二十世纪数学的发展趋势

特安乐恩

演讲人：李文林(中国科学院数学与系统科学研究院研究员)

我想20世纪的数学，主要的是三块，三大活动，一块就是纯粹数学的扩展，纯粹数学也是叫做核心数学，上级也就是抽象数学，第二块活动就是数学的空间的应用应用数学的空前蓬勃发展。第三块活动就是计算机跟数学的相互影响，这个三大活动构成了20世纪数学的主要线索，我今天主要也就是按照这三大活动，来概括20世纪数学的发展，其中，我先讲纯粹数学。

纯粹数学是19世纪的遗产，按照罗素，英国大数学家哲学家罗素的说法，就是说，19世纪，有一个可以跟蒸汽机的使用等等电气的使用可以相提并论的一顶桂冠，就是说，纯粹数学的发现，他认为，纯粹数学主要是19世纪的产物，20世纪，纯粹数学得到了巨大的发展，纯粹数学这个前沿在20世纪不断的挺进，而且，产生出很多令人惊异的成就。

比方说，我们大家都知道的哄动一时费马大定理的证明，这是300多年了，一直在前几个世纪都没有解决，但是，20世纪解决了，还有四色定理也是有100多年的历史都没有解决，但是在20世纪被解决了。那么，其他大家可能有的听得比较少的向连续统假设在某种意义上，在一定程度上，也在20世纪被解决了，还有很复杂的节是有限单群的分类定理，也是20世纪很大的成果等等，所以，20世纪引出来一系列很惊人的成果。

跟19世纪相比，20世纪纯粹数学的发展，表现下面这样一个特征跟趋势。也就是首先，就是说，更高的抽象化，第二个特征或者叫趋势，更强的统一性，第三个趋势是更深入地对基础的探讨。我后面两个特征，实际上，本质上也是属于抽象化，所以我今天重点还是谈谈20世纪纯粹数学里面更高的抽象化这样一个趋势，那么，抽象化本来是数学的固定的特征，那么，20世纪的抽象化它跟以前的数学发展有什么不同呢？我想20世纪数学的抽象化主要是受了两大因素的推动，一个就是集合论的观点，还有一个是公理化的方法，这个是跟过去的时代是不一样的。那么，集合论的观点，我们知道，集合论本来是德国数学家康托，为了使得分析微积分严格化，而产生的这样一个分支，那么，康托是主要的代表人物，但是，康托的集合，主要是指的数的集合，或者点的集合，那么，后来呢，经过其他数学家，比如说，法国的弗莱歇，他们把集合论加以发展， 发展成推广成为任意元素，这个集合的元素可以是任意的对象这样一个抽象的对象，就产生了一般的集合论，抽象的集合论，这个抽象的集合论，后来被发现，是数学各个领域的一个很有用的语言。它可以在数学各个领域里边作为一种通用的语言来描述数学的一些定理，来建立一些概念。

另外一个是公理化方法，我刚才说，20世纪纯粹数学抽象化趋势受第二个推动的大的因素，公理化方法，德国数学家，20世纪也应该算是可以数在前头的一位，赫尔曼外伊他说过这样一句话，他在总结20世纪上半世纪数学发展的时候，他说过这样一句话，他说，20世纪数学的一个十分突出的方面，是公理化方法所起的作用的极度增长，以前他说，公理化仅仅是用来阐明我们所建立的理论的基础。但是，现在，他却成为具体数学研究的工具。这是赫尔曼外伊的一个看法。

那么，20世纪的公理化方法的奠基人是德国数学家希尔伯特，希尔伯特大家都可能知道他在1900年国际数学家巴黎大会上，提出23个数学问题，因为这个很有名，但是，希尔伯特有很大的重大的贡献，其中有一个就是他提出来，新的公理化方法，那么，公理化方法在欧几里得几何里面已经有了，在公元前三世纪就已经有了，整个系统是从公理定理开始，然后在这个基础上，建立证明推导很多定理，这就是所谓欧几里得的一个公理化系统，欧几里得的公理系统里面有一条公设叫做第五公设就是平行公设，过直线外一点，能够，而且只能作一条直线，跟已经知道的直线平行。这个公设在这个公理系统里面就显得很特殊，几千年，数学家们一直在问，这条公理，好像他们从直觉上感到跟其他的公理不一样，他们就希望，就问能不能从其他的公理或者定理来证明这条公理，一两千年这个问题没有解决，可以说两千年吧，一直到19世纪才有人发现这条公理是独立的。也就是说你换成另外一个公理，把它欧几里得公理全部保存，欧几里得公理都保存，就把这一条平行公设改成过直线之外可以作不只一条直线，跟原来的直线相平行的话，你同样可以推出一套数学几何来。这套几何本身，也是可以有它的定理，而且，看其他好像也没有什么矛盾。那么这样一来的话就使得欧几里得几何公理的体系就引起了人们的研究，就觉得欧几里得几何公理系统的逻辑结构，还不是很清楚。

那么，希尔伯特他经过了大量的研究以后，提出来一套公理化方法，他这个公理化方法，区别于欧几里得的主要是两点，第一点就是他提出来，对公理系统比较要提出逻辑要求，他提出来三条第一条这个公理系统，必须要符合一种叫相融性，或者叫无矛盾性。这什么意思呢？就是你这个公理系统里面的公理，不能够相互矛盾。你从有些公理推出来一些相互矛盾的公理，当然从逻辑上，你这个公理系统就是不好的。就不行的。这是叫做相融性，或者叫做无矛盾性这是很自然的一个要求。

另外一个要求，他提出来这个公理系统，必须要符合一种叫做独立性，也就是说这个公理系统里面不应该有多余的公理，什么叫多余的公理就是说像他们怀疑的说欧几里得第五公设可以从别的公理推出来作为公理立在那儿就是多余的。所以，要把它去掉。但是后来他们发现证明了欧几里得第五公里是独立的它不能从其他公理推出来，因此它就可以作为一条公理，独立地放在这个公理系统里面，所以这个公理系统的独立性是他提出来的第二个要求。第三个要求就是公理系统不能缺少公理，少了公理，有些东西推不出来。这个叫做公理系统的完备性，他提出来公理系统的三条逻辑要求，就使得人们对公理系统的考察，有了逻辑根据，这个是对整个数学的严密性一个很大的贡献。

他的公理第二个推动数学抽象化趋势很大的特性，就是说，公理系统里面的对象，他研究的对象，是抽象的。不是像欧几里得的几何里面它这个公理系统的对象就是具体的点线面，那么他认为，这些公理系统的对象，本身的内容并不重要，重要的是这些对象，按照他的公理里刻划的相互之间的一些关系，比如说，距离，或者是线段的大小，这样一些东西的话，这些性质的话，他是要用公理来刻划的这些性质关系是本质性的至于说这些对象本身是点也好，线也好，面也好，他说过一个笑话，一次在火车上，碰到另外一个数学家，人家问他，你的公理化系统是什么意思？能不能简单地给我说一下，他开了一个玩笑，他说，你可以把点线面，换成桌子，椅子，啤酒杯，然后它照样符合这些公理，那么它照样可以成为你这个公理系统的研究对象，这当然是一个笑话，大家听起来会感到荒谬，但是，我往后面讲到的时候，大家会感到这样一种思想，增加了数学的抽象性，同时也提高了它的可用性。这是希尔伯特对数学公理化方法的特点。

那么这样一个公理化的方法，跟康托集合论的观点，经过发展的集合论的观点，朝向的集合论的观点结合起来，就推动了20世纪数学的抽象化趋势，使得20世纪数学在更抽象的道路上，高度抽象的道路上发展，而且，产生了导致了四大抽象学科的诞生，这是跟过去的数学不一样的学科。一个叫做实变函数论一个就是泛函分析，还有一个是抽象代数。第四个是拓扑学，这样四大抽象学科的诞生，而这四大抽象学科，所产生的一些概念，方法，定理它们又渗透到数学已经有了其他的学科，像数论，是吧？实变函数论，代数，几何，概率论，等等，微积分，很多其他的分支里面，就引起了这些分支的变革。那么这样就形成了20世纪抽象数学一个很巨大的潮流。

我想我们还是按照我们经典之道的分析，跟代数还有几何这么三个领域来看一看，我们比较熟悉的领域来看一看，20世纪纯粹数学的发展，引起的概念上的一些变革。在分析领域里面，我想，20世纪开门红的一个成果是叫做勒贝格积分。这是在1902年，当然它完成实际上是1901年就做出来了，1902年发表的，勒贝格，法国数学家，叫勒贝格积分理论。这个积分理论引起了积分概念的变化，这种变革表现在什么地方？

就是说，过去在19世纪的积分，一般我们叫做黎曼积分，这个黎曼积分，我们学过微积分的就知道，他是把数，数轴横轴上面就是函数的X轴上面的线段，积分区间把它分成很多小的区间，N个小区间，每个小区间取一个点，在这个点上取函数值，这个函数值，跟区间的长度相乘，然后求它的和，然后，让N趋向无穷的时候，你得到一个积分，定积分值，这个叫做黎曼积分，这是这种积分就一个缺陷，就是它对一些非正常的或者我们叫怪异的一些函数，或者叫病态函数，当时的数学家把它们叫做病态函数，这个积分就没法积，为什么？你在每一个区间上求一个点，求一个函数值让它和要有极限的话这个函数不能太坏，如果这个函数在那儿蹦来蹦去的话，那你这个极限就会是不一样的按照它的定理这个积分就不存在。

比如说我们举一个通常知道的病态函数。在0跟1这个区间上在所有的有理数的点上，这个函数等于1。在所有的无理点上它等于零这个函数你就不可能去按照黎曼函数给它积分这是一个病态函数。那么这个但是这些病态函数还有很多其他的病态函数，这些病态函数在数学家看来是病态的，但是，在物理学里面，很有用。所以它们的积分是数学家们关心的怎么样把原来的积分概念推广，使得它能够适用于这些病态的函数，那么，勒贝格解决了这个问题。

他的想法反过来，把这个区间划分开，不是划分自变量，X轴的这个线段，而是把应变量函数值，取值的这样一个值域，把这样一个区间把它划分。那么在值域上划分的时候，大家可以想象它划分出来在X轴上相应的自变量点的分布，可能会很乱。它不是一个线段，那么这个里面，怎么样求这样一些集合的长度呢？勒贝格积分的推广是以推广长度为基础的，就是说我们知道长度，我们过去都是对线段，就是一个线段，连续的线段，我们可以量它的长度，定义它的长度，那么很多线段加起来那也可以定义它的长度，现在，勒贝格，在勒贝格之前，法国就有一些数学家，像波莱尔，他已经把长度的概念推广了。满足一定条件的集合我们可以定义它的长度，这个长度的定义是你原来的欧几里得空间里面这样一个线段的长度为基础的。以它为基础，来推广对于某一种程度的集合，我可以定义它的长度。这个长度的概念，后来数学家们就把它叫做测度，比方我刚才说的有理点，在这个数轴上面是无穷多个。所以，有理点形成的集合它可不可以是测量它的长度？这个问题在过去的话你就没法量，按照勒贝格之前，就波莱尔他们发展的推广的长度的概念，就可以说，这个集合的测度，它的所谓的广义的长度是0，而无理数的点也是无穷多个分布在数轴上面，在0跟1之间。比方说，无理数有好多个但是它不连续，任何一个区间里面都会有空档，这个空档就是有理数把它刨掉了，那么这个线段长短，按照过去经典长度概念，也是不能测量的但是现在有了测度概念以后，就是广义的长度概念以后，可以说这样一个集合，0跟1之间的无理数的集合的长度是等于1这样的话他把长度的概念，就利用集合论的观念，我刚才一开?#####盗耍??下业墓鄣闶呛苤匾?杂诔橄蠡?Ｋ??眉?下鄣墓鄣悖?殉ざ鹊母拍睿?油ǔ５呐芳咐锏贸ざ韧乒愕礁?惴旱募?仙厦嫒ァ?br /> 对于一些不连续的，很奇怪的一些看起来杂乱无章一些电视机集合可以去定义它的长度，这样一来的话，积分的概念推广就有了基础，这样的话，法国的数学家勒贝格就把积分的概念，给推广了。推广成我们现在叫做勒贝格积分，勒贝格积分就使得一些病态函数我们可以建立积分，而这些函数的积分我刚才讲了，在物理学里边很有用的。当然这种推广，我想20世纪它是一个开门红。

那么，勒贝格积分的话，我刚才讲了，包括长度概念的推广，跟积分概念的变革。而它们的变革又引起了导数还有函数概念一系列的变革。所以，建立了一门新的微积分，就是在这样勒贝格积分的基础上，建立起来的微积分叫做实变函数论，在实变函数之前出现的分析叫做古典分析，我们习惯上就把勒贝格积分以后的分析叫做现代分析。那么，它引起来的一个进一步的变革，想很重要的是函数概念的变化。

函数经典的定义，就是说，应变量和自变量之间的对应，一种对应关系，那么现在我们定义函数的时候，用所谓映射，映射的观点，这个映射这个观点可以说是函数概念的一种推广，这个映射就是说，对应的关系可以不一定是数，它可以是一个集合有的抽象元素的集合，到另外一个集合的元素之间的对应关系。这一种对应关系就是一种映射我们现在叫映射，这个映射，实际上是函数概念的一种推广。它使得这种对应关系，可以推广到一个任意的抽象的集合上面去在代数领域，我想，它的变革，我想也是非常重要。而且我想这个变革也影响了整个数学的其他的分支的，这就是说我们代数学，在17世纪以前，或者说在19世纪以前，我们基本上是研究方程，解方程，或者是我们说是研究数跟数之间的运算，运算这种运算它关系有什么性质，比方满足什么交换率，满足结合律，分配律，我们研究这种性质，这是初等代数。或者说19世纪以前代数的主要内容，到了19世纪以后，由于法国数学家伽罗华，提出来群的概念，那么这个代数学就逐渐地发展，变成了讨论不是数跟数之间的运算，而是一些抽象元素之间的一些运算的关系，而这些运算，符合一些性质，那么这些性质是用公理来描写的这样一个研究代数的方法，我们现在所谓代数结构，这是现在数学里边用得非常广泛的一个研究的方法，后来这个代理结构的研究方法，又被推到整个数学里边，产生一般的数学结构，这就是法国数学家学派，一个数学家集体了，叫做布尔巴基学派，它把抽象代数里边的这样一个代数结构的观点，引申到研究整个数学结构，一般的数学结构，他提出来，除了代数结构以外，还应该有拓扑结构。还应该有续结构。

特安乐恩

就是发展到用一般的结构的观点，来研究数学。

那么这个结构的观点研究数学我想它的本质还在于它的公理和这个公理化方法引进到代数里面来，引起了整个代数的面目全非。20世纪面目全非，那么这套方法，作贡献最大的是布尔伯特的一个学生，一个女数学家，叫艾米诺特，可能我们听说过，她在哥庭根领导了一个代数学派，这个代数学派对我刚才讲的说代数结构，抽象代数的发展，起了奠基性的作用。20世纪代数领域，它不再是研究具体的数之间的运算，跟他们的性质，而是研究一般的抽象的代数结构，这个代数结构什么意思？就是有一个集合这个集合里面有一些抽象的元素，这个元素里边，定义了一种运算这种运算也可以类比成加法也好，类比成乘法也好，也可以定义几个运算，但是这些运算之间要满足一定的关系一定的性质这个性质是用公理来刻划的用公理性质来刻划的，这就是我们今天研究抽象代数的一个方法，我讲起来大家可能会感到抽象但是它的用处是非常的广泛，下面我就进入到比较容易讲的几何领域。

我们来看看几何领域20世纪在一些基本观念一些概念上有什么变革，我想欧几里得几何的这种绝对的空间观念，用6个字来描写，这个可能不太恰当，但是我想比较直观，就是三维的，或者你在二维一维考虑的时候，那就不能超过三维，三维的平直的不能弯曲的刚性的，就是说你这个任意，你研究几何学它的空间任意两点距离你管怎么挪，它是不能动的不能变的不能拉长也不能缩短。那么，我想，大概欧几里得几何大致上可以用这6个字来说。谑导视τ茫?腋詹沤擦耍?桥芳负危?耘芳咐锏玫牡谖骞?杼岢龌骋梢院螅?岢隼吹姆桥芳负蔚姆⒄沟鹊龋?丫?雅肥霞?系目蚩蛞丫??即蚱屏恕?br /> 可以这么说，19世纪后来几何学的发展，都是沿着非欧化的这个路线发展的一个是把三维突破成高维N维，我们欧氏几何一般研究现实空间三维，那么在19世纪已经突破到N维，研究高维的空间，那么，平直的这一点，我想狭义的像罗巴契夫斯基几何也好，罗巴契夫斯基几何就是一个双曲的一个弯曲的集合这个空间是弯曲的它不再是平直的所以，非欧几何的发现，实际上把这一点也给打破了。

那么关于刚性，我想最简单的例子就是摄影，摄影几何它的发展，实际上摄影几何两点之间的距离是不再保持不变的，那么它是要变化的。但是我想对于刚性这一点，最大的突破，是在20世纪，我先讲这个维数，在20世纪，我刚才说了19世纪几何学从三维突破到N维，20世纪有没有什么变化呢？20世纪我想我们的几何空间，已经从两个方向突破，一个是产生了无穷维的几何这个无穷维空间，就是在刚刚说的分析的变革上引起的。就是我刚才说的函数，这个集合，实际上是一个把每一个函数看成一个点的话那么它是一个集合，这个集合可以看成一个空间，那么，其中有一函数的空间，它实际上是无穷维的它的维度，如果你一定要用维数的观点来刻划它的话，它是无穷维的。

我举一个例子，这个无穷维空间的概念，是希尔伯特刚才讲的公理化方法的发明人，希尔伯特提出来的。他在研究积分方程的时候，提出来，就是由无穷多个实数组成了一个组，A1A2一直到AN，一直到无穷，这样一个每一个AN都是一个实数，这样无穷多个实数放在一起，它看成一个元素，看成一个组，一个元素，那么所有这样的元素的集合，它在这个集合上面定义了一些运算，定义了运算以后，他认为构成一个空间，把每一个这样的元素看成一个点构成一个空间，这个空间的维数是无穷维的所以，希尔伯特这个无穷多个实数构成的集合的全体是第一个无穷维的一个空间的一个例子。那么所以后来他的学生就把这样的空间叫做希尔伯特空间，希尔伯特空间在20世纪物理学数学里面，到处都在用。无穷维这是无穷维。

后来，实变函数的发现就发现这个函数空间，就是刚才不是讲勒贝格吗？所有的平方所有的函数如果把它平方以后，能够求勒贝格积分的所有这样函数的全体，跟刚才讲的无穷实数组这样一个全体的集合是等价的是可以一一对应的。也就是说所有这样的函数的全集，构成的一个集合可以看成一个无穷维的空间这样的话就把空间的概念，从有限维N维推广到了无穷维这是一个方向。

另外一个方向突破的维度概念取得突破的是20世纪后半叶发现了分数维。就是说，空间的维数不尽可以是有限的维，不光三维，可以是N维，高维这在19世纪就已经知道了。那么到了20世纪还可以有无穷维，现在，数学家们发现，空间的概念还可以推广到分数维，关于分数维这个空间的几何，就叫分形几何这完全是20世纪新建的一门几何学。

在20世纪，我想拓扑学，这样一个新的学科，就刚才我讲的四大抽象学科当中的一门，它实际上是对刚性欧几里得集合里面空间里面刚性原则一个最大的突破，那么经过这样一种变革，空间，概念本身，就发生了很重要的变革。就是现在20世纪数学家我们现在的数学家心目当中的空间，它是一种抽象的结构，就是我刚才讲的一种结构，也就是说空间是一些集合，是一些元素的集合这些元素是抽象的它是什么我不管它，而这些元素之间有一些关系，这些关系是用公理来刻划的。这些例子就说明20世纪数学抽象的趋势，高度抽象的趋势。

那么数学这种抽象的性质是跟它的另外一个特写，所谓广泛的使用性，多用性是紧密相联系的。数学它正因为它有它的高度的抽象性，所以，它才有它广泛的实用性，数学的广泛的用处正是从它抽象的特性来的20世纪数学高度抽象化的发展，说明了它数学这种抽象化的特征，跟它的广泛的实用性特性之间的联系是比以往任何时代都更加密切。更加深刻。也更加复杂。更加奇妙。那么在20世纪数学的应用跟以前的时代有什么不一样的呢？我想主要也是表现在三个方面。

第一个方面就是数学的应用它突破了传统的范围，像人类几乎所有的知识领域渗透。那我现在，我只要举一下在20世纪发展起来的一些的数学应用到其他的学科里边产生的边缘分支，我想就能说明问题，20世纪我可以列举出来的交叉的分支有像数学物理，这是物理，数学在物理里面的应用，还有我们有数理化学，化学里边现在用的不是简单的一元二次方程，而是很复杂的微分方程，还有很多是数学家本身都没有办法，感到束手无策的非线性微分方程。还有数理气象学，现在的气象预报也是建立在数学的基础上的。我想大概如果没有数值分析的话我们现在不可能有这么精密的天气预报。

剩下来还有数理考古学，我们现在考古也用到很多数学。第二个特点我说，纯粹数学几乎所有的分支都获得了应用，我说这是双向的刚才说的是数学几乎向所有的科学技术或者人类的知识领域渗透，第一个方面，数学的几乎所有的分支都参与了这种渗透至于它最抽象的部分，比如刚才说的抽象代数，我刚才就没有能够再深入地往下面讲，抽象代数的确是非常抽象，但是它在20世纪找到了它的应用，抽象的群论跟抽象代数在物理学里面，我在我们描写自然界的对成现象里面，是有广泛的用途的。那么，我说最抽象的领域除了群论，还有像数论，数论，就是研究自然数的性质，我们的哥德赫特猜想就是这样一个数论问题。那么这个数论有什么用呢？是不是光是自然数之间的一种游戏呢？智力难题呢？不是的。

数论所以它在现代的编码理论里面有非常重要的应用，另外还有就是拓扑学，就是所谓的橡皮泥集合，它是有很具体的应用，比如在生物学里面，有我刚才没有讲的就是说，我们在50年代发现了生物的高分子结构，是一种螺旋结构，双螺旋结构就是它的较分子是两个分子链在里面相互缠绕，这叫双螺旋结构，那么，从数学来讲，就是两个封闭的曲线，或者叫无穷的曲线它怎么相互传导，这种正好在拓扑学里面有个分支叫做纽结理论，就是专门来研究绳结的理论的。两根绳子，或者几根绳子相互缠绕，打结，那么它缠绕的情况不一样就会影响到分子生物学的特性所以它就很重要，这个正好拓扑学里面有一个分支叫做纽结理论就是专门研究这种东西的。那么所以，后来有一些数学家也参与了就是说，用纽结论的方法来计算高分子链就相当于两根曲线，它们相互缠绕的所谓缠绕数，这样一些拓扑学的指标，那么，得到了这些数字，就可以对高分子的结构，有一些认识。从而也就可以对高分子的性质有一些认识，这就是非常抽象拓扑学在生物学里面也是有广泛的应用的。

这是就我说的纯粹数学，几乎所有的分支都获得了应用。包括一些最抽象的分支。

第三个，就是说，20世纪数学空间广泛应用的特点就是说，现代数学对生产技术的应用便的越来越直接，我说的是直接，我刚才讲了，数学的应用，有的时候要拐弯抹角的，是曲折的不一定说你今天发明了明天就有用，那么这种应用呢？在20世纪，应用的频率跟周期是越来越短，应该承认这一点。就是说，比方说我举几个例子，刚才讲的拉东积分它很快地就被用到了CT扫描仪里面，那么我想还有小波分析，也是近代最近多少年在调和分析基础上发明起来的，它集合一发明，人们就发现，小波分析在通讯，还有计算机图象压缩，什么这些里边有很重要的应用，它是一种分析，数据分析，还有在石油勘探里面也有广泛的应用。那么，我这儿就是说几个对比，来说明数学应用周期的缩短，当然这个例子大家可以举出说，你这个可能会有很多反应，但是我想多多少少能说明问题我说一下
我们知道，圆锥曲线是在公元前4世纪，希腊人就已经发明了，圆锥曲线，椭圆，双曲线，抛物线，但是，这个圆锥曲线在2000年当中，应该说是没有什么太多的用处。没有什么太多用处的它的最重要的应用是到了17世纪，开普勒发现了行星的运动规律，三大定律，就发现行星运动的轨道是椭圆，也就是说是椭圆曲线当中的一种是椭圆。那么后来，牛顿从数学上证明了在这样一个引力的定律之下，在他的牛顿三大力学的定律之下，退出来的行星的轨道，必然是一个椭圆，而且对椭圆曲线用微积分的办法做了很多研究，所以，椭圆曲线一直到2000年以后，应该说才知道找到了它的重要的应用。

那么非欧几何是1830年左右发明的。就算用到广义相对论里面是1915年差不多一个世纪不到。而麦克斯韦方程，我们知道是1864年发明的，1864年英国数学家，物理学家，发现了描写电磁波理论的麦克斯韦方程，根据这个方程，他预报，有一种波存在就是电磁波，电磁波当时是不存在的不知道。那么，麦克斯韦是根据他这一套抽象的数学方程预报，预言我们自然界存在这样一种看不见的电磁波，到了1895年，这个中间不到半个世纪就30年多一点吧，这个马可尼跟波波夫，当然他们之间有一些争论，到底谁是发明人，但是，差不多时候吧，1895年，他们发明了第一个无线电报，就是真正找到了麦克斯韦根据他的数学方程预言的这样一个电磁波而且把它变成了无线电报，这中间是30多年。

还有刚才讲的无穷维的希尔伯特空间理论，用到量子力学跟光谱理论里面，我们知道，希尔伯特空间理论是1912年提出来的，量子力学的完成是1927年，这也是很快就找到应用这么抽象的东西，拉东积分是1913年我刚才讲的用到CT扫描里面是1963年到1969年，我想，大概数学在实际当中的应用，这个生产当中的应用它会越来越直接。频率会越来越快，这个我想是一个趋势。还有最后一个特性，数学在向外渗透过程当中，产生一些相对独立的应用学科这些学科它并不是像生物数学，数学物理一样，数学光是应用到物理里边，光是应用到生物里边这种独立的学科，比方有数理统计，运筹学，控制论，可以举出一些来，刚刚讲的这三个是最重要的。那么这些学科它有自己独立的方法，数学方法，它应用的范围也不光是一个学科它可以比较广泛。

那么这三个学科的发展我就具体不讲，这个没有时间讲，我特别讲讲控制论，控制论是在二次大战的时候，为了解决打飞机，这样一个问题，用高射炮，或者我们今天就是导弹打飞机，我们知道飞机在天上飞，我们可以算它的位置，但是我算出它某一个时刻，T时刻的位置以后，比方T1时刻的位置，我地上的炮弹或者导弹，我不能就打一个炮弹，打到T1这个位置，这个飞机还在往前动，所以我需要预报预测这个飞机的位置。在下几个时刻的位置，然后使得我的炮弹调整一个发射的角度，使得我们炮弹跟飞机在某一个时刻能够在天上同一个地点，同一个位置上面相遇，这样才能打到它。这个所谓预报问题成为控制论的一个主要来源。它的主要发明人奠基人是美国数学家维纳，诺伯特维纳。

今天这个控制论用处就非常广泛了，讲到控制论，我想中国人也有贡献的。控制论的创业，就是说，维纳他在创立控制论前夕，在中国，1936年，呆过一年，在清华大学。他后来写了一本自传，他把他在清华大学呆的这一天，说成是对他的控制论的创造有非常重要作用的一年，这一年当中，他跟很多中国数学家交谈过，也跟其中一个中国的工程师，叫做李郁荣他们密切或作，后来第二次世界大战以后，李郁荣因为在上海他非常困难，抗战的时候，维纳又把他请到德国，在麻省理工学院做教授。他应该说在控制论的发明当中，也起了一些作用，我刚才讲的是数学的空前的广泛的应用。在20世纪一个很重要的四大特点。

bigcat2003

二十世纪 发展趋势

特安乐恩

总结而非预见!

ccddyy9

李文林的《数学史概论》值得一读！！