[转贴] 博奕论精要（童话版）

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博奕论精要（童话版）

那蚂蚁一直在旁边袖手微笑，待到此时，方才向狐狸说道：“狐兄豪气干云，小弟 十分敬佩，倒想领略一番。”
狐狸笑道：“不知蚁兄是要下里巴人还是要阳春白雪？”
蚂蚁奇道：“下里巴人又如何？阳春白雪又如何？”
狐狸缓缓说道：“下里巴人，至俗也，便是那乡间七旬老母，犹能听得手舞足蹈， 击节而歌。却可惜譬如那山溪之水，来势汹汹，去也匆匆，入骨不过三分矣。”
“那阳春白雪，又当如何？”
狐狸道：“夫阳春白雪也，一望无垠，恰似大海潮生，初时广袤沉静，星光点点， 不觉 有异。然细心听处，远方隐隐似有天籁之音，像那闷雷滚过，却又悠扬有如长笛呜 咽。待到听得更是真切之时，又有冰河破碎，清泉下流，入小河，汇大江，浩浩荡荡， 终归大海，成了万丈涛声，千年不绝。”
蚂蚁叹道：“怎信世间能有如此神奇之学问。你且先让我们听听那下里巴人罢！”

狐狸道：“博弈便是赌博。”
绛仙不满道：“我说不准赌博的！”
蚂蚁摇手道：“姑娘莫恼，刚才既是我说要下里巴人，才有赌博这些鄙陋之事，须 不要怪狐兄。”
狐狸宛尔笑道：“姑娘也可把它看作打架。博弈之要义，先要知你是谁，要看你出 手 然后我的还手必要是最有利自己。此为最基本也。”
“然高手过招，赢在料敌机先。纵然彼先出手，但既知我是谁，故出手后，必要想 以我之能，当如何还手。彼出招与我还招，构成一个局面，非但可定我之生死，亦可以 定彼之生死。彼必要选择对其最有利的局面为先着。是故彼未出手，我已知其意矣。”

“那也未必！”绛仙插嘴道，“我可以用对方从来没有见过的天山折梅手，对方防 不胜防，便无从计算得失了。”
“姑娘莫急，”狐狸道，“博弈论中，什么样的人用哪些招数，都是事先假定好的 ，也是大家各方都知道的，而且大家都知道大家知道的，却不允许你弄些稀奇古怪的旁 门左 道来捣乱。”
“狐兄之意我已知之，”蚂蚁沉吟道，“于我方，最想知道的是对方如何出手，只 要确 定对方的招数，我便可以在此前提下选择于自己最有利的应对措施，得到一个我的 盈利 函数。然而对方也能想象到我盈利函数最大化下的出招，并因此计算他自己的所得 。对 方所出招必定是能使他盈利最大的招数。”
“所以我便可知对方如何出招，对方也知我会如何应对。我若不如此应对，必定吃 亏； 对方若不如此出招，必定不能使其利益最大。”
“nod，”狐狸点头，“这些招数的组合，便成为了一条均衡路径。”
“但凡事总要未雨绸缪，难保中途哪个出错，出了一个对他自己不利的臭招，你下 一招 也得针对新情况，解决新问题。”
“所以，对于局中人任何招数，无论香臭也罢，如果真的发生了，我们就要根据前 面蚁兄说的原则重新计算出招和应招。但是我们只朝前看，不算旧帐。”

“如果每一个回合的每一招（无论这一招的出现如何愚蠢）我们都想好了其后的最 佳出 招和应招，即任何招数的出现，其后都有均衡路径；而最长的那条均衡路径，为整 个博 弈的均衡路径。那么，我们就算完事大吉，高枕无忧了。”
但文书还是不服气：“你这个总是分了出招的先后顺序，所以别人出后你可以悠然 地选 择自己最优的。倘若你们都是同时出招，你看到对手出招时，你的剑也已经刺出， 变不了招，岂非全都乱了套？”
狐狸笑道：“文书想的周到。不过这个虽原理与前无异，倒也不好用话来说，且先 等它一等。”
“狐兄总是这么刚愎自用，”绛仙幽幽地叹口气，“俗话说，画虎画皮难画骨、知 人知 面不知心。你怎么就一定知道对方是什么人？”

狐狸的心不觉颤了一下，因为很久以前自己也曾这般叹过，故而听来分外熟悉。 不过这好比微风吹起的一丝涟漪，很快就从水面的这边，掠过水面的那边，然后就 消失 了。
狐狸道：“按博弈论的要求，我们即便不知道对方一定是什么人，但却知道他属于 哪一 类人的概率。譬如是好人的概率是2/3，坏人的概率是1/3。能够知道这个，我们也 可以 作出选择了。”
“但是......”绛仙欲言又止，因为她想到了1/3的那种可能，所以她并不满意狐 狸的这 个回答。但是她知道这已经是最好的回答。所以也不再问。 狐狸笑着把眼睛从她身上扫过。
“先前我们知道博弈中每个人是什么类型，然后我们可以算出每个人的盈利函数， 每个 人的决策，便是根据这盈利函数来的。现在我们只知道每个人属于哪个类型的概率 ，也 还是一样按照刚才的步骤进行，只不过盈利函数成为数学期望值罢了。无论先出招 还是后出招，都是一样希望自己的盈利期望最大。”
文书嚅嗫道：“这个数学期望......”
狐狸乐了：“大二数学便有这些东东，文书缘何记不得了？譬如你有1/3的可能得 到9元钱，有2/3的可能得到18元钱，那你可能得到钱的数学期望便是9*1/3+18*2/3=15元 。一 个量乘以自身的概率，便是数学期望。”
说到这里，狐狸不觉朝蚂蚁望了一下：“现在所说，虽力图下里巴人，但......”
蚂蚁已知其意，挥手道：“下里巴人也不应是文书这样的幼儿园水平，概率的起码 意义要懂！”
“换言之，”蚂蚁笑道，“即便国人素质低，狐兄要说的，也至多是阳春白雪，未 可算 是艳阳高照。在下还听的懂，尽管放心的说下去。”
狐狸摇头道：“我要说的，就要说完了。现在我们在每个局中人的类型、每种类型 局中 人的各个招数上，都各假设一个概率，这些概率假设可全用符号来表示未知量，它 们可 以代表小数，也可以代表0，也可以代表1。”
“但是引入这些符号之时，便要这些符号之间满足概率上的约束，譬如归一化约束 。作 为代数式，这种约束是可以满足的。”
“此时，局中人选择策略，实质上便是计算概率。概率为0，便不选此策略；概率 为1， 便一定选此策略，概率若为小数，则为混合策略。”

“令μa，μb，μc......为a，b，c......决策顺序中局中人所属类型的概率向量 （各个 决策顺序的局中人可同可不同，但我们只把顺序作为区分标准），βa，βb，β c...... 为分布在相应局中人各招数上的概率向量。注意，这儿μa，βa等都是向量，譬如 μa=( μa1，μa2，......μan)。”

“由此可以列出依照a，b，c......的先后次序决策时，各人的盈利代数式： ua=fa(μa，μb，μc......；βa，βb，βc......βn)
ub=fb(μa，μb，μc......；βa，βb，βc......βn)
......
un=fn(μa，μb，μc......；βa，βb，βc......βn)”

“现在先不考虑出招较早的那些人，首先考虑最后一个决策者，他当取βn*使得 un*=maxfn(μa，μb，μc......；βa，βb，βc......βn)的βn*策略。
此时， βn* βn 可以表示为μa，μb，μc......；βa，βb，βc......βn-1的函数式。
因此可 得（n-1）个决策者的盈利式为： un-1*=maxfb1(μa，μb，μc......；βa，βb，βc......βn-1)
βn-1 同样又确定βn-1*，并消掉βn-1变量，依次类推。
最后确定μa*后，把μa*的数 值代入 其它所有人的策略代数式，即可求得依先后顺序计算的所有局中人均衡策略。此时 ，各人的盈利函数为代数方程，自变量概率向量在0－1区间又是连续的，因此完全可用 解方程的办法来求极值。”

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