问答 数学 巧拿棋子

worldword1

有个游戏叫做3，5，7。
有三堆棋子，每堆棋子的数量分别是3个，5个和7个。两人轮流拿子，每次拿子至少要拿1个，至多可以把一堆棋子拿光，但是只能在一堆棋子中取子，不可以在两堆或三堆棋子中同时拿子。谁拿到最后一枚棋子，就判谁为负。
问题是：如果你参加这个游戏，你的最佳策略是什么？

yehuo172

1. 如果只剩两堆棋子且两堆棋子相等，谁先拿谁输。
2. 三堆如果是1、1、1，谁先拿谁输。
3. 如果是1、2、3，谁先拿谁输。
4. 如果是1、4、5，谁先拿谁输。
5. 如果是2、4、6，谁先拿谁输。
6. 因此3、5、7，谁先拿谁赢，且只能拿一个棋子。

hyss

倒过来想
要保证对方最后拿到棋子，那么就是轮到自己取时剩下一个棋子。
如此这般，那么必胜的策略就是先取，且取得只剩下一个棋子。从任意一堆开始都可以。

worldword1

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xcaogu

(1)剩1堆，1个棋子时，该拿棋子的人输。
  理由：  题设
(2)剩1堆，n个棋子时（n为大于1的整数），该拿棋子的人赢。
  理由：  拿走n-1个棋子，令对方面临(1)的情况。
(3)剩2堆，其中有一堆是1个棋子时，该拿棋子的人赢。
  理由：  将另一堆棋子全拿走，令对方面临(1)的情况。
(4)剩2堆，都是2个棋子，该拿棋子的人输。
  理由：  若此人拿2个，则对方面临(2)的情况；
    若此人拿1个，则对方面临(3)的情况。
(5)剩2堆，一堆是2个棋子，另一堆n个棋子（n为大于2的整数），该拿棋子的人赢。
  理由：  拿走另一堆的n-2个棋子，令对方面临(4)的情况。
(6)剩2堆，都有n个棋子（n为大于2的整数），该拿棋子的人输。
  理由：  若此人拿走n个棋子，对方面临(2)的情况；
    若此人拿走n-1个棋子，则对方面临(3)的情况；
    若此人拿走n-2个棋子，则对方面临(5)的情况；
    若此人拿走m个棋子（0<m<n-2），则对方拿走另一堆中的m个棋子，令此人再次面临(6)的情况，棋子数有限，每次最少拿走1个，因此不能无限次循环(6)的情况，终究会变化为前面几种情况。
(7)剩2堆，各有n1，n2个棋子（n1，n2为大于2的整数，n1不等于n2），该拿棋子的人赢。
  理由：  拿走棋子较多的一堆中的|n1-n2|个棋子，令对方面临(6)的情况。
(8)剩3堆，每堆各1个棋子，该拿棋子的人输。
  理由：  拿任意1个棋子后，对方面临(3)的情况。
(9)剩3堆，其中2堆各1个棋子，另1堆有n个棋子（n为大于1的整数），该拿棋子的人赢。
  理由：  拿走有n个棋子的那堆中的n-1个棋子，令对方面临(8)的情况。
(10)剩3堆，其中1堆1个棋子，另外2堆都有n个棋子（n为大于1的整数），该拿棋子的人赢。
  理由：  拿走1个棋子的那堆，对方面临(6)的情况。
(11)剩3堆，其中1堆1个棋子，另外2堆分别有2n和2n+1个棋子（n为正整数），该拿棋子的人输。
  理由：  （略）需要数学归纳法证明，先证明n=1时，即3堆棋子个数分别为1,2,3时，该拿棋子的人输（穷举法，归结于上述各种情况）。再假设n=1,2,...,k时，该拿棋子的人输，从而1,2i,m（m>2i+1）和1,2i+1,m（m>2i）（i=1,2,...,k）时该拿棋子的人赢，从而推出n=k+1时，该拿棋子的人输。从而证明(11)。
(12)剩3堆，其中2堆分别有1和2n个棋子（n为正整数），另1堆m个棋子（m为大于2n+1的整数），该拿棋子的人赢。
  理由：  可以拿走有m个棋子的那堆中的m-2n-1个棋子，令对方面临(11)的情况。
(13)剩3堆，其中2堆分别有1和2n+1个棋子（n为正整数），另1堆m个棋子（m为大于2n的整数），该拿棋子的人赢。
  理由：  可以拿走有m个棋子的那堆中的m-2n个棋子，令对方面临(11)的情况。
(14)剩3堆，其中2堆分别有2n和2n+1个棋子（n为正整数），另1堆m个棋子（m为大于1的整数），该拿棋子的人赢。
  理由：  可以拿走有m个棋子的那堆中的m-1个棋子，令对方面临(11)的情况。

2、4、6，该拿棋子的人输。

246-146-145-输
246-046-044-输
246-236-231-输
246-226-220-输
246-216-213-输
246-206-202-输
246-245-145-输
246-244-044-输
246-243-213-输
246-242-202-输
246-241-231-输
246-240-220-输

357走法：
357-257-见下（后面的输是对方输）
357-157-154-输
357-057-055-输
357-347-见下（后面的输是对方输）
357-337-330-输
357-327-321-输
357-317-312-输
357-307-303-输
357-356-见下（后面的输是对方输）
357-355-055-输
357-354-154-输
357-353-303-输
357-352-312-输
357-351-321-输
357-350-330-输

257-157-154-输
257-057-055-输
257-247-246-输
257-237-231-输
257-227-220-输
257-217-213-输
257-207-202-输
257-256-246-输
257-255-055-输
257-254-154-输
257-253-213-输
257-252-202-输
257-251-231-输
257-250-220-输

347-247-246-输
347-147-145-输
347-047-044-输
347-337-330-输
347-327-321-输
347-317-312-输
347-307-303-输
347-346-246-输
347-345-145-输
347-344-044-输
347-343-303-输
347-342-312-输
347-341-321-输
347-340-330-输

356-256-246-输
356-156-154-输
356-056-055-输
356-346-246-输
356-336-330-输
356-326-321-输
356-316-312-输
356-306-303-输
356-355-055-输
356-354-154-输
356-353-303-输
356-352-312-输
356-351-321-输
356-350-330-输