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发表于 2008-2-25 23:01:12
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称球问题——经典智力题推而广之三
异调
说明
这篇文章试图给出称球问题的一个一般
的和严格的解答。正因为需要做到一般和严
格，就要考虑许多平时遇不到的特别情形，
所以叙述比较繁琐。如果对读者对严格的证
明没有兴趣，可以只阅读介绍问题和约定记
号的第一、第二节，以及第三节末尾27个球
的例子，和第五节13个球和40个球的解法。
事实上所有的技巧都已经表现在这几个例子
里了。
一、问题
称球问题的经典形式是这样的：
“有十二个外表相同的球，其中有一个坏球，它的重量和其它十
一个有轻微的（但是可以测量出来的）差别。现在有一架没有砝码的
很灵敏的天平，问如何称三次就保证找出那个坏球，并知道它比标准
球重还是轻。”
这可能是网上被做过次数最多的一道智力题了。它的一种解法如
下：
将十二个球编号为1-12。
第一次，先将1-4号放在左边，5-8号放在右边。
1.如果右重则坏球在1-8号。
第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放
在右边。就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。
1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号。如果是1号，
则它比标准球轻；如果是5号，则它比标准球重。
第三次将1号放在左边，2号放在右边。
1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重；
3.这次不可能左重。
2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号，且比标准球轻。
第三次将2号放在左边，3号放在右边。
1.如果右重则2号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则4号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则3号是坏球且比标准球轻。
3.如果左重则坏球在拿到左边的6-8号，且比标准球重。
第三次将6号放在左边，7号放在右边。
1.如果右重则7号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则8号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则6号是坏球且比标准球重。
2.如果天平平衡，则坏球在9-12号。
第二次将1-3号放在左边，9-11号放在右边。
1.如果右重则坏球在9-11号且坏球较重。
第三次将9号放在左边，10号放在右边。
1.如果右重则10号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则11号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则9号是坏球且比标准球重。
2.如果平衡则坏球为12号。
第三次将1号放在左边，12号放在右边。
1.如果右重则12号是坏球且比标准球重；
2.这次不可能平衡；
3.如果左重则12号是坏球且比标准球轻。
3.如果左重则坏球在9-11号且坏球较轻。
第三次将9号放在左边，10号放在右边。
1.如果右重则9号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则11号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则10号是坏球且比标准球轻。
3.如果左重则坏球在1-8号。
第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放
在右边。就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。
1.如果右重则坏球在拿到左边的6-8号，且比标准球轻。
第三次将6号放在左边，7号放在右边。
1.如果右重则6号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则8号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则7号是坏球且比标准球轻。
2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号，且比标准球重。
第三次将2号放在左边，3号放在右边。
1.如果右重则3号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则4号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则2号是坏球且比标准球重。
3.如果左重则坏球在没有被触动的1,5号。如果是1号，
则它比标准球重；如果是5号，则它比标准球轻。
第三次将1号放在左边，2号放在右边。
1.这次不可能右重。
2.如果平衡则5号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则1号是坏球且比标准球重；
够麻烦的吧。其实里面有许多情况是对称的，比如第一次称时的
右重和右轻，只需考虑一种就可以了，另一种完全可以比照执行。我
把整个过程写下来，只是想吓唬吓唬大家。
稍微试一下，就可以知道只称两次是不可能保证找到坏球的。如
果给的是十三个球，以上的解法也基本有效，只是要有个小小的改动，
就是在这种情况下，在第一第二次都平衡的时候，第三次还是有可能
平衡（就是上面的第2.2.2步），那么我们可以肯定坏球是13号球，可
是我们没法知道它到底是比标准球轻，还是比标准球重。如果给的是
十四个球，我们会发现无论如何也不可能只称三次，就保证找出坏球。
一个自然而然的问题就是：对于给定的自然数N，我们怎么来解有
N个球的称球问题？
在下面的讨论中，给定任一自然数N，我们要解决以下问题：
⑴找出N球称球问题所需的最小次数，并证明以上所给的最小次数的确
是最小的；
⑵给出最小次数称球的具体方法；
⑶如果只要求找出坏球而不要求知道坏球的轻重，对N球称球问题解决
以上两个问题；
还有一个我们并不是那么感兴趣，但是作为副产品的问题是：
⑷如果除了所给的N个球外，另外还给一标准球，解决以上三个问题。
二、记号
我们先不忙着马上着手解决上述问题。先得给出几个定义，尤其
是，要给出比较简单的符号和记法。大家看到上面给出的解法写起来
实在麻烦——想象一下如果我们要用这种方法来描述称40个或1000个
球的问题！
仍旧考虑十二个球的情况和上面举的解法。在还没有开始称第一
次时，我们对这十二个球所知的信息就是其中有一或较轻，或较重的
坏球，所以以下24种情况都是可能的：
1. 1号是坏球，且较重；
2. 2号是坏球，且较重；
……
12. 12号是坏球，且较重；
13. 1号是坏球，且较轻；
14. 2号是坏球，且较轻；
……
24. 12号是坏球，且较轻。
没有其他的可能性，比如说“1、2号都是坏球，且都较重”之类。当
我们按上面解法“先将1-4号放在左边，5-8号放在右边”称过第一次
以后，假设结果是右重，稍微分析一下，就会知道上面的24种情况中，
现在只有8种是可能的，就是
1. 1号是坏球，且较轻；
2. 2号是坏球，且较轻；
3. 3号是坏球，且较轻；
4. 4号是坏球，且较轻；
5. 5号是坏球，且较重；
6. 6号是坏球，且较重；
7. 7号是坏球，且较重；
8. 8号是坏球，且较重。
我们把诸如“1号是坏球，且较重，其他球都正常”和“2号是坏球，
且较轻，其他球都正常”这样的情况，称为一种“布局”，并记为：
(1重) 和 (2轻)
我们把“先将1-4号放在左边，5-8号放在右边”这样的步骤，称为一
次“称量”。我们把上面这次称量记为
(1,2,3,4; 5,6,7,8)
或
(1-4; 5-8)
也就是在括号内写出参加称量的球的号码，并且以分号分开放在左边
和放在右边的球号。在最一开始，我们有24种可能的布局，而在经过
一次称量(1-4; 5-8)后，如果结果是右重，我们就剩下上述8种可能
的布局。我们的目的，就是要使用尽量少的称量，而获得唯一一种可
能的布局——这样我们就知道哪个球是坏球，它是比较重还是比较轻。
这里我们注意到没有必要去考虑两边球数不相等的称量。因为坏
球和标准球重量之间的差别很小，小于标准球的重量，所以当天平两
边球数不一样时，天平一定向球比较多的那边倾斜。所以在进行这样
一次称量之前，它的的结果就可以被预料到，它不能给我们带来任何
新的信息。事实上在看完本文以后大家就很容易明白，即使坏球和标
准球重量之间的差别很大，也不会影响本文的结论。因为考虑这种情
况会使问题变麻烦，而并不能带来有趣的结果，我们就省略对此的考
虑。
现在我们看到，上面关于十二个球问题的解法，其实就是由一系
列称量组成的——可不是随随便便的组合，而是以这样的形式构成的：
称量1
如果右重，则
称量3
……
如果平衡，则
称量2
……
如果左重，则
称量4
……
省略号部分则又是差不多的“如果右重，则……”等等。所以这就提
示我们用树的形式来表示上面的解法：树的根是第一次称量，它有三
个分支（即三棵子树，于是根有三个子节点），分别对应着在这个称
量下的右重、平衡、左重三种情况。在根的三个子节点上，又分别有
相应的称量，和它们的三个分支……如果具体地写出来，就是
|--右--( 1轻)
|--右--(1 ; 2)|--平--( 5重)
| |--左--( )
|
| |--右--( 2轻)
|--右--(1,6-8; |--平--(2 ; 3)|--平--( 4轻)
| 5,9-11)| |--左--( 3轻)
| |
| | |--右--( 7重)
| |--左--(6 ; 7)|--平--( 8重)
| |--左--( 6重)
|
| |--右--(10重)
| |--右--(9 ;10)|--平--(11重)
| | |--左--( 9重)
| |
| | |--右--(12重)
(1-4;5-8)|--平--(1-3; |--平--(1 ;12)|--平--(13轻, 13重)*
| 9-11)| |--左--(12轻)
| |
| | |--右--( 9轻)
| |--左--(9 ;10)|--平--(11轻)
| |--左--(10轻)
|
| |--右--( 6轻)
| |--右--(6 ; 7)|--平--( 8轻)
| | |--左--( 7轻)
| |
| | |--右--( 3重)
|--左--(1,6-8; |--平--(2 ; 3)|--平--( 4重)
5,9-11)| |--左--( 2重)
|
| |--右--( )
|--左--(1 ; 2)|--平--( 5轻)
|--左--( 1重)
（*：对应十三个球的情形。）
这里“右”、“平”和“左”分别表示称量的结果为“右重”、“平
衡”和“左重”所对应的分支。在树的叶子（就是最右边没有子节点
的那些节点）部分，我们标出了“能够到达”这些节点的布局，也就
是说在进行每一节点上的称量时，这个布局所给的结果和通往相对应
的叶子的道路上所标出的“右”、“平”和“左”相符合。从这个图
我们也可以清楚地看到，根下的左分支和右分支是对称的：只需要把
所有的“右”改成“左”，“左”改成“右”，“轻”改成“重”，
“重”改成“轻”；节点(1-3; 9-11)下的左分支和右分支也有这个
特点。
（如果有朋友对树理论感兴趣，可以参考随便哪一本图论或者离
散数学的书。在这里我们只用到树理论里最基本的知识，所用的名词
和结论都是相当直观的。所以如果你不知道树理论，用不着特别去学
也可以看懂这里的论证。）
所以给定一棵三分树（就是说除了叶子以外其他的节点都有三个
子节点的树），在每个不是叶子的节点上给定一个称量，并且规定这
个节点下的三个分支（子树）分别对应右重、平衡、左重的情况，我
们就得到了一种称球的方法。我们把这样一棵三分树称为一个“策略”
或一棵“策略树”。你可以给出一个平凡的策略，比如说无论发生了
什么事总是把1号和2号球放在左右两侧来称（在叶子上我们没有写出
相应的布局，用@来代替）：
|--右--@A
|--右--(1; 2)|--平--@
| |--左--@
|
| |--右--@
(1; 2)|--平--(1; 2)|--平--@
| |--左--@
|
| |--右--@B
| |--右--(1; 2)|--平--@
| | |--左--@
| |
| | |--右--@
|--左--(1; 2)|--平--(1; 2)|--平--@
| |--左--@
|
| |--右--@
|--左--(1; 2)|--平--@
|--左--@
当然这么个策略没什么用场，只能让我们知道1号球和2号球之间的轻
重关系。另外我们看到，每个分支不一定一样长，上面这棵策略树根
下面左分支就比较长。
一棵树的高度是叶子到根之间的结点数的最大值加一。比如说上
面这个图中，叶子A和根间有1个节点，而叶子B和根间有2个节点，没
有和根之间的节点数超过2的叶子。所以它的高度是2+1=3。前面十二
球解法策略树的高度也是3。一棵没有任何分支，只有根节点的树，我
们定义它的高度是0。
显然，策略树的高度就是实行这个策略所需要的称量的次数。我
们的目的，就是找到一棵“好”的策略树，使得它的高度最小。
什么是“好”策略？我们回过头来再看十二球解法策略树。我们
说过，叶子上的那些布局都是从根开始通向叶子的。比如说布局(7重)，
它之所以在那片叶子上是因为按照这个策略，三次称量的结果是“右
左右”；又比如说布局(11重)，它之所以在那片叶子上是因为按照这
个策略，三次称量的结果是“平右平”。如果两个布局通向同一片叶
子，那么就是说按照这个策略，三次称量的结果是完全一样的，于是
我们就不能通过这个策略来把这两种布局区分开来。比如说在十三个
球的情况下，(13轻)和(13重)都通向和“平平平”相对应的叶子，这
两个布局中13号球或者轻或者重，于是我们知道13号球一定是坏球，
但是通过这个策略我们不可能知道它到底是轻还是重。
所以对于标准的称球问题（找出坏球并知其比标准球重或轻）的
“好”策略，就是那些能使不同的布局通向不同的叶子的策略。
三、每个球都已知可能为轻或可能为重的情况
先引入一个记号：对于任意实数a，我们用{a}表示大于等于a的最
小整数，比如说{2.5}=3，{4}=4；我们用[a]表示小于等于a的最大整
数，比如说[2.5]=2，[4]=4。
我们首先考虑这样一种布局的集合。假设m，n为两个非负实数，
不同时为0。在编号从1到m+n的m+n个球中，我们知道1到m号球要么是
标准球，要么比标准球重，而m+1到m+n号球要么是标准球，要么比标
准球轻；我们还知道其中有一个是坏球（但不知轻重）。换句话说，
我们知道真实的情况是以下m+n种布局之一：
1. 1号是坏球，且较重；
2. 2号是坏球，且较重；
……
m. m号是坏球，且较重；
m+1. m+1号是坏球，且较轻；
m+2. m+2号是坏球，且较轻；
……
m+n. m+n号是坏球，且较轻。
有一种特殊的情况是m=0或n=0，也就是说坏球的是轻还是重已经知，常
常被用来单独作为智力题。
结论1：
1)在以上条件成立的情况下，要保证在m+n个球中找出坏球并知道
其轻重，至少需要称{log3(m+n)}次。
2)如果m和n不同时为1，那么称{log3(m+n)}次就足够了。如果
m=n=1，并且另有一标准球，那么称{log3(m+n)}={log3(1+1)}=1
次也足够了。
这里log3表示以3为底的对数。
需要对2)作点说明。如果m=n=1而没有标准球的话，那么是永远也
称不出坏球来的。把两个球一边一个放在天平上，必然是1号重2号轻。
但是由于没有标准球，我们无法知道是坏球比较重所以1号是坏的，还
是坏球比较轻所以2号是坏的。如果有标准球，只要把1号球和标准球
比较一下。如果天平不平衡，那么1号球是坏球，且比较重；如果天平
平衡，那么2号球是坏球，且比较轻。策略树如下：（用s表示标准球）
|--右--( )
|
|
(1; s)|--平--(2轻)
|
|
|--左--(1重)
现在来证明1)。在上面我们看到，可能的布局是m+n种（1重，2重，
……，m重，m+1轻，m+2轻，……，m+n轻）。假设我们已经有一个策
略能保证在这m+n个球中找出坏球并知道其轻重，那么每一个布局都要
通向策略树上的不同叶子，这棵策略树至少需要有m+n片叶子。但是一
棵高度为H的三分树最多只能有3H片叶子。于是这棵策略树必须满足条
件
3H ≥ m+n
也就是
H ≥ log3(m+n)
考虑到H是整数，我们就证明了
H ≥ {log3(m+n)}
现在我们要具体找到一棵高度为{log3(m+n)}的策略树，使得m+n
种布局通向它的不同叶子。我们对k=m+n使用数学归纳法。
首先k=1。那么称都不要称，因为必有一坏球，那么坏球就是唯一
的1号球。如果是m=1，n=0，那么1号球比较重；如果是m=0，n=1，那
么1号球比较轻。需要的称量次数为{log3(1)}=0。
对于k=2。m=1，n=1的情况已经讨论过了。考虑m=2，n=0。这时我
们知道坏球比较重。只要把1号球和2号球放在天平两边一称，哪个比较
重哪个就是坏球。策略树如下：
|--右--(2重)
|
|
(1; 2)|--平--( )
|
|
|--左--(1重)
m=0，n=2的情况完全类似。
假设对于m+n＜k的情况我们都可以用{log3(k)}次称出坏球。考虑
m+n=k的情况。我们把1到m号球称为第一组球，m+1到n号球称为第二组
球。
设H={log3(m+n)}＝{log3(k)}。那么我们有
3H-1 ＜ k ≤ 3H
3H-2 ＜ k/3 ≤ 3H-1
3H-2 ＜ {k/3} ≤ 3H-1
于是
{log3{k/3}}=H-1。
现在我们把这k个球分为三堆，第一堆和第二堆分别有{k/3}个球，
并且这两堆中属于第一组的球的数目一样（于是属于第二组的球的数
目也一样），第三堆中有k-2{k/3}个球（也就是其余的球）。举一个
例子，如果m=7，n=3，那么这三堆可以分成这样：（当然不是唯一的
分法）
第一堆：1，2，3，7 （属于第一组的3个，第二组的1个）
第二堆：4，5，6，8 （属于第一组的3个，第二组的1个）
第三堆：9，10
这样的分堆总是可能的吗？如果m或n是偶数，那就很简单。比如
说假设m是偶数，有两种可能性。如果m/2≥{k/3}，那么就从第一组球
中各取{k/3}个球作为第一和第二堆（这时在第一第二堆中只有第一组
的球）；如果m/2＜{k/3}，那么就把第一组球分为相同的m/2个球的两
堆，再分别用{k/3}-m/2个第二组球去把它们补充成{k/3}个球的两堆
（这时在第三堆中就只有第二组的球了）。很显然这样的分堆符合上
面的要求。
如果m和n都是奇数，事情就有点复杂。首先如果(m-1)/2≥{k/3}
的话，那么按上面的方法也很容易把球按要求分为三堆。但是如果
(m-1)/2＜{k/3}，我们就必须先从第一组中各拿出(m-1)/2个球放入第
一和第二堆，再从第二组中各拿出{k/3}-(m-1)/2个球将它们补充到各
有{k/3}个球为止。这就需要从第二组中总共拿得出2({k/3}-(m-1)/2)
个球来。所以必须有
2({k/3}-(m-1)/2) ≤ n
即
2{k/3} ≤ (m-1)+n
2{k/3} ≤ k-1
这个不等式在k=3或k＞4时总是成立的，但是对k=4就不成立。所以我
们要对k=4且m，n都是奇数的情况作特殊处理。我们只需考虑m=3，n=1
这种情况。把1号球和2号球放在天平两端，如果不平衡，那么较重的
那个是坏球；如果平衡，那么把1号球和3号球放在天平两端，平衡则
4号球为坏球且较轻，不平衡则3号球为坏球且较重。策略树如下：
|--右--(2重)
|
| |--右--(3重)
(1; 2)|--平--(1; 3)|--平--(4轻)
| |--左--( )
|
|--左--(1重)
m=1，n=3的情况完全类似。
于是现在我们就可以毫无障碍地假设，我们已经将m+n=k个球分为
这样的三堆：第一堆和第二堆分别有{k/3}个球，并且这两堆中属于第
一组的球的数目一样（于是属于第二组的球的数目也一样），第三堆
中有k-2{k/3}个球（也就是其余的球）。
我们把第一堆球和第二堆球分别放在天平的左右两端。如果平衡，
那就说明坏球在第三堆里，这样我们就把问题归结为一个k-2{k/3}个
球的问题；如果右边比较重，那么我们得到结论：要么是坏球比较轻，
并且它在第一堆中的第二组球，也就是可能较轻的那些球中，要么是
坏球比较重，并且它在第二堆中的第一组球，也就是可能较重的那些
球中，下面它就归结为一个{k/3}个球的问题了；如果是左边比较重，
那么我们也完全类似地将问题归结为一个{k/3}个球的问题。开始的策
略树如下：（小球的编号作了适当变化：假设1，2，……，s为第一堆
中的第一组球，1'，2'……，s'为第二堆中的第一组球，(s+1)，……
为第一堆中的第二组球，(s+1)'为为第二堆中的第二组球）
归结为坏球在
|--右--(1',2',……,s',s+1,……)中
| 的问题（{k/3}个球）
|
|
(1,2,……,s,s+1,……; |
1',2',……,s',(s+1)',……)|--平--归结为坏球在第三堆中的问题
| （k-2{k/3}个球）
|
| 归结为坏球在
|--左--(1,2,……,s,(s+1)',……)中
的问题（{k/3}个球）
考虑到k-2{k/3}≤{k/3}，另外此次称量后我们至少可以得到一个标准
球（如果不平衡，第三堆里的球均为标准球，否则第一第二堆里的球
均为标准球）。根据归纳假设，上面得到“左”、“平”、“右”三
种情况归结后的问题都可以用{log3{k/3}}=H-1次的称法来解决。所
以加上这第一次称量，k个球只需{log3(k)}次称量就可以找出坏球。
在这节的最后我们给出一个具体的例子：如果有27个球，其中有
一个坏球，而且已知第一堆1-14号球如果其中一个是坏球，那么它比
标准球重，第二堆15-27号球如果其中一个是坏球，那么它比标准球轻。
根据结果1，我们知道只要[log3(27)]=3次就可以找出坏球。
按照上面的称法，首先将27个球分为三堆，第一第二堆的个数为
{27/3}=9个球，而且其中分别属于第一和第二组的球的个数相同。于
是我们可以取：
第一堆： 1-7，15-16
第二堆：8-14，17-18
第三堆：19-27
现在把第一和第二堆放在天平左右两端，如果平衡，我们就归结为在
19-27号9个球中其中有个较轻坏球的问题；如果右边重，我们就归结
为坏球在8-14，15-16中的问题；如果左边重，我们就归结为坏球在
1-7，17-18中的问题。这三种情况都是9个球的问题。
|--右--归结为坏球在8-14，15-16中的问题
|
|
(1-7,15-16; |
8-14,17-18|--平--归结为坏球在19-27中的问题
|
|
|
|--左--归结为坏球在1-7，17-18中的问题
三种情况中我们只具体做一种：坏球在1-7，17-18中的问题。同
样地我们将其分为三堆
第一堆：1-3
第二堆：4-6
第三堆：7，17-18
照上面类似地我们有策略树
|--右--归结为坏球在4-6中的问题
|
|
(1-3; 4-6)|--平--归结为坏球在7，17-18中的问题
|
|
|--左--归结为坏球在1-3中的问题
于是变成了3个球的问题，解决方法就很显然了，我们把上面的策略树
写完整：
|--右--( 5重)
|--右--(4 ; 5)|--平--( 6重)
| |--左--( 4重)
|
| |--右--(17轻)
(1-3; 4-6)|--平--(17;18)|--平--( 7重)
| |--左--(18轻)
|
| |--右--( 2重)
|--左--(1 ; 2)|--平--( 3重)
|--左--( 1重)
类似地我们写出坏球在8-14，15-16中的问题的策略树：
|--右--(12重)
|--右--(11;12)|--平--(13重)
| |--左--(11重)
|
| |--右--(15轻)
(8-10;11-13)|--平--(15;16)|--平--(14重)
| |--左--(16轻)
|
| |--右--( 9重)
|--左--(8 ; 9)|--平--(10重)
|--左--( 8重)
和坏球在19-27中的问题的策略树：
|--右--(19轻)
|--右--(19;20)|--平--(21轻)
| |--左--(20轻)
|
| |--右--(25轻)
(19-21;22-24)|--平--(25;26)|--平--(27轻)
| |--左--(26轻)
|
| |--右--(22轻)
|--左--(22;23)|--平--(24轻)
|--左--(23轻)
于是最终将此三棵策略树拼起来的到最终解法：
|--右--(12重)
|--右--(11;12)|--平--(13重)
| |--左--(11重)
|
| |--右--(15轻)
|--右--(8-10; |--平--(15;16)|--平--(14重)
| 11-13)| |--左--(16轻)
| |
| | |--右--( 9重)
| |--左--(8 ; 9)|--平--(10重)
| |--左--( 8重)
|
| |--右--(19轻)
| |--右--(19;20)|--平--(21轻)
| | |--左--(20轻)
| |
| | |--右--(25轻)
(1-7,15-16; |--平--(19-21;|--平--(25;26)|--平--(27轻)
8-14,17-18)| 22-24)| |--左--(26轻)
| |
| | |--右--(22轻)
| |--左--(22;23)|--平--(24轻)
| |--左--(23轻)
|
| |--右--( 5重)
| |--右--(4 ; 5)|--平--( 6重)
| | |--左--( 4重)
| |
| | |--右--(17轻)
|--左--(1-3; |--平--(17;18)|--平--( 7重)
4-6)| |--左--(18轻)
|
| |--右--( 2重)
|--左--(1 ; 2)|--平--( 3重)
|--左--( 1重)
对一棵策略树正确性的验证比较容易（虽然比较烦）。首先检查
是否所有的布局都在某片叶子上了；其次就是检验每个布局经过树中
的每个节点的流向是否正确，就是说用此节点上的称量方法，它所属
的左中右分支符合实际。
四、问题的解答
现在我们就可以来回答第一节中的问题了。
结论2：现有N个小球，其中有一个坏球不知比标准球轻还是重。
我们令H={log3(2N)}。
1)要保证在N个球中找出坏球并知道其轻重，至少需要称H次。
假设N≠2，我们有
2)如果N＜(3H-1)/2，那么称H次就足够了；
3)如果N=(3H-1)/2，那么称H次足以保证找到坏球，但不足以保
证知道坏球比标准球轻还是重；
4)如果N=(3H-1)/2，而且还另有一个标准球，那么称H次足以保
证找到坏球和知道，知道坏球比标准球轻还是重。
假设N=2，我们有
5)如果还另有一个标准球，称H={log3(2*2)}=2次足以保证找到
坏球和知道坏球比标准球轻还是重。
5)看起来有点奇怪，不过这其实很显然。如果有超过两个球，我
们知道坏球是“独一无二”的那一个，总找得出来；但是如果只有两
个球，一个好球一个坏球，都是“独一无二”的，如果没有一个标准
球的话，我们无论如何不可能知道哪个才是好的。
首先假设结论成立，我们来看看几个具体例子。如果是12个球，
那么
H = {log3(2*12)} = 3，
而且
12 ＜ (33-1)/2 = 13。
所以根据2)我们知道称3次可以找出坏球并知其轻重。如果是13个球，
那么
H={log3(2*13)}=3，
而且
(33-1)/2=13。
根据3)我们知道称3次可以找出坏球但不一定能知其轻重。但是如果另
有一个标准球的话，称3次就可找出坏球且知其轻重。
一般地，能由H次称量找出坏球并知道其轻重的最大小球数量为
(3H-1)/2-1 = (3H-3)/2；
能由H次称量找出坏球但不需要知道其轻重的最大小球数量为
(3H-1)/2；
有一标准球，能由H次称量找出坏球并知道其轻重的最大小球数量也为
(3H-1)/2。
为了比如说为了找出坏球并知道其轻重，则3次最多可以称12个，4次
为39个，5次为120个，6次为363个等等；为了找出坏球却不需知道其
轻重，则3次最多可以称13个，4次为40个，5次121个，6次364个等等
——但是如果另有一个标准球，那么就可以用相同的次数来知道坏球
的轻重。
首先我们证明至少需要称{log3(2N)}次。这和上节类似问题的证
明几乎相同。我们看到，N个小球可能的布局是2N种（1重，2重，……，
N重，1轻，2轻，……，N轻）。所以相应策略树至少需要有2N片叶子。
但是一棵高度为H的三分树最多只能有3H片叶子。于是这棵策略树必
须满足条件
H ≥ {log3(2N)}。
现在我们来证明3)的后半部分：如果N=(3H-1)/2，那么称H次还
是不足以保证知道坏球比标准球轻还是重。
我们知道第一步称量一定是各放n（这里2n≤N）个球在天平两端，
然后看天平的状况再决定后面的步骤。此时有三种情况
1)如果天平平衡，那么坏球就在剩下的N-2n个球里。这时候根据1)，
我们还需要{log3(2(N-2n))}次来找到坏球并知其轻重；
2)如果是左边重，则要么是坏球比较轻，而且坏球在右面n个球里，
要么是坏球比较重，而且坏球在左面n个球里。这时根据结论1，我
们还要{log3(2n))}次来找到坏球并知其轻重；
3)如果是右边重，那么有和上面类似的结论，我们还要{log3(2n))}
次来找到坏球并知其轻重。
如果我们在H次里可以称出坏球并知其轻重，那么我们必然要有
{log3(2(N-2n))} ≤ H-1 和 {log3(2n))} ≤ H-1
但前一个式子表明
2(N-2n) ≤ 3H-1
也就是
2((3H-1)/2-2n) ≤ 3H-1
所以
3H-1 ≤ 2n+1/2
考虑到3H-1为整数，于是
3H-1 ≤ 2n
但3H-1又是奇数，而2n是偶数，所以
3H-1 ＜ 2n。 (*)
而后一个式子表明
2n ≤ 3H-1
同样考虑到奇偶性
2n ＜ 3H-1。 (**)
我们看到(*)和(**)式是矛盾的。
所以对N=(3H-1)/2的情况，只用H步是不能够称出坏球又知道它
的轻重的。它的原因在于，虽然理论上N=(3H-1)/2，那么可能的布局
是(3H-1)种，而一棵H层的策略树有3H片叶子，看起来叶子足够多了。
但是由于第一步的称量无论如何也不可能把这3H-1种布局平均地分配
在左中右三棵子策略树上，总有一个分支上承受的布局会超过3H-1种，
于是在此分支上就无法用剩下的H-1次称量来称出坏球又知道它的轻
重。
接下来我们同时证明结论2中的2)、4)和5)。也就是说，我们要具
体找到一种策略，如果N＜(3H-1)/2，那么不用标准球在H次内找到坏
球又知道它的轻重的；如果N=(3H-1)/2或者N=2，则允许使用一个标
准球来达到同样目的。仍旧使用数学归纳法。
首先对N=1，{log3(2N)}=1且N=(31-1)/2，允许使用标准球。因
为只有一个球，而题目的条件是有一个坏球，所以这唯一的一个就是
坏球，现在只需要知道它比标准球重还是轻。这只要把标准球和这个
小球在天平上比较一次就可以了，策略树如下（我们用s表示标准球）：
|--右--(1轻)
(1; s)|--平--( )
|--左--(1重)
对N=2和N=3，{log3(2N)}=2。我们给出下面高度为2的策略树，
很容易验证其正确性。
N=2，允许使用标准球：
|--右--(1轻)
| |--右--(2轻)
(1; s)|--平--(2; s)|--平--( )
| |--左--(2重)
|--左--(1重)
N=3：
|--右--(1轻)
|--右--(1; 3)|--平--(2重)
| |--左--( )
|
| |--右--(3轻)
(1; 2)|--平--(1; 3)|--平--( )
| |--左--(3重)
|
| |--右--( )
|--左--(1; 3)|--平--(2轻)
|--左--(1重)
现在假设对小于N的情况，称法都已经找到。考虑N（现在假定N>3）
个小球的情况。仍记H={log3(2N)}。
首先如果N＜(3H-1)/2，我们把N个球分成三堆：第一堆和第二堆
中分别有{N/3}个球，第三堆中为剩下的球，有N-2{N/3}个。我们把第
一和第二堆小球放在天平左右端进行第一次称量。
三种情况：
如果天平平衡，那么坏球在第三堆的N-2{N/3}个里，问题归结为
N-2{N/3}个小球，称H-1次，而且此时我们可以随便从第一或第二堆里
拿出一个球来作标准球。但是
N-2{N/3} ≤ 3{N/3}-2{N/3} = {N/3}
但由N＜(3H-1)/2有
N ≤ (3H-1)/2-1 = (3H-3)/2
所以
N/3 ≤ (3H-1-1)/2
右边一定是一个整数，所以我们最终得到
N-2{N/3} ≤ {N/3} ≤ (3H-1-1)/2。
根据归纳假设，在有标准球的情况下，N-2{N/3}个球的问题可被H-1次
的称量解决。
如果左边重，则要么是坏球比较轻，而且坏球在右面{N/3}个球里；
要么是坏球比较重，而且坏球在左面{N/3}个球里。这时根据结论1，我
们还要{log3(2{N/3}))}次来找到坏球并知其轻重。和上面的计算完全
一样，
N/3 ≤ (3H-1-1)/2
于是
2{N/3} ≤ 3H-1-1
{log3(2{N/3}))} ≤ H-1
所以仍旧可以用剩下的H-1次称量解决问题。
如果右边重，完全类似于左边重的情况。
现在考虑N=(3H-1)/2的情况，这时允许用一个标准球。我们可以
把球分成三堆。第一堆为(3H-1+1)/2个，第二堆为(3H-1-1)/2个
再加上标准球，所以第二堆一共也是(3H-1+1)/2个球，第三堆是剩
下的
(3H-1)/2-(3H-1+1)/2-(3H-1-1)/2 = (3H-1-1)/2
个球。我们把第一和第二堆小球放在天平左右端进行第一次称量。
三种情况：
如果天平平衡，那么坏球在第三堆的(3H-1-1)/2个里。根据归
纳假设，在有标准球的情况下，这可被H-1次称量解决。
如果左边重，则要么是坏球比较轻，而且坏球在右面(3H-1+1)/2
个球里；要么是坏球比较重，而且坏球在左面除了附加的标准球以外
的(3H-1-1)/2个球里。这时根据结论1，我们还要
{log3(3H-1+1)/2+(3H-1-1)/2)} = H-1
次来找到坏球并知其轻重。所以这也可以用剩下的H-1次称量来解决问
题。
如果右边重，完全类似于左边重的情况。
这就完全证明了结论2中的2)、4)和5)。剩下的就是3)的前半部分：
如果N=(3H-1)/2，那么称H次足以保证找到坏球（但可能不知道轻重）。
这很简单，如果我们拿掉一个球，那么根据2)，一定能用H次称量
来找到坏球并且知道轻重——唯一的例外是，如果被拿掉的那个恰好
就是坏球——那么这时候所有称量的结果都是天平保持平衡。如果发
生了这样的事，所有称量的结果都是天平保持平衡，我们就可以断定
坏球就是那个被拿掉的球，当然这时这个球从来没有上过天平，我们
绝无可能知道它是比标准球重，还是比标准球轻。
五、四十个球的例子
最后我们来解决一下40个球，没有标准球的问题。我们知道
40 = (34-1)/2
所以我们可以称4次找出坏球，但是因为没有标准球，就不一定能知道
坏球的轻重。
顺便先考虑13个球，另有一标准球的问题。
13 = (33-1)/2
所以称3次可以找出坏球，因为有标准球，我们还可以同时知道坏球的
轻重。
根据上一节的证明过程，这时我们要把这13个球分为3堆：
第一堆：1-5
第二堆：6-9，再加上标准球s
第三堆：10-13
我们把第一和第二堆小球放在天平左右端进行第一次称量。
如果是左边重，那么要么是第一堆1-5号球中有一个是坏球，而且
它比标准球重，要么是第二堆6-9号球中有一个是坏球，那么它比标准
球轻。用结论1来解决的问题，第三节末尾我们处理过27个球的问题，
9个球的问题就是小菜了：
|--右--( 4重)
|--右--(3 ; 4)|--平--( 6轻)
| |--左--( 3重)
|
| |--右--( 8轻)
(1-2,6;3-4,7)|--平--(8 ; 9)|--平--( 5重)
| |--左--( 9轻)
|
| |--右--( 2重)
|--左--(1 ; 2)|--平--( 7轻)
|--左--( 1重)
如果是右边重，那么和上面的情况对称，只要把策略树中的“左”
和“右”互换，“轻”和“重”互换即可。
如果平衡，那么就化为4个球（10-13号）有一个标准球2次称出的
问题。虽然还可以往下照葫芦画瓢地递归一次，不过4个球的情况就太
简单了，所以直接写出策略树：
|--右--(10轻)
|--右--(10;11)|--平--(12重)
| |--左--(11轻)
|
| |--右--(13轻)
(10,11;12,s)|--平--(13; s)|--平--( )
| |--左--(13重)
|
| |--右--(11重)
|--左--(10;11)|--平--(12轻)
|--左--(10重)
把左中右三个分支拼起来我们就得到13个球有一标准球称3次的策
略树：
|--右--( 1轻)
|--右--(1 ; 2)|--平--( 7重)
| |--左--( 2轻)
|
| |--右--( 9重)
|--右--(1-2,6;|--平--(8 ; 9)|--平--( 5轻)
| 3-4,7)| |--左--( 8重)
| |
| | |--右--( 3轻)
| |--左--(3 ; 4)|--平--( 6重)
| |--左--( 4轻)
|
| |--右--(10轻)
| |--右--(10;11)|--平--(12重)
| | |--左--(11轻)
| |
| | |--右--(13轻)
(1-5; |--平--(10,11;|--平--(13; s)|--平--( )
6-9,s)| 12,s)| |--左--(13重)
| |
| | |--右--(11重)
| |--左--(10;11)|--平--(12轻)
| |--左--(10重)
|
| |--右--( 4重)
| |--右--(3 ; 4)|--平--( 6轻)
| | |--左--( 3重)
| |
| | |--右--( 8轻)
|--左--(1-2,6;|--平--(8 ; 9)|--平--( 5重)
3-4,7)| |--左--( 9轻)
|
| |--右--( 2重)
|--左--(1 ; 2)|--平--( 7轻)
|--左--( 1重)
现在可以考虑40个球，无标准球的问题了。根据上一节的证明过
程，我们首先拿掉第40号球，使之变为39个球的问题。然后我们把这
39个球分为3堆：
第一堆：1-13
第二堆：14-26
第三堆：27-39
把第一和第二堆小球放在天平左右端进行第一次称量。
如果是右边重，那么要么是第一堆1-14号球中有一个是坏球，而
且它比标准球重，要么是第二堆15-27号球中有一个是坏球，那么它比
标准球轻。这恰好是第三节末尾我们解决过的例子！这个策略树分支
我们可以完全拷贝过来。
如果是左边重，那么和上面的情况对称，只要把策略树中的“左”
和“右”互换，“轻”和“重”互换即可。
如果平衡，那么问题转化为本节开始的13个球，有一标准球的问
题（可取1号球为标准球），上面的策略树也可拷贝过来，只是要把原
来的1-13号球和这里的27-39号球一一对应（只要把所有的号码加26即
可）。
把左中右三个策略分支合并起来，并考虑到如果所有称量结果都
是平衡的话，则第40号球为坏球的结论。我们就得到了下面的关于称
40个球的巨无霸策略树，它有81片叶子：
|--右--( 1轻)
|--右--(1 ; 2)|--平--( 3轻)
| |--左--( 2轻)
|
| |--右--(18重)
|--右--(1-3; |--平--(17;18)|--平--( 7轻)
| 4-6)| |--左--(17重)
| |
| | |--右--( 4轻)
| |--左--(4 ; 5)|--平--( 6轻)
| |--左--( 5轻)
|
| |--右--(23重)
| |--右--(22;23)|--平--(24重)
| | |--左--(22重)
| |
| | |--右--(26重)
|--右--(1-7, |--平--(19-21;|--平--(25;26)|--平--(27重)
| 15-16;| 22-24)| |--左--(25重)
| 8-14,| |
| 17-18)| | |--右--(20重)
| | |--左--(19;20)|--平--(21重)
| | |--左--(19重)
| |
| | |--右--( 8轻)
| | |--右--(8 ; 9)|--平--(10轻)
| | | |--左--( 9轻)
| | |
| | | |--右--(16重)
| |--左--(8-10; |--平--(15;16)|--平--(14轻)
| 11-13)| |--左--(15重)
| |
| | |--右--(11轻)
| |--左--(11;12)|--平--(13轻)
| |--左--(12轻)
|
| |--右--(27轻)
| |--右--(27;28)|--平--(33重)
| | |--左--(28轻)
| |
| | |--右--(35重)
| |--右--(27-28,|--平--(34;35)|--平--(31轻)
| | 32;| |--左--(34重)
| | 29-30,|
| | 33)| |--右--(29轻)
| | |--左--(29;30)|--平--(32重)
| | |--左--(30轻)
| |
| | |--右--(36轻)
| | |--右--(36;37)|--平--(38重)
| | | |--左--(37轻)
| | |
| | | |--右--(39轻)
(1-13;|--平--(27-31;|--平--(36,37;|--平--(39; 1)|--平--(40坏)
14-26)| 32-35,1)| 38,1)| |--左--(39重)
| | |
| | | |--右--(37重)
| | |--左--(36;37)|--平--(38轻)
| | |--左--(36重)
| |
| | |--右--(30重)
| | |--右--(29;30)|--平--(32轻)
| | | |--左--(29重)
| | |
| | | |--右--(34轻)
| |--左--(27-28,|--平--(34;35)|--平--(31重)
| 32;| |--左--(35轻)
| 29-30,|
| 33)| |--右--(28重)
| |--左--(27;28)|--平--(33轻)
| |--左--(27重)
|
| |--右--(12重)
| |--右--(11;12)|--平--(13重)
| | |--左--(11重)
| |
| | |--右--(15轻)
| |--右--(8-10; |--平--(15;16)|--平--(14重)
| | 11-13)| |--左--(16轻)
| | |
| | | |--右--( 9重)
| | |--左--(8 ; 9)|--平--(10重)
| | |--左--( 8重)
| |
| | |--右--(19轻)
| | |--右--(19;20)|--平--(21轻)
| | | |--左--(20轻)
| | |
| | | |--右--(25轻)
|--左--(1-7, |--平--(19-21;|--平--(25;26)|--平--(27轻)
15-16;| 22-24)| |--左--(26轻)
8-14, | |
17-18)| | |--右--(22轻)
| |--左--(22;23)|--平--(24轻)
| |--左--(23轻)
|
| |--右--( 5重)
| |--右--(4 ; 5)|--平--( 6重)
| | |--左--( 4重)
| |
| | |--右--(17轻)
|--左--(1-3; |--平--(17;18)|--平--( 7重)
4-6)| |--左--(18轻)
|
| |--右--( 2重)
|--左--(1 ; 2)|--平--( 3重) |
|
发表于 2008-2-25 07:03:39
