【扁桃体原创集团】一道数学题的深入解答

neotsu

一道高一数学题：

　　A、B、C三个围棋代表队各出3名选手参加三队之间的围棋擂台赛，规则如下：
　　(1) 每队都排好3名选手的参赛顺序；
　　(2) 每轮比赛只有两队各出一名队员比赛，另一队轮空；
　　(3) 每名选手输一盘后则被淘汰，不再参加后面的比赛；
　　(4) 每轮比赛获胜的选手将与本轮轮空代表队的一名选手进行下一轮比赛，当轮空代表队没有可参赛选手时，则与本轮负队的另一名选手进行下一轮比赛；
　　(5) 如果有两队的所有选手均被淘汰，那么第三队获胜．
　　经抽签，A队第一轮轮空，则A队获胜的可能情况有几种？

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这话问的，A获胜的可能情况有几种？A1，获胜，A2获胜，A3获胜，一共三种！
或者说A1连胜1种，A1输一场A2最后获胜3种可能，A1,A2各输一场A3获胜6种可能，一共10种。。。

问题问的不清楚，就不好回答，让我们假设问的是出场顺序和相互间胜负的可能组合情况吧。

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这道题目没有那么简单，我认为100以下可能性的答案都是错误的

假设不考虑A1/A2/A3差别，否则复杂度升高，我就不爱做了。。假设A1,A2.A3本身没差别。

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重新定义 一轮比赛的概念：设X,Y,Z三队

X轮空， Y vs Z， X vs Y/Z胜利者， 这个过程为一轮比赛，假设Y最终胜利，这轮比赛被描述为
Y/z，Y/x
小写为败，逗号前没出现的队伍为轮空。

X vs Y， Z无人，这个过程也为一轮比赛，假设X胜利，这轮比赛被描述为
X/y，Z0
Z0表示该队无人

可知，如果A队要获胜，必须经过至少3轮，至多5轮的比赛. 即A只有2轮败绩，不能出现无人情况

A1全胜情况很简单, 我们称之为Case 1
每轮A都必须胜，这样，每轮可能性为4，即
A/b，A/c
A/c，A/b
B/c，A/b
C/b，A/c
每轮都把B,C淘汰掉一人。（有上面可得结论，轮空获胜是2种可能）

因为A队第一次轮空。
那么3轮可能性为 （4/2）x4x4 = 32

Case 1： 32

------我是分割线------

A2夺冠的情况称为Case 2
细分有3种，按轮次排列是
case 2-1： A1，A2，A2，A2
case 2-2: A1，A1，A2，A2
case 2-3: A1，A1，A1，A2
对于case 2-1,第一轮A失败，有8种可能性：
//C轮空
B/a, B/c
B/a, C/b
A/b, C/a
//B轮空
C/a，C/b
C/a, B/c
A/c, B/a
//A轮空
B/c, B/a
C/b, C/a （可得结论 轮空失败可能性为 2）
但也因为如此，这一轮决定了最后一轮就只剩下一种情况，A/b，C0或者A/c，B0
（其实可以也可以看作这一轮有四种可能，B，C都可能获胜，而最后一轮有两种可能）
第二，三轮仍然是各4种可能，所以是 2×4×4×1 = 32种可能
对于Case 2-2
做类似分析可以得到 2×8×4×1 = 64种可能性
Case 2-3为 2×4×8×1 = 64种可能性
因此可以得到：
Case 2： 160种可能性

----------------------分割线出现-----------------------------
对于case 3， A3夺冠，细分有6种可能，排列组合就是P4-2， 在除了最后一轮的剩下四轮里，给A1,A2按顺序找两个失败的机会
case 3-1: A1, A2, A3, A3, A3
case 3-2: A1, A2, A2, A3, A3
case 3-3: A1, A2, A2, A2, A3
case 3-4: A1, A1, A2, A3, A3
case 3-5: A1, A1, A2, A2, A3
case 3-6: A1, A1, A1, A2, A3
这次从后往前分析，case3-6最简单，第1，2轮全胜，1轮2种2轮4种可能，然后第三轮按上面分析8种可能，不过这样一来，给下面两轮没有别的其他选择了，假设第三轮B胜出则有：
4轮：B/a， 5轮：A/b
第三轮C胜出则有
4轮：C/a， 5轮：A/c
都是确定的唯一结果，所以惊人的类似，结果是和case2很像，
case3-6可能性为 2×4×8×1×1 = 64

那么再看Case3-5，第一轮2种，第二轮8种，第三轮A2出场时，因为BC仍全（其中一队1人，一队2人），所以也是4种可能性，第四轮结果由第二轮决定，如果第二轮B胜出，则有
4轮：B/a， 5轮：A/b
第二轮C胜出则有
4轮：C/a， 5轮：A/c
所以case 3-5可能性为 2×8×4×1×1 = 64

--小分割---
case3-4 情况就变得复杂起来，看看序列case 3-4: A1, A1, A2, A3, A3
第一轮仍然2种可能性，第二轮是8种可能性，由于两场连败，导致第三轮出现新的可能性：
第三轮三队都有人，仍然是8种可能性，但其中4种可能性是第二轮胜出队伍继续胜出，另外4种可能性是另一队胜出。
另一队胜出的情况下，BC都剩下1人，这样下面一轮人都很齐，A3在这一轮要淘汰另外两队，4种可能，就没有第五轮了，所以总可能数目为 2×8×4×4 = 256种
同队两次胜出的情况下，此队剩2人，因此A3在接下来两轮里确定只有一种可能，就是连续淘汰两个同队选手，所以总可能为 2×8×4×1×1 = 64种，
case3-4 一共320种

Case3-3 A1, A2, A2, A2, A3
第一轮A输掉，2种，第二第三A胜，各四种，这时B，C一队有人，一队为0，则第四第五轮为确定结果，即4轮：X/a，5轮 A/x
所以总数为 2×4×4×1×1 = 32种

case 3-2: A1, A2, A2, A3, A3
第一轮输掉，2种，第二轮胜利，4种，第三轮输掉，8种种可能（各四种，与3-4情况类似）。。。
总数160

case 3-1: A1, A2, A3, A3, A3
也是类似3-4，3-2，
1轮2种，2轮8种，
2轮其中4种（两队各丢一人），只有4轮，各4种结果，另外4种（一队丢2人）在第三轮有4种结果，四五轮各一种，所以总数
2×4×4×4 + 2×4×4×1 = 160种

这样，Case 3 一共 64+ 64 + 320 + 32 + 160 + 160 = 800种

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总共就是32+ 160 + 800种 = 992种

----没时间些别的原创了，用这个凑数吧

hufucopy

跟帖，先仔细学学。

参加比赛很多，到没深入考虑这些个问题。

陶梦

双坐地板，偶也仔细瞅瞅。

这个得占个位先。

zhangred

看着看着，快晕过去了

wyjlr

太复杂的题啊

yuanjh

楼主真有才！
不过还是请你弄完后检查检查。

桃子

柯镇恶，你怎么在茶社答起题来了？这怎么放松啊，搞不好下次就有人去画相似三角形了。

killl

这就是传说中的人力计算机，看得都晕了，直接给个答案就对付了。过程自己想

blueicenan

引用第0楼neotsu于2011-05-21 02:13发表的 【扁桃体原创集团】一道数学题的深入解答 :
一道高一数学题：

----没时间些别的原创了，用这个凑数吧；
.......

“写”是不是更合适？

错别字一个，柯兄，请低头认错！

一往无前

哈哈，那个时候解题，真真是不撞南墙不回头。体力困顿、脑袋犯迷糊的时候千万别干，这个可当不了催眠剂。

这样技术含量偏低、体力活的题，适合让计算机去干，还是老酷精明。

aazz1122

人力计算机

emppp

992种啊！
不过这个时间段或许人最清醒也不好说，跟年龄有很大的关系。