[原创首发]浅谈《计算机怎样解几何题》

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浅谈《计算机怎样解几何题》



《计算机怎样解几何题》是“院士科普书系”中的一本，作者是著名数学家张景中院士。张景中院士是上个世纪80年代崛起的科普作家，自出版第一本数学科普书《数学传奇》之后，从此一发而不可收，写了一系列的科普精品，荣获了很多大奖：五个一工程奖，全国优秀畅销书奖等等，被人称为是中国科普的一面旗帜。在张院士众多科普著作中，我对《计算机怎样解几何题》情有独钟，感受甚深。
当我第一次拿起《计算机怎样解几何题》，才翻到前言，我就知道我放不下这本书了。此言绝非矫情，不信的话，看看其中的一小段：
“书的名字叫《计算机怎样解几何题》，还有一个副标题是“谈谈自动推理”。认真起来，其实都有点问题。 人是万物之灵，计算机是人造出来的，它并不会解题。是人设计了一套一套用计算机解题的办法。计算机只不过是工具。所以正确的书名应当是《人怎样用计算机解几何题》。 说自动推理，其实并不能自动，也是人出了主意推动计算机进行推理。就像自行车不会自己跑路，自来水不会自己到来一样。 不过大家仍然说自行车、自来水，这样通俗生动。反正心里明白，自行车要人蹬，自来水是水塔水泵压过来的。”
这一段非常有味，试想一下，书名是一本书的“眼睛”，哪一个作者对书名不是斟酌再三，反复修改，谁会用一个自己都认为有问题的标题呢？但是张景中院士在对书名进行“质疑”之后，马上话锋一转作了解释，然后用自行车，自来水这样的生活常见事物来打比方，一下子就把读者吸引住了，让读者觉得这一质疑确实是出乎预料之外，而这一解释却又在乎情理之中。
这似乎已经成为张景中院士的一种写作风格。首先对大家都比较认可的事情提出质疑，让人觉得：啊！怎么会是这样呢？在设置好悬念，引起读者兴趣之后，把问题展开，不紧不慢，娓娓道来，等到最后把谜底道破，大家会心一笑，哈！原来就是这样子哦。所以很多评论家在评论张景中院士的科普时，对这种“啊哈”效应推崇备至。
其实这样的例子在书中随处可见，俯拾皆是。譬如第二章一开头，就对“能否通过验证几个三角形的内角和为 ，就判定所有三角形内角和为 ”进行质疑。我相信很多读者都会和我一样产生疑问，因为刚刚接触几何的时候，我们的老师反复强调这样做不行，不能由有穷推断无穷啊？正当我们迫切想知道答案的时候，张景中院士话锋一转已经讲到更一般的理论“归纳与演绎”的辩证关系上去了，然后以中学里最常见的恒等式 为例，介绍了可以“用一组例子来解决某些数学问题的方法，叫数值并行法”，更进一步就引出了“用一个例子就够了的单点例证法”。接着张院士把我们又带回到“三角形的内角和”这个问题上来，有了前面的基础，只要将这个几何问题转化成代数问题，轻轻松松就解决了。最后张景中院士还讲了几个例子以及如何用计算机来实现。这样不知不觉之间，第二章20来页就已经全读完了。
讲到三角形内角和，还有一个例子相当经典。陈省身教授在北大讲学时的开场白就语惊四座：“人们常说，三角形内角和等于 。但是，这是不对的!” 然后又解释“不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对！”这个例子后来被张景中院士加以引申发挥，收录在《数学家的眼光》一书中，从而更加是广为人知。就是这样一个简单的数学命题，但在这两位数学大师眼里，却有着更深的数学含义，能够从中咀嚼出新的味道来。时下一些年轻学者讲学，总喜欢挖空心思讲一些很新奇的例子，以此来吸引观众的“眼球”，结果到后来又讲不出什么新意。两相对比，水平高低，不言自明。正如一些武侠小说所写的那样，年轻的时候武功尚弱，需借助神兵利器，等到武功达到化境，就可信手拈来，“草木石竹皆可为剑”。
善于设置悬念也好，“啊哈”效应也罢，都属于写作手法。那么在语言方面，张景中院士的科普又有何特色呢？通俗易懂！张院士将专业性的知识用很通俗的语言加以解释，让读者一下子就触摸到既深奥又抽象的事物本质。譬如书中开头介绍计算机的基本功能，有这么一段：“计算机的另一长处，是不怕枯燥麻烦。一个运算或一套操作，让它重复多少次它也不会罢工或埋怨。几何问题有时要多次检验，有时要反复探索，有时又要做大量的演算。只要你一声令下，它就老老实实地干起来，直到完成预定的次数或达到某个目标。这叫做循环操作功能。”这样的文字像是出自一个长期从事学术研究的数学家之手吗？难以置信，但事实如此，又容不得你置疑。用“不会罢工或埋怨，老老实实地干起来，直到完成预定的次数或达到某个目标”这样的语句既解释了计算机的循环操作功能，又暗含了另外一层含义：计算机是人类的好帮手。
写科普，语言通俗相当重要。很多科研工作者长期从事学术研究，猛地心血来潮想写科普，结果总不是那么回事，只有“科”，没有“普”。因为科研工作者，尤其是数学专业的，特别注重逻辑推理：要得到某一结论，首先得满足哪几个条件，而在一大堆已知条件中，哪些是充分条件，哪些是必要条件，分得清清楚楚，不愿意多写一句话，因为在他们看来，那是冗余条件。这样子写出来的科普又怎么能够在大众中间普及呢？反过来说，不居高怎能临下，不深入哪能浅出，没有相当高的专业水准,又怎能做到讲起专业性知识还那么挥洒自如，谈笑风生。在我国既能在专业领域出类拔萃，又能写出受人欢迎的科普著作的人还不是很多，而张景中院士肯定是其中的佼佼者。他在北大读书时就打下了深厚的数学功底，而在其后的20年间，即使身处逆境，也矢志不渝，从未放弃，终成大师。正是由于有了这样高深的学术造诣，写起科普来才能做到孟子所说的那样，“资之深，则取之左右逢其源”。
现在很多科普书知识深度都不会超过本科所学，因为专业知识一深，必然抽象，就很难用通俗语言来解释了。但《计算机怎样解几何题》这本书所牵涉的自动推理，是硕士博士才开设的课程，在世界上也属于前沿科学！我起初在读这本书的时候，完全是把它当成课外读物，从未将之视为学术著作。读这本书最深的感受就是“原来自动推理就是这么回事，也不难懂啊”，直到有一天，我在网上搜索这方面的文献资料，结果大为吃惊，很多大专院校的老师，还有硕士，博士所写的这方面的学术论文，我都能看懂一二，仔细一看，原来很大篇幅都是引用了《计算机怎样解几何题》这本书。一般来说，一本针对某一专题所写的科普书，他的作者都是希望通过这本书带领读者进入一个新的领域，也就是人们常讲的：领人入门。但我想一个人只要认真体会了这本书的精髓，那么对自动推理这一领域就绝不只是入门这么简单，离“入室”虽还尚远，但基本已到 “登堂”这个阶段了。
   我当初读这本书的时候，还将该书的一些内容归纳成“五个一”，现摘录如下：
（1）一个典型特色：眉批；每一页书的顶部都用一句话来概括这一页的内容，你只要看看眉批就能对那一页的内容做个大致了解。
（2）一个经典例题：平行四边形对角线相互平分。不管是书中开始讲述共边定理的运用，还是后来讲述吴法的基本步骤，都选用了这个例题；同时此题还标志着张景中院士成功地将面积方法成功转变成算法。
（3）一个完美系统：几何信息搜索系统；传统的几何解题严重依赖于图形，解题很多时候都需要灵感，而几何信息搜索系统却能步步为营，将由已知能够推出的所有结论一网打尽。
（4）一个有用算法：消点法；几何作图中，元素之间普遍存有逻辑关系，用消点法消去约束点后，使得所需结果很容易就水落石出。
（5）一段艰辛历程：几何定理机器证明进展回顾；这是该书的最后一章，讲述了很多数学家在几何定理机器证明这一领域所付出的艰辛，重点描写了中国数学家在这一领域的重大突破。
在书的末尾，张景中院士这样写道：“相信在未来的5年至10年间，……体现我国在几何问题机器求解领域的学术水平的优秀软件必将脱颖而出。”而实际情况却是两年之后，也就是2002年的时候，由张院士亲自设计开发的\"Z+Z\"智能教育平台就成功推出，标志着我国教育软件的开发从此进入了一个崭新的阶段。最后，我想提及的是江泽民总书记也非常喜欢这本书，曾经亲自打电话向张院士请教书中的五点共圆问题。特别是当江总书记在澳门给濠江中学的学生出了这道题目之后，《计算机怎样解几何题》更是变得洛阳纸贵。下图就是用智能教育平台中的超级画板对五点共圆问题所作的自动推理证明（注：图中只证明了四点共圆，同理再证另外四点共圆即可）。