一命

iamluda

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在俄国革命期间（1917年左右），数学物理学家塔姆 (Igor Tamm) 外出找食物，在靠近敖德萨 (Odessa) 的乡间被反共产主义的保安人员逮捕。保安人员怀疑他是反乌克兰的共产主义者，于是把他带回总部。
头目问：你是做什么的？塔姆：我是一位数学家。
头目心存怀疑，拿着枪，手指扣着扳机，对准他。手榴弹也在他的面前晃动。
头目说：好吧，那么一个函数作泰勒展开到第 n 项之后，你就把误差项算出来。如果你算对了，就放你一条生路，否则就立刻枪毙。
于是塔姆手指发抖，战战兢兢地慢慢计算，当他完成时，头目看过答案，挥手叫他赶快离开。
塔姆在1958年获得诺贝尔物理奖，但是他从未再遇到或认出这位非凡的头目。

笔者讲授微积分，每教到泰勒定理时，都要顺便说这个故事，让学生警惕一番。
泰勒展开定理就是要利用微分与积分工具，来剖析函数的结构。

假设函数 f 定义在开区间 (a,b) 上，并且   ，当我们知道 f 的信息越多，对 f 的剖析就越精细。

这个信息包括两方面，一个是 f 的可微分的阶数逐渐提高，这是一种泛泛的条件；另一个是 f 在一点 c 的各阶微分系数的阶数也不断增加，这是在一点（局部）的信息之逐渐加深。
(i) 若 f 为一阶连续可微分，并已知 f(c) 之值，那么由微积分根本定理的 Newton-Leibniz 公式知


亦即 f(x) 可以剖析为清楚的 f(c) 与尚未完全清楚的   兩項之和。

(ii) 若 f 为二阶连续可微分，并且已知 f(c) 与 f'(c) 的值，那么由(1)式与分部积分公式得知
  
從而
  

亦即 f(x) 可以剖析為清楚的一次多項式 f(c)+f'(c)(x-c) 與尚未完全清楚的

(iii) 若 f 為三階連續可微分，並且已知f(c), f'(c) 與 f''(c) 之值，那麼由(2)式與分部積分公式得知

從而

亦即 f(x) 可以剖析成清楚的二次多項式

與尚未完全清楚的剩餘項

利用積分的平均值定理，(5)式又可以寫成

我們稱 P2(x) 為二階泰勒多項式。
按上述要領，繼續做下去（數學歸納法），我們就得到如下美麗的泰勒展開定理。

泰勒展開定理（1715年）：設函數 f 在區間 (a,b) 上具有 n+1 階連續地可微分， ，則對任意  ，f(x) 可以展開成
  
其中的剩餘項（或誤差項）Rn+1(x) 可以表成微分形式或積分形式：

其中 ξ 介於 c 與 x 之間，或

注：泰勒（B. Taylor, 1685～1731）是牛顿的学生，具有相当的音乐与艺术才华。他为了探求音律之谜，首开其端用微积分来研究弦振动问题（1713年），约一个世纪之后，富立叶（Fourier）分析出现才达于高潮（1807年）。泰勒也研究投影画法的几何学，其美术作品至今仍然被珍藏于伦敦的国家画廊（the National Gallery）之中。

mxqchina

有水平的头目。

孔乙？

科学挽救生命，政治毁了科学。……