几个搞脑筋的概率问题

指舞如歌

玛丽莲问题是一个脍炙人口的问题，特别适合用来证明“概率论是一个潜流汹涌的领域”。

假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门（A、B、C）中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是A，然后主持人——他知道汽车的位置——拉开了另一扇门，假设是C。你明明白白地看到，C后面是山羊。现在主持人告诉你：你有权重新选择，放弃A而选择B。问题是：你是否应当改变最初的选择？

出题者玛丽莲女士的结论是：应当改变。如果不改变，中奖概率是1/3；如果改变，中奖概率是2/3。

信不信由你：许多统计学教授认为这个答案是错误的。

最近车明大侠在悬赏区重提这个问题，引起众多关注。（http://www.readfree.net/bbs/read ... ;toread=&page=1）不过车大侠主要关心这个问题的变种：

假定主持人并不知道汽车的位置，他随机地拉开一扇 ，并且发现后面是一只山羊。问题是：你是否应当改变最初的选择？

正确答案：改不改无所谓。

在概率论中，有许多类似的问题。比较简单的一个：我有两个孩子，已知其中一个是男孩，问另一个孩子也是男孩的概率是多少？

别着急回答，耐心算算，很好玩的。

昨晚我和一个朋友聊起玛丽莲问题。此君是经济学家，概率论发烧友，以前他经常找一些概率趣题考我。今天他又发给我一个问题（可见一个人的习惯是很难改变的）：

假设一个人面对三个东西：苹果、橘子、梨。你不知道他的偏好。假定偏好是传递性关系，也就是说，从“此人喜欢A胜于喜欢B，并且，此人喜欢B胜于喜欢C”出发可以推出“此人喜欢A胜于喜欢C”。此人对这三样东西的偏好各不相同。对你来说，他的偏好可以是六种全排列里的任何一种，而且是等可能的。现在我告诉你这个人喜欢苹果胜过橘子，问他喜欢苹果的概率大，还是梨的概率大？

这个问题与玛丽莲问题异曲同工，只是更加违反直觉。

下面把这个问题做一个小小的变形，目的是使其更容易分析。

有三个变量A、B、C，分别赋值为1、2、3。一共有六种赋值方案，每一种概率相同。现在我告诉你，A大于B，问A大于C的概率是多少。

这个问题如果你想通了，水果问题就容易理解了。

下面这个问题是不是一个触类旁通的问题呢？

随机选择三个自然数A、B、C，已知A大于B，问A大于C的概率是多少。

小心上当！这个问题恐怕好多人都会答错。

我上学时见过一个非常“迷人”（迷惑的迷）的问题：

在一个园中任意选一条弦，问弦长大于半径的概率是多少？

当年，我曾经用这道题考过很多人。我见过好多种答案：1/6，1/2，1/4，等等。每种答案看起来都相当合理。如果你有耐心，可以找到无穷无尽的答案。

怎么会这样呢？——一个数学问题理应只有一个答案。要点在于，“在一个圆中任意选一条弦”中的“任意”二字太任意了！因为这个词是模糊的，所以答案也是不确定的。

现在你一定明白三个自然数的问题中的圈套何在了。“随机选择三个自然数”这个说法不是太“随机”了吗？

非常有趣的问题。值得好好想想，不过不要太用劲儿，否则，就不那么有趣了，哈哈。

hpudqx

以前喜欢玩“大富翁”的电子游戏，里面有个“赌场”，掷骰子押大小。
如果前面n次掷的骰子都是“小”，那么下一次“大”的概率大些还是“小”的概率大些？

yu_xin51

引用第1楼hpudqx于2009-03-22 14:43发表的 :
以前喜欢玩“大富翁”的电子游戏，里面有个“赌场”，掷骰子押大小。
如果前面n次掷的骰子都是“小”，那么下一次“大”的概率大些还是“小”的概率大些？

教科书上说，下一次是“大”的概率为1/2。

还有这个问题：

假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门（A、B、C）中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是A，然后主持人——他知道汽车的位置——拉开了另一扇门，假设是C。你明明白白地看到，C后面是山羊。现在主持人告诉你：你有权重新选择，放弃A而选择B。问题是：你是否应当改变最初的选择？

我认为应该改变，改变后的中奖概率也是1/2。

我概率学得不好，不知对不对？

指舞如歌

引用第2楼yu_xin51于2009-03-22 14:46发表的 :

我认为应该改变，改变后的中奖概率也是1/2。

我概率学得不好，不知对不对？

回兔兄：

确实应当改变。不过改变之后中奖概率不是1/2，而是2/3。

下面这个链接来自悬赏区，有非常充分的讨论。
http://www.readfree.net/bbs/read ... ;toread=&page=1

hpudqx

假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门（A、B、C）中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是A，然后主持人——他知道汽车的位置——拉开了另一扇门，假设是C。你明明白白地看到，C后面是山羊。现在主持人告诉你：你有权重新选择，放弃A而选择B。问题是：你是否应当改变最初的选择？

指舞老师指点一下，我下面的分析哪儿有错误：
不管你最初选择的门后有车还是有山羊，主持人总是会拉开一扇有山羊的门。在主持人拉开门后，剩下两扇门，一扇门里有山羊，一扇门里有汽车。这个时候，选中汽车的概率是1/2。因此，无论是否改变最初的选择，获得汽车的概率不变。

hpudqx

引用第2楼yu_xin51于2009-03-22 14:46发表的 :
教科书上说，下一次是“大”的概率为1/2。

进一步问兔兄：前n次都是“小”，第n+1次仍是“小”的概率是1/2吗？

指舞如歌

引用第4楼hpudqx于2009-03-22 20:06发表的 :

指舞老师指点一下，我下面的分析哪儿有错误：
不管你最初选择的门后有车还是有山羊，主持人总是会拉开一扇有山羊的门。在主持人拉开门后，剩下两扇门，一扇门里有山羊，一扇门里有汽车。这个时候，选中汽车的概率是1/2。因此，无论是否改变最初的选择，获得汽车的概率不变。

为讨论方便，假定你最初选择的是A，主持人拉开了C。

在你的分析中，A与B是对称的，所以二者后面有车的概率相同——最初都是1/3，在主持人拉开C以后都上升为1/2。其中的错误在于，虽然A与B在最初是对称的，但是在主持人拉开C以后，二者就不是对称的了。具体地说，在拉开C以后，A后有车的概率不变，而B后有车的概率上升为2/3。

分两步说明。

其一，拉开C发现有羊，并不影响A后有车的概率。这是因为，在无论A后面是车还是羊，主持人一定可以在B和C中选择一个有羊的门（主持人事先掌握充分信息），所以主持人的行为并不改变A后面有羊的概率。

其二，拉开C发现有羊，改变了B后有车的概率。这是因为，B后面是车的概率加上C后面是车的概率等于2/3。由于主持人拉开C并不影响A后面是车的概率，所以B后面是车的概率加上C后面是车的概率这个“和”也不受主持人拉开C的影响——最初是2/3，拉开C以后还是2/3。不过拉开C以后，已然证明C后面是车的概率为0，因此，B后面是车的概率为2/3。

这个问题的关键在于，当A后面有车时，主持人可以在B和C之中任选一个门拉开，恰好选中C的概率为1/2；相反，当A后面有车时，主持人没得选，只能拉开一扇门。想通了这个关节，就可以用贝叶斯定理严格证明。

用P（A）和P（B）分别表示“车在A门后”和“车在B门后”的先验概率；用p表示“在玩家选择A的情况下，主持人拉开了C门”。根据贝叶斯公式，
P(A|p)=P(A)P(p|A)/(P(A)P(p|A)+P(B)P(p|B))

由上文分析，P(p|A)=1/2，P(p|B)=1；而P(A)=P(B)=1/3。代入公式，得P(A|p)=1/3。

类似地，可得P(B|p)=P(B)P(p|B)/(P(A)P(p|A)+P(B)P(p|B))=2/3。

澹台秋水

如果主持人打开的是有羊的那道门，肯定应该换

悬赏区的不换的结论是因为主持人有1/3的概率会打开有车的那道门，但是楼主的命题里明确的是打开有羊的那道门，所以应该换。

因为车在剩下2道门的概率为2/3，现在给排除了一道门相当于车在最后一道门里的概率变为2/3了。

苹果、梨子、橘子的问题相当于一个排列组合的问题，现在苹果在橘子前面的相对位置已经确定了，那么剩下的梨只有3种排列的可能：排在最前（苹果前面）、苹果和橘子之间、橘子之后；由此可见，苹果排在梨前面的概率是2/3而梨在苹果前面的概率为1/3。

自然数的那个由于自然数是无穷多，随机选的结果就是大于、等于或小于；等于的概率可以忽略不计（相当于无穷大分之1），所以A大于C的概率应该是1/2

弦长大于半径的概率应该是2/3，推理如下：

弦长等于半径的圆心角为60度（正三角形），画一条弦可以分为两步，第一步随机在圆周上选定起点，第二部随机选择终点。我们可以很容易的发现，如果弦长小于等于半径，则终点应该落在和起点的圆心角小于等于60度的弧上（左右两个方向），则在120度范围内的圆弧内的落点为弦长小于半径；终点落在其他范围则弦长大于半径。圆周为360度，所以弦长大于半径的概率为（360-2×60）/360=2/3

指舞如歌

引用第7楼澹台秋水于2009-03-22 21:48发表的 :
如果主持人打开的是有羊的那道门，肯定应该换

悬赏区的不换的结论是因为主持人有1/3的概率会打开有车的那道门，但是楼主的命题里明确的是打开有羊的那道门，所以应该换。

因为车在剩下2道门的概率为2/3，现在给排除了一道门相当于车在最后一道门里的概率变为2/3了。
.......

分析很精彩，除了最后两道题可以再推敲。

自然数那道题限制条件不明，所以结论也不确定。

弦长那道题，澹台兄何不尝试一下证明结论可以等于1/2或1/4。有位数学家告诉我，他可以证明结论是0和1之间的任意数，而且找不到明显的推理错误。

我对测度理论不熟悉，所以不敢精确、深入地讨论最后两道题。

betula

的确是伤脑筋的问题啊。支持。好东西啊。呵呵

荣百川

很有意思的题目，受教了。

指舞如歌

引用第10楼荣百川于2009-03-23 12:03发表的 :

除非你弄个大富翁5给我玩玩，我找不到以前的版本了，怪想念的

.......

大富翁5很好找的，在迅雷上一搜一大堆。

偶没玩过大富翁5，不过当年对大富翁4下过功夫。好像是控制了研究所就控制了全局，用机器娃娃、路障、遥控骰子之类的道具，很容易把别人搞破产。把别人的产业折腾得差不多之后，造个原子弹把大家的房产都清空，然后再折腾一遍……
爽~

好多年以前的事儿了……无比还念可以通晓打游戏的青葱岁月~

hpudqx

我玩的是大富翁2，老古董了。

starrynight

引用第7楼澹台秋水于2009-03-22 21:48发表的 :
因为车在剩下2道门的概率为2/3，现在给排除了一道门相当于车在最后一道门里的概率变为2/3了。

好像不对吧，如果随机，即主持人有可能抽到车，那么如果换，就是否认第一次抽到的是车，如果不换，就是否认剩下的一扇门里是车，所以结果是一样的。相当于主持人先选一扇门，打开是羊，那么你会选剩下的哪扇门呢？
当然这是建立在都不知道的前提下的，如果主持人知道哪扇门里有车，那他就不是随机抽了，因为主持人是有选择性的开门，所以不能用上面的想法来理解了。

澹台秋水

引用第13楼starrynight于2009-03-23 12:54发表的 :

好像不对吧，如果随机，即主持人有可能抽到车，那么如果换，就是否认第一次抽到的是车，如果不换，就是否认剩下的一扇门里是车，所以结果是一样的。相当于主持人先选一扇门，打开是羊，那么你会选剩下的哪扇门呢？
当然这是建立在都不知道的前提下的，如果主持人知道哪扇门里有车，那他就不是随机抽了，因为主持人是有选择性的开门，所以不能用上面的想法来理解了。

问题是在给定的题干里已经说了主持人打开的是有羊的那道门啊，所以在这道题目里把主持人抽到车的1/3可能给排除了

starrynight

引用第14楼澹台秋水于2009-03-23 15:38发表的 :


问题是在给定的题干里已经说了主持人打开的是有羊的那道门啊，所以在这道题目里把主持人抽到车的1/3可能给排除了

随机情况下，先选后选结果都一样，所以问题相当于主持人先选一扇门，打开是羊，那么你会选剩下的哪扇门呢？

指舞如歌

引用第14楼澹台秋水于2009-03-23 15:38发表的 :


问题是在给定的题干里已经说了主持人打开的是有羊的那道门啊，所以在这道题目里把主持人抽到车的1/3可能给排除了

澹台兄，主贴中给出了两道车—羊问题。第一题是主持人事先知道车的位置，并且在你做出第一次选择之后拉开一扇他明知是羊的门；第二题是主持人事先不知道车的位置，并且在你做出第一次选择之后随机地拉开一扇门，发现其中是羊。两道题截然不同。

其实，只有借助贝叶斯公式做出的证明才是严格的，其他分析总要借助一些直观的结论，例如，拉开C改变（或不改变）车在A后面的概率，而在概率论领域，直观是最玄妙莫测的。

另外，关于弦长的问题，澹台兄是否发现了其他答案？哈哈~

澹台秋水

呵呵，我知道主持人事先知道车的位置和不知道有区别，但是问题在于这道题目虽然主持人不知道，但是事实上却打开了一道有羊的门，这个事实也是不容忽视的，在这个前提下，最后一道门有车的概率就是2/3。因为在这种情形下，车子只能在第一道门和最后一道门二者之间，而第一道门后面有车的概率是1/3不可能因为主持人后来的行为而改变，那么车子在剩下那道门的概率就是2/3。

至于弦长的问题，目前我还是觉得我的推断是对的

aliern

内容已删除。。。

starrynight

弦长问题根据不同的取弦的方法有不同的结果，比如取某一角度的所有平行弦；或者在圆周上任取一点，然后以任意角度画弦……
以上两种方法应该也都是随机的，但是结果不一样