“好线”的本质探究及其推广

pxc417

“好线”的本质探究及其推广
彭翕成   
   武汉 华中师范大学教育信息技术工程研究中心   430079

《数学教学》（2007年第1期）刊登的文[1]列举了几个很有特色的探索性题目，其中例1中的“好线”引起了笔者的兴趣。文[1]中的“好线”，指的是能够平分四边形面积的直线。笔者经过思考，觉得“好线”的定义可以进一步推广到能够平分凸多边形面积的直线，甚至还可以将“2等分”推广到“n等分”。
1 “退到”三角形
我们先来看看文[1]是怎么作出“好线”的。如图1，在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA，OC。显然折线AOC平分四边形ABCD面积。再过点O作 交CD于E，则直线AE即为一条“好线”。AE是符合要求的“好线”，道理很简单： 。但是进一步思考，我们就会发现这种作法是不利于“好线”的推广的，试想一下这种作法能否作出一条平分五边形面积的直线？笔者认为比较困难。为了“进”，为了推广到五边形，我们采取先“退”，“退到”最简单的多边形——三角形中来考虑问题。正如数学大师华罗庚所讲的那样：“善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要的地方，是学好数学的一个诀窍！”
如图2，在△ABC中，要作一条直线平分三角形面积非常简单，最容易想到是过三条中线的直线，所用到的数学原理就是小学所学的“等底等高的三角形面积相等”。下面笔者将反复运用此原理将“好线”进行推广。
         
       图1                 图2
2 特殊要求的“好线”
如果我们还要将一些特殊要求附加给“好线”：譬如要求“好线”经过指定的某点。这一点并不难实现，如图3，我们先作出中线BD，然后在BC（或AB）边上任取点E，再作 交AC于F，易证直线EF平分△ABC面积。由于三角形有三条中线，类似地我们还可以作出其他符合要求的EF直线，而当点E在△ABC边界上运动时，EF扫过整个平面。所以不管指定点在何位置（包括三角形内，边界，三角形外），都有过这一点的“好线”。从这也可以看出，“好线”不是唯一的，而且条数还很多。
         
图3                  图4
上述附加要求可以看作是一个实际问题的需要：兄弟两人要平分一块三角形土地，且分割线要经过一个共用的水井。类似的实际问题还有：兄弟三人要三等分一块三角形土地，且分割之后，三家都能独当一面。如图4，我们先作出BC边上的两个三等分点D、E，然后过点D作AB的平行线，过点E作AC的平行线，两平行线交于点F。易证
。这一问题虽然看起来已经超出“好线”的研究范围，但也给我们启示：要等分三角形面积，哪怕还附加特殊条件，我们都可转化成等分三角形某边长的问题来解决，而且比较容易。
3 凸四边形的“好线”
下面我们运用前文所总结的思想方法作一条平分四边形ABCD面积的直线。如图5，首先过点C作CE平行DB交AB延长线于点E，易证 ，则△AED的中线DF所在直线即为所求。此处需要注意的是，AE的中点F未必在线段AB上，如果AB较短，那么点F很可能落在线段AB的延长线上（图6），所以我们还得多费一次功夫，过点F作BD的平行线交CD于G，BG才是所要求的直线。由此得出经验，我们在实际作图时，尽可能选择较长的边。
         
图5                  图6
4 凸n边形的“好线”
行文至此，可能有些读者还看不出本文的作图方法比文[1]有何优越之处，其实图5，6的作图步骤已经暗藏了作“好线”的通法了。
第一步：通过作平行线，将凸n边形进行等面积变换，逐步变成凸n-1边形，凸n-2边形……最终变成三角形，图7所展示的就是n边形 向n-1边形 转化的过程，其中 交 的延长线于K。
第二步：作出最终所得三角形的“好线”。所作的“好线”是否就是所求，还是未知数，因为通过转化得到的凸n-1边形的“好线”未必就是凸n边形的“好线”，我们还要像图5，6的作法一样，分情况考虑，逐步将凸n-1边形的“好线”转化为凸n边形的“好线”。
按照以上两个步骤就能作出凸多边形的“好线”，在具体作图时，还有两点技巧能够减少作图工作量。（1）就是前文所讲的选择多边形的较长边；（2）在多边形转化成三角形的过程中，要灵活处理。
下面给出五边形ABCDE“好线”的具体作法：首先过点E作EF平行DA交AB延长线于点F，过点C作CG平行DB交AB延长线于点G；△DFG的中线DH所在直线即为所求“好线”。
   
图7           图8              图9
5 “好线”的本质及推广
由以上作法可知，多边形的“好线”问题可化归为三角形的“好线”问题，而三角形的“好线”问题实质就是“等底等高的三角形面积相等”。我们在完成2等分凸多边形面积之后，也可以很容易地实现n等分凸多边形面积，图9就是3等分五边形的作法，其中点I，H是线段FG的三等分点。

参考文献
1  黄忠梁. 2006年中考题中的亮点.数学教学.2007.1

   此稿投向华东师大的《数学教学》，已录用。