问答 （数学趣味类）《切砝码》√已有答案√欢迎拓展和应用√

某商店有一40磅的砝码，由于太大，没办法称取40磅以下的重量。有人把它被切割成4块，这样就可以称从1至40磅之间的任意整数磅的重物。已知这4块砝码每块的重量都是整磅数，问这4块切割下来的砝码各有多重？

   
说明：图中的天平只是一个示意，题中的天平是没有刻度的。

秋水小柯

对于任意的X磅,碎成Y块想称出1..X的任意重量,是等比数列3^0,3^1,3^2...3^(Y-1)
本题Y=4，所以分成1，3，9，27~~[/hide]

mizhitu

首先，我们来分个4部分来看这道题：1-10 ， 11-20 ，21-30 ，31-40
    1-40中我们考虑，重量1是有的，我们只能考虑是质数关系，来发掘剩下的三块是什么
接着，我们考虑第二块砝码，
   1-10中用1依次加到10，质数中3，5，7，9来选择，所以我们计算以后可以得出第二块是3，9中的一个，可以看出第二块应该是3的倍数，第三，第四也应该是3的倍数
  11-20中的重量用1，3，9中的砝码来计算，你发现1，3，9满足不了重量，最多是13。所以我们在选择15，17，19来计算。但是只有15是3的倍数，1+3+9+15最多也就是28，不能到40所以排除11-20之间的数字，因此我们也得出1，3，9是前三块砝码。
  21-30中我们发现21，24，27，30是3的倍数，那么我们计算一下能得出14的数字，只有27
因此我们知道1，3，9，27是最终答案[/hide]

horky

分别是1,3,9,27

1直接称

2：物品+1=3
所以物品为2
等等。

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chengang

3^0,3^1,3^2,3^3  =   
1,3,9,27...  
  
称出2,把1放在左边,3放在右边利用差3-1=2就可以了,4是利用和3+1=4,5利用差9-4=5,  其他类似的.  [/hide]

fferror

结论：
4块砝码分别重1，3，9，27磅。

思路：
在40以内找到4个数，使得它们通过加加减减的方式能组合出1~40以内的任何数。假设重物的重量为N磅，那么称量方法如下：
N = 1，取1克砝码。
  2，2 = 3 - 1，即把1克砝码和重物放在左端，3克砝码放右端。
  3，取3克砝码。
  4，4 = 1 + 3
    5，5 = 9 - (1 + 3)
    6，6 = 9 - 3
    7，7 = 9 + 1 - 3
    8，8 = 9 - 1
    9，取9克砝码。
  10~13，略
  14~26，略(因为若14 =< N <= 26，则1 =< 27 - N <= 13，而1~13都可以在不需要27克砝码的情况下称出来)
    27，取27克砝码。
  28~40，略(因为若28 =< N <= 40，则1 =< N - 27 <= 13，而1~13都可以在不需要27克砝码的情况下称出来)

说明完毕。
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horky

我晕，我补上解法有没有金币。哈哈。


首先要称39磅的必会有一磅的剩余，所以应该有个一磅的。
38磅的重物可将一磅的砝码和重物放在一起，用余下的39磅称。
37磅有两种方案，一种是从39中分离出一个2，一种是分离出一个3
如果分离出2，那么获得1的方式就有一种以上，而经过排列组合计算，这种情况正好可以有40种称重方式，也就是说每种重量只能有一种组合方式，所以第一种分法错。
现已经分离出1、3两个砝码，用同样的方法和原则，可以从剩下的36中分离出9。


还可以证明的,对于任意的N磅,碎成M块想称出1..N的任意重量,是等比数列3^0,3^1,3^2...3^(M-1)[/hide]

wolfeyes

分别切成1磅、 3 磅、9磅、27磅![/hide]

killl

引用第6楼horky于2007-12-26 16:38发表的 :
还可以证明的,对于任意的N磅,碎成M块想称出1..N的任意重量,是等比数列3^0,3^1,3^2...3^(M-1)[/hide].......

不知有没有证明过程呢？

killl

如何证明呢？

要想实现最少块实现最大数字，是不是按照某一个进制来切割最好呢？

括号中表示相应的进制，前面的数字是相应的十进制

如果是2进制，就是1(0001) 2(0010) 4(0100) 8(0100) <=15，这样4块就能表示1-15中间的数字
如果是3进制，那么1(0001) 3(0010) 9(0100) 27(1000)  <=40，四块就能表示1-40中间的所有数字
如果是4进制，那么1(0001) 4(0010) 16(0100) 64(1000)  <=85，四块就能表示1-85中间的所有数字



依此类推，是不是这样呢？



发现错了，如果是4进制，那么只能表示出以下数字：

1，3，4，5，11，16，17，19，20........

磁铁

引用第8楼killl于2007-12-26 21:57发表的 :


不知有没有证明过程呢？

让小柯来帮证明一下，谢谢！

秋水小柯

惭愧，这个题目我以前看到过的一本书提到过，证法如下：

假设有一系列砝码，适当的分放在两个盘上，可以称出1——n所有整数磅的重物，如果有一个新砝码P，它的重量p超过了原有砝码的重量和n，超过量为原有总重加1，p-n=n+1,p=2n+1，那么把这个砝码加入原来的砝码组后就可以称出1——p+n=3n+1的所有重量。
所以为了使两个砝码称出最多种重量，则必须是1、3，能称出1、2、3、4四个重量，所以第三块砝码选2*4+1=9，可以称出1——9+4=13的所有重量，第四块选2*13+1=27，那么四块砝码就能称出1——27+13=40的所有重量。然后归纳.....