问答 数学知识类-kill版家的大花园 √欢迎扩展讨论，有金豆奖励√

estd_ray

kill版版家5000平米的大花园里铺设了红、绿、黄、紫四块相同大小的正方形草皮。
彩色草皮相互连接围成了一个菱形的中央花坛。
每周，kill版都要开着他800匹马力的除草机精心修剪他的草坪。
除草机从绿色草皮中心出发，沿蓝色路线依次经过红、黄、紫色草皮中心，最后回到红色草皮中心。
请证明除草机经过的路线为一个正方形！！

请作图解答，并给出解题思路。

joen

利用菱形的对角线垂直，和梯形（例如BDGF,或者AEFC）可以得到路线为矩形！！

所以路线的各个角度为90度，那么AH=AE=BE=BF;==>>HE=EF。所以为正方形！！

estd_ray

引用第1楼joen于2008-05-24 21:37发表的 :
利用………………

请按题目要求作图

aliern

问题等价于：当图中正方形C、B点沿x、y轴滑动时，过正方形中心F分别作垂直于x、y轴的线段FM、FN，所形成的四边形FMON为正方形。

解答：
容易证明，红色的2个三角形对应的三个内角相等，又FC=FB，两个直角三角形全等，则FM=FN，FMON为正方形，问题得证。

estd_ray

题目自身很简单，欢迎大家继续拓展

aliern

哦，这题被提前了，那就再来谈谈。
1、问题看似简单，其实结果“经过的路线为一个正方形”，并不能想当然地直接获得。
2、看似静态的问题，实为动态问题。即不论周围四块相同大小的正方形的边长多大，它们之间的夹角多大，结论“经过的路线为一个正方形”不变。
3、从运动的角度看，应当可以证明，红、绿、黄、紫四块正方形中心的运动轨迹在 y=x 和 y=-x 上。
4、设周围四块正方形草皮的边长为a，则除草机经过的路线的长度大于4a，小于等于4*2^(1/2)*a

aliern

estd_ray 兄过奖了，多谢！
一点浅见，献丑。

estd_ray

一种解答：

题目要证明除草机行进路线为正方形，分两步进行：
1、证明图形为矩形
  根据中央菱形对角线互相垂直，且四块正方形草皮是关于菱形中心点O轴对称，关于两条对角线轴对称的特点，推出除草机所走四边形EF、GH平行于AC，FG、EH平行于BD；由于四边形的边互相垂直，得出EFGH为矩形的结论。
2、证明该矩形对角线互相垂直
  对于四边形AOBE，容易知道∠AOB+∠AEB＝90°+90°=180°，因而AOBE为以AB为直径的圆的内接四边形。根据圆内接四边形同圆弧圆周角相等，推出∠AOE＝∠ABE＝45°；同理可得到∠AOH＝45°。因此矩形EFGH对角线相互垂直，所以得证EFGH为正方形。

estd_ray

总结：
要证明四边形为正方形，一般均分步骤进行，证明矩形在先，然后根据正方形边长相等或对角线垂直的特性，进一步得证正方形。
2楼即从边长相等证明正方形的，本人给出的答案则是从对角线互相垂直获证正方形。
3楼利用简化的等价证明获得结果，确实高招

本次活动评帖共用去15豆豆，谢谢楼上的参与

muntzer

拓展一下。

kill版版打算将每周800匹马力的除草机所走的正方形路线，修成精致的道路。

在进行预算时，需要计算正方形路线的长度。可是，KILL版版有点粗心，居然没有想过测一下四块草皮中心那个菱形的角度，因此，没有办法计算出正方形的四边总长。

不过，既然只是预算，那么，先给出正方形四边总长的范围（即最大值和最小值）也就够了。

假设四块草皮的边长为20米，大家来确定一下除草机所走的正方形路线总长的范围——也比较简单了，计算时，请说明你的理由，不然，KILL版版听了后会将信将疑啊。