欧拉随即对达朗贝尔的方法作了进一步研究．他在允许什么函数可以作为初始曲线，因而也可以作为偏微分方程的解的问题上，有全然不同的想法．于是，这两位数学家，还有丹尼尔·伯努利、拉格朗日、拉普拉斯和其他一些数学家，都卷进了一场旷日持久的激烈论战，延续了半个多世纪，直到傅里叶的《热的分析理论》(The- órie analytique de la chaleur， 1822)发表为止．其间，欧拉把特征线法发展得更加完善了．欧拉还在流体动力学和鼓膜振动、管内空气运动等问题中接触到数学物理方程．例如，位势方程
最早就出现在他1752年关于流体运动的论文中．1766年，欧拉从圆膜振动问题得到后来所称的贝塞尔(Bassel)方程，并借助于贝塞尔函数Jn(x)来求解．
9．变分法
欧拉从1728年解决约翰·伯努利提议的测地线问题开始从事变分法的研究．1734年，他推广了最速降线问题．然后，着手寻找关于这种问题的更一般的方法．1744年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》(Methodus inveniendi lineas-curvas maximi minimive proprictate gaude-ntes)(图2)一书出版．这是变分学史上的里程碑，它标志着变分法作为一个新的数学分支的诞生．该书广泛使用了几何论证．书中系统地总结了欧拉在18世纪30年代和40年代初的一些成果，其中，包括欧拉1736年成功证明的关于使积分取极大或极小值的函数y(x)必须满足的常微分方程
以及大量应用的例子．这个以欧拉名字命名的方程，迄今仍是变分法的基本微分方程．
18世纪50年代中期，拉格朗日循着欧拉的思路和结果，从纯分析方法的角度，创造了应用于变分演算的新算法和新符号，得到了更完善的结果．欧拉随后放弃了自己以前的说明，并对拉格朗日的方法作了详细、清晰的解释．欧拉认为拉格朗日的方法是一种新的计算方法，并在自己的论文中正式将它命名为“变分法”(the calculus of variation)． 1770年，欧拉在《积分学原理》第三卷中把变分法应用于具有常数限的二重积分的极值问题．其后不久，欧拉又提出了变分演算的另一种解释方法．他早期变分法研究中使用的直接方法，一个半世纪以后，也在寻找变分问题及相应的微分方程的精确解或近似解中获得独立的价值．
10．几何学
18世纪，坐标几何得到广泛的探讨．欧拉在《无穷分析引论》第二卷中引入了曲线的参数表示．他从二次曲线的一般方程着手，超越同时代的人，对二次曲线理论的代数发展做出了重要贡献．他用类比法研究三次曲线，还讨论了高次平面曲线．但是，欧拉的主要贡献是第一次在相应的变换里应用欧拉角，彻底地研究了二次曲面的一般方程．
在微分几何方面，欧拉于1736年首先引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究．他将曲率描述为曲线的切线方向和一固定方向的交角相对于弧长的变化率．欧拉关于曲面测地线的研究是众所周知的．然而，更重要的是他在曲面论方面的开拓性研究．1760年，欧拉在《关于曲面上曲线的研究》(Recherches sur la courbure des surfaces)中建立了曲面的理论．这本著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的里程碑．G．蒙日(Monge)和其他几何学家后来的研究就是从曲面论开始的．18世纪60年代和70年代，欧拉继续研究并得到了用主曲率表示任意法截面上截线曲率的著名公式以及曲面可展性的、分析的必要充分条件．1775年，他还成功地重新阐述了空间曲线的一般理论．
欧拉对拓扑学的研究也具有第一流的水平．1735年，欧拉用简化(或理想化)的表示法解决了著名的哥尼斯堡七桥游戏问题(如图3，有7座桥，问是否可一次走遍，不许重复也不许遗漏．)他得到具有拓扑意义的河-桥图的判断法则，即现今网络论中的欧拉定理．1750年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质．其中，有一条是：如果用V，E和F分别表示闭的凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有V-E＋F=2．次年他给出了这条性质的一个证明．尽管100年后人们发现笛卡儿早就知道这一性质，但是，第一个认识V-E＋F这个“交错和”重要意义的人似乎是欧拉．他之所以对这一关系感兴趣，是要用它来作多面体的分类．欧拉示性数V-E＋F以及由H．庞加莱(Poicaré)提出的在多维复形中的推广是现代拓扑学的主要不变量之一，陈省身言简意赅地说过：“欧拉示性数是大量几何课题的源泉和出发点．”他用图形(图4)表示了这种关系．
力 学
欧拉在1736年的《力学》导言中，概述了对这门科学各个分支的巨大研究计划．与其前辈采用综合法、几何法来研究力学不同，欧拉第一个意识到把分析方法引入力学的重要性．欧拉系统而成功地将分析学用于力学的全面研究．他的《力学或运动科学的分析解说》(图5)的书名就清楚地表达了他的这一思想．欧拉在力学的各个领域都有突出贡献，他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的创始人．
1．一般力学
《力学或运动科学的分析解说》研究质点的运动学和动力学，是用分析的方法来发展牛顿质点动力学的第一本教科书．此书共分两卷：第一卷研究质点在真空中和有阻力的介质中的自由运动；第二卷研究质点的强迫运动．欧拉的这本著作与以往的著作迥然不同，他试图通过定义和论证的结合，来证明力学是一门能一步一步推演出的许多命题的“合理的科学”．他所提供的基本概念和定律接近我们今天所知道的力学体系．他用解析形式给出了运动方程式，并确认它们构成了整个力学的基础．因此，具有重要的历史意义．
1765年，欧拉的著作《刚体运动理论》(Theoria motus corpo- rum solidorum)出版．此书与上述《力学》相互关联．欧拉得到了刚体运动学和刚体动力学的最基本的结果，其中包括：刚体定点运动可用三个角度，即欧拉角的变化来描述；刚体定点转动时角速度变化和外力矩的关系；定点刚体在不受外力矩时的运动规律，以及自由刚体的运动微分方程等等．欧拉先用椭圆积分解决了刚体在重力下绕固定点转动的问题的一种可积情形，即欧拉情形．此后一个多世纪，拉格朗日于1788年、C．B．柯瓦列夫斯卡娅(Ковaлескaя)于1888年才相继完成全部可积情况的工作，彻底解决了经典力学中的这一著名难题． 2．流体力学
欧拉根据早期积累的经验而写成的两卷集《航海学》(Seientianavalis)，1749年在圣彼得堡出版．其中，第一卷论述浮体平衡的一般理论，第二卷将流体力学用于船舶．该书对浮体的稳定和浮体在平衡位置附近的轻微摆动问题作了独创性的阐述．1752年至1755年，欧拉相继写了“流体运动原理”(Prinapia motus flu-idorrum，1761)和另外三篇详细阐述流体力学解析理论的权威论文，即“流体平衡的一般原理”(Principes généraux de l’état d’-équilibre des fluides)、“流体运动的一般原理”(Principes géné-raux du mouvement des fluides)和“流体运动理论续篇(Conti-nuation des recherches sur la théorie du mouvemont des flui- des)．这三篇论文于1757年同时发表．欧拉创造性地用偏微分方程解决数学物理问题．他在这些论著中给出了流体运动的欧拉描述法，提出了理想流体模型，建立了流体运动的基本方程，即连续介质流体运动的欧拉方程，奠定了流体动力学的基础．此外，他还仔细地研究了管内液体和气体的运动，管内空气的振动和声音的传播等许多具体问题，以及水力技术问题．
除了在一般力学、流体力学方面的上述工作外，欧拉在《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》一书的附录一中，应丹尼尔·伯努利的请求，将变分演算应用于研究弹性理论的某些问题．这些问题，欧拉从1727年就开始研究．这个附录是第一部应用数学来研究弹性理论的著作．欧拉率先从理论上研究了细压杆的弹性稳定问题．他提出了柱的稳定概念，以及一端固定、另一端自由的柱的临界压力公式．在同书的附录二中，欧拉还与莫佩蒂几乎同时独立地得出了力学中的最小作用原理．欧拉为力学和物理学的变分原理的许多研究奠定了数学基础．这种变分原理至今仍在科研中应用．
天文学
对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉．18世纪的数学家对天体运行规律的探索极为重视．欧拉对天文学作过大量的研究，他最出色的著作都和天体力学有关．这些论著特别吸引当时的科学家，并多次荣获英、法等国的奖金．
17世纪，牛顿提出著名的万有引力定律，从力学原理上解释了月球运动的规律．此后，“三体问题”，特别是太阳、地球和月亮，成了18世纪科学家十分关注的重要课题．三体问题的摄动理论最先应用于月球的运动．欧拉、克莱罗等人曾试图求得一般三体问题的精确解，终因困难至甚转而采用近似方法．1745年，克莱罗和达朗贝尔用万有引力定律算得月球绕地球运转的近地点的周期为18年，而实际观察则表明它应该是9年．这曾使得人们从总体上对牛顿力学体系的正确性产生怀疑，甚至欧拉和其他一些科学家也认为牛顿万有引力定律需要作某些修正．1749年，克莱罗确认：理论值和观察值之间的误差，是由于求解相应微分方程局限于第一次逼近所致．当他作第二次逼近演算后，结果是令人满意的．为此，欧拉向圣彼得堡科学院举荐克莱罗的论文，使之获得该院1752年奖金．不过，欧拉仍不满意并继续研究．1753年，他的《月球运动理论》(Theoria motus lunae exhibens omnes ejus ina- equalitales)一书出版．在这部著作中，欧拉阐述了求三体问题近似解的新颖方法，亦称“欧拉第一月球理论”．他得到的数值结果也与牛顿万有引力理论一致．
欧拉的第一月球理论对当时的天文学和航海事业产生了很重要的影响．1755年，格丁根大学的天文学家T．迈尔(Mayer)根据欧拉的理论制成了一张月球运行表．它对舰船导航极有价值．经过10年的航海实践，1765年英国国会终于将半个世纪前悬赏的奖金授予迈尔的遗孀．同时，也奖给欧拉三百英磅奖金，以表彰他为此所作的开创性的理论工作．
1772年，欧拉的另一本天文学著作《月球运动理论和计算方法》在圣彼得堡出版．他在此书中详细阐述了“欧拉第二月球理论”．由于种种原因，直到19世纪末，当G．W．希尔(Hill)发展了欧拉月球理论中关于以直角坐标为基本变量和旋转坐标系的概念，建立了一种新的月球运动理论后，人们才可能对欧拉的这种新方法的价值作出正确的评价．
欧拉一生还写了许多关于慧星和行星轨道计算的论著．1748年，他在一篇论文中最先用参数变值法研究木星和土星运动的摄动，获得了巴黎科学院的奖金．1769—1771年，欧拉已双目失明，他以坚强的毅力和永不懈怠的进取精神，继续研究木星和土星、地球和其他行星的相互引力引起的摄动．“春蚕到死丝方尽”，欧拉对天文学的研究一直延伸到其生命最后的一瞬．
物理学
18世纪物理学的进展并不像17世纪前80年那样不寻常，它很少产生伟大的实验物理学家．欧拉作为一位物理学家，与丹尼尔·伯努利也不一样，其主要贡献是从数学的角度详尽地阐述前面已讨论过的那些类问题．欧拉所涉及的各种物理问题，当时多半与数学分析无缘．他渴望创造一种与物理学界取得一致的数学理论．他广泛地将数学应用到整个物理领域，并在力学、声学、光学和电磁学等方面做出了许多重要贡献．
1644年，笛卡儿曾经假定星际空间充满着物质，并且它们在很大的漩涡中运动．这在欧洲大陆人们的思想中，直到近18世纪中叶时还保持着它的地位．1724年，欧拉被授予哲学硕士学位，他发表的演讲就是对牛顿和笛卡儿的哲学思想进行比较．欧拉不是笛卡儿自然哲学体系的代表人物，但是，他更接近于这个自然哲学体系．欧拉否认空虚空间中的运动和远距离作用的可能性，他认为宇宙中充满了以太，并且用以太的力学性质来解释观察到的现象的多样性是可能的．他还将单磁流的概念引入电磁学．
欧拉在广为流传的《关于物理学和哲学问题给德韶公主的信》中，提出了一切物理现象都是以太与物质相互作用的结果的思想，企图建立物理世界的统一图象．这一思想对18世纪、19世纪物理学的发展是重要的．欧拉关于电的本质的观点是M．法拉第(Faraday)和J．C．麦克斯韦(Maxwell)电磁场理论的雏型．他的以太理论影响了黎曼．
欧拉在物理学方面建立的人造模型和提出的一些假设，寿命都不长．但是，他的光学著作在18世纪的物理学中起了重要作用．他否定权威的光粒子论，他是这个世纪提倡波动说的唯一的杰出科学家．他认为光的起因是以太特有的振荡的结果．欧拉1746年发表的《光和色彩的新理论》(Nova theoria lucis et colo- rum)解释了一些光学现象．他同伦敦的光学仪器商多伦在色散理论上发生过争论，双方都有正误之处．1758年，多伦创造消色差望远镜送交英国皇家学会，轰动了整个欧洲．这是光学技术上的一个转折点．而欧拉的三大卷本《屈光学》(Dioptrica，1771)则奠定了光学体系的计算基础．此书第一卷论述光学原理，第二、三卷分别论述望远镜和显微镜的构造，只是书中的数学模型超出了实验光学家的理解力．值得一提的是，欧拉1739年的音乐新理论也有超出音乐家理解力的地方，人们说，它对数学家“太音乐”了，而对音乐家“太数学”了．有人认为，欧拉的某些思想在现代音乐家的著作中得到了发展．
欧拉给后人留下了极其丰富的科学遗产和为科学献身的精神．历史学家把欧拉同阿基米德(Archimedes)、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”．数学家J．R．纽曼(Newman)1956年称欧拉是“数学家之英雄”．现在，英雄欧拉安详地躺在俄罗斯的土地上．1983年，在欧拉逝世200周年之际，各国学者在列宁格勒(即圣彼得堡)、西柏林、东柏林和莫斯科先后隆重集会纪念其丰功伟绩．而在欧拉的故乡——巴塞尔，则出版了各国著名科学家和科学史家研究、纪念他的巨型文集《列昂哈德·欧拉——生活事业文献集》(Leonhard Euler，1707—1783， Beitr ge zu Leben undWerk，1983)．法国科学家L．巴斯德(Pasteur)说得好：“科学没有国籍．但是科学家有祖国，他对于祖国的光荣应当尽心竭力，死而后已．热烈的爱国心会使他有勇气和毅力承担艰难而伟大的工作；而这工作，正是对人类有益的．”(在丹麦哥本哈根万国医学会上的讲话，1884)以此赞美欧拉，他是当之无愧的．
发表于 2007-1-19 19:30:31
号，等等．这些符号从18世纪一直沿用至今． 
欧拉，L．(Euler，Leonhard)1707年4月15日生于瑞士巴塞尔；1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡．数学、力学、天文学、物理学． 
后不久，J．L．拉格朗日(Lagra- nge)开始对这个问题进行全面研究．对费马关于“不定方程xn＋yn=zn(n＞2)没有正整数解”的著名猜测(此处x，y，z均为整数，xyz≠0)，1753年欧拉证明 n=3时，它是正确的．欧拉的证明建立在无穷递降法的基础上，并利用了形如
的发散性，简单而巧妙地证明了素数个数无穷的欧几里得定理．1737年，欧拉推出了下列著名的恒等式： 
的超越性的猜测，则至今尚未解决．
性质至今尚不清楚．
取极大或极小值的函数y(x)必须满足的常微分方程 
