又一道高一数学题（几何通请进）

yuanjh · 发表于 2011-5-25 08:06:26

如右图，在半径为1的圆O中内接有锐角三角形ABC，H是△ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则BC＝______．

请教简捷解法。（可用正、余弦定理）

ohayo2003 · 发表于 2011-5-25 09:33:08

如图，用正弦定理

BC/sinCOB=1/sinOCB

根据已知条件，
角COB=角C-角OCA=角C-角OAC=角C-（∏/2-角B），由此
可得
（过程略，

BC=1/2COS（角A）

yuanjh · 发表于 2011-5-25 09:48:21

谢谢。

不过，应该求出不含参数的值，即还要继续求。

事实上，想求出含参数的BC的值很简单：

由正弦定理可得：BC/sin∠BAC＝2R＝2
∴ BC＝2sin∠BAC

ohayo2003 · 发表于 2011-5-25 09:58:54

把我俩的列个等式不就是答案了么

很久不接触数学了，基本公式都忘记了

yuanjh · 发表于 2011-5-25 10:16:03

引用第3楼ohayo2003于2011-05-25 09:58发表的 :

把我俩的列个等式不就是答案了么

............

关键是你的解答是错误的。照你的方法，得出的结果也应该是BC＝2sin∠BAC！

（这一点我没好意思明确说出来，但你可以从我后面说的“事实上，...”那一段看出来）

绝版孙悟空 · 发表于 2011-5-25 10:28:39

根号3 ？

yuanjh · 发表于 2011-5-25 10:35:21

引用第5楼绝版孙悟空于2011-05-25 10:28发表的 :
根号3 ？

悟空兄是怎么得出来的？

醉乡常客 · 发表于 2011-5-25 10:53:46

既然是填空题，用正三角形凑一下就行了。

ohayo2003 · 发表于 2011-5-25 10:58:59

算了数学荒废了

一往无前 · 发表于 2011-5-25 11:01:52

就是啊，填空题，耍耍小聪明，10s内解决的事情。对于体力活回报低的题，用巧劲对付最合适。

]

绝版孙悟空 · 发表于 2011-5-25 11:14:00

这种竞赛题需要用到一些结论
参考下http://zhidao.baidu.com/question/55638218.html?si=1

大概思路就是利用结论AH=2R cosA
然后证明AH=AO=1，得到A=60°
后面就好办了

醉乡常客 · 发表于 2011-5-25 11:21:37

悟空厉害！！！

yuanjh · 发表于 2011-5-25 14:03:13

悟空确实厉害！谢谢！

顺便回复7楼、9楼：如果连特殊值法都不会，估计连学生都当不好了，别说当教练了！

其它高手还有什么简捷方法？

含笑饮砒霜 · 发表于 2011-5-25 16:32:04

延长 AL与圆交于D

yuanjh · 发表于 2011-5-25 17:17:48

引用第13楼含笑饮砒霜于2011-05-25 16:32发表的 :
延长 AL与圆交于D
是不是看上去会简单点？？

是要延长 AL的，因为那样做可以得到AH＝AO＝1

yuanjh · 发表于 2011-5-25 19:17:45

引用第13楼含笑饮砒霜于2011-05-25 16:32发表的 :
延长 AL与圆交于D 链接OD交BC于F
延长AO交圆于E

∠BAD=∠CAD
所以BD=CD
.......

证AH＝AO＝1的过程有些繁琐。

实际上只需证明∠AOH＝∠AHO，而这只要延长AH交BC于K，延长AL交圆于D，连结并延长AO交圆于E，连结CE、DE即可。

hebeisheng · 发表于 2011-5-25 19:47:49

过来看一下

mmdzz · 发表于 2011-5-25 20:28:09

证明∠AOH＝∠AHO之后，就知道外心O和垂心H关于角平分线AL对称了。

记得初中几何里好像有个定理可以根据轴对称的特点，用绕对称轴“转动”的方法证明。不知道这里能不能这么“证明”？

以AL为轴，把点O、射线AC“转动”到AL的另一侧，则O与H重合，射线AC’与AB重合。

因为CH垂直于AB，对称地，有C’O垂直于AC，所以C’O是AC的中垂线，对称地，有CH是AC’的中垂线，所以CA=CC’

又因为AC=AC’，所以ACC’是正三角形，得到∠A=60。

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