问答 生活科学类－乐音背后的科学？√欢迎扩展讨论，有金豆奖励√

muntzer

青少年时期读过一些小说，《约翰 克里斯托弗》是印象最深的一本了。读这本书时所体会到的巨大的享受，肯定是一生中最美好的回忆之一……

我出的题目与这本书有关，下面是该书第一卷的第二部的片断，因为书写得太好了，忍不住，把这一段全部引出来。与题目直接相关的，我用红色标出，重点部分还加了粗。
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……
如今他最快乐的是母亲整天出去帮佣或上街买东西的时候。他听着她下楼，到了街上了，走远了。只有他一个人了。于是他揭开钢琴，拖着一张椅子，爬在上面，肩头刚和键盘一样高：那就行了。为什么他要等大人不在家呢？平常也没人拦着他不许玩，只要声音不太大。但当着别人他不好意思，他不敢。而且他们说话，走动，把他的乐趣给破坏了。没有人的时候才妙呢！……克利斯朵夫屏着气，因为希望周围更静，也因为心里慌张，仿佛要去开炮似的。他把手指按上琴键，心就跳了；有时他把一个键子捺了一半就放手，再去捺另外一个。谁知道从这一个里出来的是什么呢？……忽然声音来了：有些是沉着的，有些是尖锐的，有些是当当的响着，有些是低低的吼着。孩子一个又一个的听上老半天，听它们低下去，没有了；它们有如田野里的钟声，飘飘荡荡，随着风吹过来又吹远去；细听之下，远远的还有别的不同的声音交错回旋，仿佛羽虫飞舞；它们好象在那儿叫你，引你到窎远的地方……愈趋愈远，直到那神秘的一角，它们埋进去了，沉下去了……这才消灭了！……喔，不！它们还在喃喃细语呢……还在轻轻的拍着翅膀呢……这一切多奇怪！好象是些精灵鬼怪。它们多么听话，让人家关在这只破旧的箱子里，这可弄不明白了！
　　但最美的是用两个手指在两个键上同时按下去。那你永远不会知道是什么结果的。有时两个精灵是敌对的；它们彼此生气，扭打，怨恨，起哄，声音变得激昂了，叫起来了，一忽儿是愤愤的，一忽儿又是很和气的。克利斯朵夫顶爱这种玩艺儿；那可以说是被缚的野兽，咬着它们的锁链，撞着笼子的壁，仿佛要把它撞倒了跳出来，正象童话里的鬼怪，给关在封有所罗门印玺的阿拉伯箱中。——有些精灵却奉承你，诱哄你，其实它们也只想咬人，而且都是火辣辣的。克利斯朵夫不知它们要什么，它们勾引他，使他神摇意荡，差不多脸红了。——还有一些相亲相爱的音，在那儿互相搂抱，好似两个人的亲吻；它们是妩媚的，柔和的。这是些善良的精灵：它们笑靥迎人，脸上没有一丝皱痕；它们喜欢小克利斯朵夫，小克利斯朵夫也喜欢它们；他含着眼泪听着，一遍又一遍的把它们叫回来。那是他的朋友，亲爱的，温柔的朋友……

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抛开文学家的渲染，上述内容的红色字，尤其是加粗了的文字的背后，讲的是不同的两个乐音同时发出时，带给人们听觉上的不同感受。

这些感受并非完全是心理的，那么，它们的背后，有什么科学道理呢？

companion

和声的本源:16世纪中，意大利音乐家G.扎利诺将音乐理论与数学结合起来，采用一根弦的和谐划分与等差划分的方法，来说明和声产生的原理。大和声由一根弦的和谐划分产生,用数字11/2、1/3、1/4、1/5、1/6代表。小和声由一根弦的等差划分产生，用数字1、2、3、4、5、6的比例代表。他将1、2、3、4、5、6这 6个数字与它们的比例称为“六数列”，从中可直接或间接地得到所有协和音程(不包括小六度)如1:2为八度,2:3为五度,3:4为四度,4:5为大三度,5:6为小三度,3:5为大六度，比数愈简单则其协和程度愈完满。因此他认为六数列是和声所由产生的自然原理，六数列中的各音同时发声，具有最悦耳的特性。他将包含有三度音、五度音(或十度音、十二度音)的和声称为“完满和声”。18世纪中,法国著名作曲家、理论家J.-P.拉莫最初亦应用数学的方法来说明和声的本源，但在掌握了音响学与泛音列的研究成果后，他认为和声（各类协和音程与大三和弦）本身即包含在发音体的共振中，具有明确的物理基础，而且发音体本身各部分的振动，也包含了和揩比例。因此他认为和声学是物理学－数学的科学。以后，拉莫又提出了加三度音构成和弦的原则，并提出三度音程是和声的最基本的组成要素。意大利小提琴家、作曲家G.塔尔蒂尼发现了合成音，认为合成音是和声的基础低音,也是对泛音列现象的确定,因为在许多情况下,如果以合成音为基音，则上方音程相当于它的泛音。其后，不少理论家、科学家、作曲家，如 H.von黑尔姆霍尔茨、A.J.von厄廷根H.里曼、P.欣德米特等继续从音响学、泛音列等方面来确立音阶与和声构成的原理，F.W.马普尔格依据拉莫提出的加三度构成和弦的方法予以发展，形成和弦构成的三度叠置理论，这一和弦构成原则被广泛采用。另外，有些音乐理论家则完全反对从数学、音响学等方面去探究和声理论比利时音乐史家F.-J.费蒂斯认为应从调性中去寻找音乐的基本法则，而调性的法则从大小调音阶中形成。德国音乐家M.豪普特曼声称以音响现象或数学级数与比例等作为和声理论的基础是不适当的，提出以G.W.F.黑格尔的辩证法三段式作为构成和弦,和弦连接、音阶与调体系的基础。他认为只有3个直接可理解的音程:八度、五度与大三度,是和声唯一明确的组成要素。因此，他认为只有一个本源的、基础的和弦，就是大三和弦，从这一和弦结构衍生出一切其他和弦。

muntzer

companion 的资料很全面啊，把和声学的历史基本上都说全了。题目中的现象，正是关于“和声学”的基础的。

大师就是大师啊，罗曼罗兰这一段描绘，几乎就是关于音程的和谐性的教科书了。当然，傅雷先生的美仑美奂的译文，也功不可没。


不过，上面的资料好象还只停留在“音乐理论”的层面，虽然提到了一些科学成果，但毕竟没有实实在在地用科学理论来解释音程的和谐与不和谐。

用乐理知识解释小约翰克利斯多弗听到的“两个键上同时按下去，有时彼此扭打，……有时互相搂抱”，是比较明确的：
如果按下去的两个音呈八度、纯五度、纯四度，甚至是大小三度，六度，则两个音是和谐的，互相搂抱的；
如果按下去的两个音的关系是增五度、减四度、大小二度，七度，则两个音因为极不和谐，不免就要打架了。

上述音乐理论，有什么科学道理？也就是说你凭什么说增五度的音程极不和谐？
听来的？是的，听起来确实如此，罗曼罗兰是这样写的，我们大家如果去听的话也是如此……
讲一点道理出来啊。

aliern

问题牵涉到音乐的本质，网上有些文章，可资参考。
音乐的本质：http://www.douban.com/group/topic/1012901/
音乐介绍：http://www.soouo.com/baike/1744.htm
律制的基本原理：http://blog.club.sohu.com/list_d ... 2P2&kindid=8393

再看看 纯律、五度相生律、十二平均律 的来历，估计就了解差不多了。

muntzer

引用第3楼aliern于2008-06-12 17:56发表的 :
问题牵涉到音乐的本质，网上有些文章，可资参考。
音乐的本质：http://www.douban.com/group/topic/1012901/
音乐介绍：http://www.soouo.com/baike/1744.htm
律制的基本原理：http://blog.club.sohu.com/list_d ... 2P2&kindid=8393

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知识总是越多越好。

但是，这里只简单地分析一下两个乐音在机械振动方面的关系就可以了。

提示一下：（括号里的数字有些是准确值，有些是近似值——因为有律制的差别）

譬如，按下a1（频率440）这个键，与按下a2（频率880）这个键，听起来如此和谐简直就是一个声音似的
按下a1这个键，与按下e2（频率660）这个键，听起来也是很和谐的。

但是，按下a1再按下b1（频率？？），那就坏了，两个音打架了。

上述现象，不需要了解多少音乐理论就足以分析了。

muntzer

看来题目虽然比较符合本版块的要求，但是，可能有些偏了，参与的园友很少。

出题者公布答案吧，当然，也是可以商榷的。
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两个乐音同时发出，有的听起来相互排斥，有的听起来很和谐，最早系统地研究这个现象并建立了初步理论的，是古希腊著名的大贤——毕达哥拉斯。  

毕达哥拉斯是古代世界最杰出的数学家之一，他及他的学派最出名的两项成就，一是我们中国人说的“勾股定理”，二是发现了无理数（根号２）。

传说，毕达哥拉斯通过反复聆听、研究铁锤打铁的声音，总结出了乐音“和声”的规律，并进而创立了著名的“五度相生律”。  

毕达哥拉斯“琴弦定理”：
在给定张力作用下，一根给定弦的频率与其长度成反比；弦长之比越简单，和声越和谐。

今天的物理书里有了相关的公式，用来描述一根弦的振动频率与其张力张力、弦长、弦的粗细（线密度）的关系。（该公式见本楼的最下面的图片）

根据这个公式，琴弦所发出声音的频率，确实与弦长成反比——这就解释了毕达哥拉斯的“琴弦定理”。

现代钢琴的琴弦所发声的声高，可以根据上述公式加以确定。

根据毕达哥拉斯定理稍作推论，即得出：两个音的频率之比越简单，其“和声”听起来越和谐。

这个结论，就解释了《约翰　克利斯多弗》书中所描绘的小克利斯多费耳中的音乐感觉。

当按下a1（频率440）这个键，与按下a2（频率880）这个键，二者频率比为２：１，简单得不能再简单了，所以，听起来如此和谐简直就是一个声音似的。乐理上称为“八度”。
按下a1这个键，与按下e2（频率约为660）这个键，二者频率比为2：３，简单性方面仅次于前一个比例，乐理上叫作“纯五度”，听起来也是很和谐的。

但是，按下a1再按下b1（频率大约493），那就坏了，二者频率之比要三位数比三位数吧，这么复杂的比例，难怪两个音同声发出，就会打架了。这两个音，乐理上叫作“大二度”。

也许有的朋友还会刨根问底，问道：为什么两个声音的频率之比越简单，则它们同时发出来就越和谐呢？

全面解释这个问题，恐怕既要从物理方面，也要从生理、心理方面，这里仅从物理方面来说明一下。

我们就从大学者达朗贝尔谈起吧，学过力学的人，都知道达朗贝尔的名字，在力学中达朗贝尔与欧拉、拉格朗日齐名。
达朗贝尔与当时著名哲学家狄德罗一起编纂法国《百科全书》，并负责撰写数学与自然科学条目，是法国百科全书派的主要首领。  

达朗贝尔对弦的振动进行了深入的研究，导出了弦振动方程及其最早的解。
根据达朗贝尔的研究，一根弦在外力作用下（外力解除以后）发生振动，其振动频率可以表达成下面的现代形式。
  
该式中，n取值为自然数。
根据这个公式，一根弦发生振动时，其振动频率为无穷多种（对应于上述公式中的n取不同的数值），其中最低的那个频率（n＝1），称为“基频”；其余的称为“倍频”，是基频的某个倍数。
一根琴弦振动时，它发出的声音的频率有基频、二倍频（n＝２）、三倍频（n＝３）、……N倍频……

倍频音，音乐理论上称为“泛音”。上述的频率系列，称为“泛音列”。每个乐音，其实都包含着一个“泛音列”。（如果两个音，其音高相同，但各泛音的强度不同，给人的听觉也有区别，这个区别在音乐上称作“音色”的区别。你用二胡拉出一个A1音，与小提琴拉出来的A1音，虽然频率相同，听起来也差别很大）

根据这个道理，当钢琴的a１键按下时，发出了440HZ的频率，同时，还有880HZ、1320HZ、1760HZ……2640HZ……等等泛音列。
按下a２键发出的声音，会发出880HZ的频率，同时，还有1760HZ、2640HZ……等等泛音列。

对照一下a1键与a2键所发出的所有频率，显然，a2键所发的频率，全部包含在a1键所发的频率中！
换言之，这两个键同时发音，所发出的频率，与单独的a1键发出的频率，并无不同！

既然如此，两个音同时发出，自然听起来几乎象一个音一样。（当然，由于“频谱”不同，听起来还是有差别的……什么叫“频谱”啊？不扯了，越扯越远啊……）

这是纯八度的情况，纯五度的情况也有点类似：

当钢琴的a１键按下时，发出了440HZ的基频率，同时，还有880HZ、1320HZ、1760HZ……2640HZ……等等倍频。
当钢琴的e2键按下时，发出了660HZ的基频，同时，还伴着1320HZ、1980HZ 、 2640HZ　……等倍频.

看到了吧，这两个音的泛音列所包含的频率，有很多是相同的（红色部分）！所以，听起来很和谐。这两个音，简直就是你中有我，我中有你啊！倘同时发声，岂能不和谐？

但是，当a1与b1键同时发声，那就糟了，两个音各有各的泛音列，仿佛各唱各的调，互不相让，有你无我，不能溶合。人耳对之产生反应，自然感觉它们在打架了。

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为了严格起见，说明一点：
为了说明“和谐”的现象，上述E2键的频率值是采用“五度相生律”或“纯律”值的。但实际上钢琴的律制是“十二平均律”，与“五度相生律”及“纯律”有差别。不过，差别很小，一般正介于人耳能分辨和不能分辨的临界点上。

muntzer

先给参与的两位园友各评2分，其余的评给扩展讨论的园友。