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一个数学家必须要具有诗人的气质
——H.Wyle
作为人类关于数量和空间的经验的总结，数学被看作一门科学。然而粗糙的定义是不能完全涵盖数学丰富多彩的内容，特别是现代数学的抽象，以及现代数学家对形式美的爱好和追求。这些都与古代数学有极大的区别。与其把数学看作科学还不如看作艺术。数学知识的积累更像艺术作品的积聚，而非科学知识的替换。科学知识只是对现实世界的或精巧或拙劣的模拟，时常是精巧的会代替掉拙劣的。 A.L.L.Lawaxi的氧气燃烧学说出来之后，燃素说便无地自容了。广义相对论也使Newton力学相形见拙。然而艺术品却是不断的积聚的。并不因为有了Stravinsky的《春之祭》就无人倾听Mozart, Vincent van Gogh和Leonardo daVinci画风不同，却同样受人喜爱。数学也是这样，每个时代的数学家都是在为数学大厦添砖加瓦。十九世纪的大师的著作现在看来依然毫不逊色。A.Weil便是从《Gauss全集》中受启发,做出Weil猜想的。[8]Anorld居然能从Newton的《自然科学的数学原理》中汲取营养。每个数学定理只是它本身，而非其他，它自身就是一个宇宙。我们完全能像欣赏一首诗、一幅画、一部乐曲那样欣赏它。C.G.J.Jacobi曾写道：\"Fourier先生认为，数学的主要目的是服务人类，解释自然现象，但像他这样的哲学家应当知道，科学的唯一目的是为了人类心智的荣耀，因此，一个关于数的问题与一个关于宇宙体系的问题具有同样的意义。\"[1]G.H.Hardy把数学和诗歌相比，突出说明数学的形式美。按Hardy的说法，诗歌的内容不重要，关键是遣词造句，以及由此而构建的意境。[2]这种看法与D.Hilbert的形式主义是相通的：数学是一堆没有意义的符号，数学家只是在一定的游戏规则下作符号游戏。叶葱奇在《李贺诗集注疏》序言中写道：\"古诗歌的组成全在词汇的秾缛，音调的铿镪，用典的精妙，用字的轻重、浓淡，从这上面生出的幽深、超逸的风致，构成的美妙、隽永的意味。\"[11]其实所有高级的艺术形式都是这种形式化的倾向。京剧不是吗？C.Maxwell也曾说J.B.J.Fourier的《热的解析理论》是一首数学的诗。[3]邱成桐曾把数学比作绘画，有广告画和印象画之分，似与应用数学和纯数学相对。\"我想做几何也跟画画差不多，不过我们画的图更广泛一点，物理要画的图画基本上只是一张图画，就是自然界的现象。我们可以乱画，我们可以画广告画，也可以画印象画。\"[4]还说可以乱画，就更把数学的艺术性表现的淋漓尽致，试问一个分子生物学家敢不敢乱画人体DNA结构图。
数学的美在于它的抽象、简洁、对称、优雅，以及出乎意料的完美。这正是Mozart音乐的特点，当然也像是庄严而空灵的星空。当你欣赏一个定理或一套理论时，会发现它的每一步推理都象是人为的，局部地似乎看不出它们存在的理由，然而所有推理奇妙的组合在一起，便指向一个伟大的结论，那样鲜明生动，像蜿蜒的山路，石缝的清泉。数学家为何普遍喜欢Atiya-Singer定理（光滑流形的椭圆型微分算子指标和拓扑指标相等）这样的工作正是因为它的出乎意料性，因为它揭示了两个相距很远的数学分支之间的联系。
数学的魅力更在于它的永恒性。\"和其他思想家的追求相比，数学家所追求的是更加理想，并且也许是在艺术上更加令人满意的形式。时代可以变更，语言可以发展和消亡，画家的画布可以腐成碎片，雕像的材料可以溶浊分解为灰尘，然而这种形式却保持不变。它的确是永远使人快乐的美丽事物。\"[5]数学定理一旦被找到，它就会永远存在，而且还会无数次地被人重新发现、欣赏、吸收。G.H.Hardy说,数学家跟画家或诗人一样，也是造型家，区别仅在于画家造型用形和色，诗人用语言，而数学家这是用概念来造型。[2]他们都在从事一种创造。感觉、直觉在数学创造中的作用和在其他艺术创造中的作用一样，都是它们的源泉。一个记忆力、注意力很强的人可以成为一个好的数学学习者、应用者、教授者，但不一定能成为创造者，假如他没有一种数学直觉。正如绘画需要许多技巧技术，但所有的技术都不足以使人成为绘画大师。在艺术的天堂里重要的是感觉。H.Pioncare用形象的比喻来说明数学的创造过程，各种数学概念在潜意识里碰撞组合,数学直觉从中筛选出有意义的组合,进而进行创造。他强调顿悟。先是紧张的工作，然后完全放松，把任务留给潜意识，随后顿悟发生。潜意识做出选择时，所用的标准便是\"数学的美感，数和形的和谐感，几何学的雅致感\"，\"这种和谐同时是我们审美需要的满足，以及支持指导我们思想的助手\"，\"有用的组合恰恰是最完美的组合，我意指最能使这种特殊情感着迷的组合\"。 [6]了解Mozart的人可以把他的音乐创作与Pioncare 所说的相印证。Mozart的创作完全是凭一种音乐直觉,他可以一边和人谈话一边写曲谱。李白也正是在醉酒状态，即意识活动放松潜意识活动兴奋时，写出他的诗歌。
理解数学时用的也是一种感觉。数学证明并非逻辑三短论的简单叠合。在一个证明中有一种一般的原则。\"它是按某种次序安置演绎推理，这些元素安置的顺序比元素本身更重要。如果我是有这种次序的感觉，也可以说这种次序的直觉。以便一眼就觉察到作为一个整体的推理，那么我无需害怕我忘记这些元素之一，因为他们之中的每一个都在排列中得到它的指定的位置，而且不要我本人费心思记忆。\"[6]这或许是对数学感觉的最生动形象的描述。简而言之数学感觉便是一种整体次序感、和谐感。数学和艺术一样可分为各种流派，存在各种风格。各个流派感兴趣的东西不同，思考问题的方法也不同，论文著作的行文风格也不同。Pioncare曾说，数学家可以分为两类：几何型、分析型。分析型的数学家思维精细而严密注重推理，比如A.Cauchy、K.T.W.Weierstrass；几何型的数学家想象力丰富，注重直觉，喜欢迅速把握问题的实质，比如G.F.B.Riemann 、F.Klein。[7]且不提第三次数学危机时的三大数学基础学派,比较一下德国抽象代数学派,中国数论学派和美国低维拓扑学派的著作，便很清楚艺术风格的存在。以E.Neother为中心的抽象代数学派，永远是那种优雅闲适，甚至有点浮华轻靡的气氛。不论是E.Neother 的女性身份，Van der Waerden的名著和他的钢琴爱好，还有E.Artin近乎完美的讲课风格。然而华罗庚的高贵庄重中有明显的剑桥分析学派的影子，陈景润的朴实无华是典型的中国风格，翻开二人的著作均是积分号与近似估计，让人顿生冷峻之想。美国低维拓扑学派的书几乎全是扭结、曲面、环链的天地，让人眼花缭乱。美国人务实、具体、效率的精神也表露无遗。当今的数学主流,据说还是D.Hilbert 的形式主义和Bourbaki风格。两者都是以公理化思想称著于世。Bourbaki学派曾以《数学原理》巨著为手段，怀抱统一数学的雄心，但现代数学的纷繁复杂也令其于1985年封笔至今,但他们那种整齐、抽象,\"定义－定理－证明\"的格式却几乎成了现代著作的标准。各门艺术中都有它的大师和怪杰。历史上也涌现了许多风格独特的数学家。C.F.Gauss为人孤僻，追求完美，他的作品可谓美仑美奂。结果不成熟，他是不会发表的。而且他可以对一个定理一证再证，精益求精，有名的代数基本定理便是如此。G.F.B.Riemann是一个极富创造力的数学家,他的全集很薄,但几乎每篇论文都开创一个数学方向, Riemann猜想、Riemann积分、Riemann几何、Riemann面。他的作品写得很简略，结论多于证明，留下的工作足以让后来的数学家工作几百年。印度怪才S.A.Ramanujan在艰难的环境下自学，他的几乎所有知识都来自他唯一的本书。他寄给G.H.Hardy的笔记本中包含几百条未加证明的数学式子，包括定积分、无穷级数、连分数。G.H.Hardy当时的惊奇也许是每个见到那个笔记本的人都会感到的。\"单单看一眼，就足以说明这些公式只能出自最高级的数学家之手，它们一定是对的，因为否则的话，没人能具有这样的想象力去发明它们 。\"[2] P.Erdos 是世界上最多产，与人合作最多的数学家，留下了1500篇论文,而且几乎每篇都包含一个有意义的结果,甚至有里程碑似的结果。他的生活方式更是令人惊叹，孑然一生，周游世界，疯狂的讨论数学 。[8] Bourbaki 学派第二代精神领袖Grothendieck激进的政治观点并不影响他的数学的宏伟与崇高。他制造了一个统一的概形理论来处理代数几何，将代数几何完全抽象化。有人说他是:不论告诉他什么，他都翻译成自己那套语言。典型的法国人。后来他发现政府仍在干预数学，于是愤而隐退，回家种葡萄。[9]这种例子还有很多，数学便是这样在发展中带上了各种数学家的个性、人格特色，使其更如同艺术作品，使我们可以沉迷其间，涵泳其间，尽情欣赏。科学追求的是对大自然的理解，是对真理的发现，而数学更多的是对美的追求。K.Godel的不完全性定理指出了数学的缺陷,也阻绝了以数学为绝对真理的想法。数学家们一反十八世纪以前为科学服务的态度，全身心投入数学美的构建。摆脱了为客观世界所束缚的数学，从人类的自由心灵中汲取力量，涌现出无数在客观世界中无法存在，只能存在于人类头脑里的抽象概念，比如：高维空间、流形、抽象群、由选择公理导出的分球悖论。数学家从而获得了自由，甚至宣称，在数学中你想干什么都行。于是有了Pioncare所言各种概念相互碰撞而创新。不可否认在数学中有一套客观标准来衡量一项工作的重要性。比如说：它是否解决了历史上遗留下来的问题；它对整个理论的完美性有何贡献；它是否揭示了几个表面上相距很远的数学分支之间的联系；它是否创造了新的方法，该方法是否有普遍性；它是否体现了和谐与美。然而每个人都可以去喜欢去做他所感兴趣的那部分数学.这里远离政治、种族、战争,甚至烦恼,有的只是专注、安详、宁静，领悟后的欢乐，创造时的兴奋。F. Riesz说：\"我不高兴时搞数学，使自己高兴。我高兴时搞数学，使自己更高兴。\"或许数学最适合小平邦彦这种悲观厌世之人。\"早八时起床，九点四十分是Segel的关于三体问题的课,十一点十五分至十二点是Weyl的讨论班，一点二十分到两点二十分在小平的讨论班讲自己的论文，回家继续写论文，五点三十分街上餐馆晚餐，回家工作到深夜。\"[10]数学是一座为其挡风避雨的象牙塔，也是其所有的精神寄托。
[1]Jean Dieudonne 沈永欢 译 当代数学：为了人类心智的荣耀 上海教育出
版社 1999
[2]G.H.Hardy 李文林 译 一个数学家的辩白 江苏教育出版社 1996
[3]J.B.J.Fourier 桂质亮 译 热的解析理论 武汉出版社 1994
[4]邱成桐 几何学的未来发展 数学译林 第十六卷第十期
[5]J.N.Kapur 王庆人 译 数学家谈数学的本质 中国科技大学出版社 1989
[6]H.Poincare 李醒明 译 数学创造
[7]H.Poincare 李醒明 译 数学中的直觉和逻辑
[8]李心灿 当代数学大师 航空工业出版社 1994
[9]胡作玄 赵斌 菲尔兹获奖得者 湖南科学技术出版社 1984 |
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发表于 2007-2-8 14:18:14
发表于 2007-2-8 15:00:21
