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量子场是什么？
高山，量子研究所
中国电子学会电磁波波速专家工作组
北京昌平区回龙观龙泽苑24-3-501，102208
E-mail: rg@mail.ie.ac.cn；gaoshan@ioq.cn
本文我们将试图去真正理解相对论量子理论---量子场论，并给出量子场背后真实的物理实在图像，让人们从此不再为这一理论表面上异常复杂的数学形式所迷惑。我们的分析将显示，量子场所描述的物理实在仍然是粒子的运动，只不过是相对论情况下的多粒子运动，其中包括粒子产生、湮灭这种特殊的运动过程。
量子场论主要包括三部分内容，一是粒子的相对论运动方程，它所描述的粒子运动是量子场论所研究的真正物理实在；二是对称性和物理变换的要求，如相对论所要求的洛仑兹协变性和微观因果性条件，以及更抽象的规范不变性等。这些要求反映了粒子存在于其中的时空和其它物理实在对粒子运动的限制和作用。对这一部分内容我们不做专门讨论；三是量子场论的数学内核---算符场数学结构。算符场一直被普遍认为是量子场论所引入的一种新的场形式的物理实在，并被称为量子场。
我们首先分析粒子于相对论情况下的运动，看一看相对论究竟给粒子运动带来什么新的性质。
（1）自旋等内部性质的出现
粒子的相对论运动方程将自动包含粒子的内部性质，如电荷、自旋等。这本质上是由于相对论方程需符合更多新的物理变换要求，如相对论协变性等，而必然产生愈加复杂的数学结构和波函数形式，从而相应地引入了由这些数学结构和形式所表达的新的性质。对于最简单的非相对论薛定谔方程，不存在这样复杂的数学结构和波函数形式，从而方程本身并不自动包含更多的粒子性质。一般地，粒子的内部性质将表现为与粒子运动的直接描述量、j相对应的越来越复杂的波函数结构，具有不同性质的粒子将具有不同的波函数结构，并满足不同的相对论运动方程。可以说，粒子的性质将决定它特定的相对论运动形式，反之，粒子的相对论运动形式亦将反映粒子的特有性质。
粒子的自旋在相对论运动方程中的自然出现是一个鲜明的例证。简单的Klein-Gordon方程描述自旋为零的粒子，方程中的波函数仍为简单的数函数，而复杂一些的Dirac方程描述自旋为1/2的粒子，方程中的波函数相应地以复杂的四行一列的列矩陈来表示。对于高自旋的粒子则需要更加复杂的运动方程来描述，这清晰地显示了不同复杂度的数学结构和波函数形式将代表粒子性质的不同取值。此外，通过量子场的理论形式更容易看出，方程所蕴含的某种内部空间的对称性或变换不变性也将对应粒子的某种固有性质或守恒荷，这在数学上由Noether定理所严格表述。例如，复标量场的Klein-Gordon方程所对应的拉格朗日量具有整体相变换的U（1）内部对称性，这对应于存在一种守恒荷，如电荷、奇异数等，从而决定了Klein-Gordon方程是描述具有这种守恒荷的粒子。
（2）正反粒子的出现
由于在相对论情况下，能量与动量的关系为 ，粒子的相对论运动方程将同时具有正频解和负频解，从而暗示了这些方程不只描述一种粒子，而将同时描述对应于正、负频解的正、反粒子。这种暗示通过量子场论的理论形式被清晰地表现出来，它告诉我们正反粒子具有某种符号相反的守恒荷，如电荷、奇异数等。
（3）粒子产生、湮灭现象
量子场论中的相互作用项清晰地描述了粒子的产生、湮灭现象，如 描述电子与光子于某个时空点的局域相互作用，它代表吸收一个光子和电子同时产生一个电子。
（4）真空态的存在及真空涨落
真空态|0〉是发现任何粒子或任何模式的场量子的几率为零的状态，同时，它也是物理上能量最低的状态。尽管粒子数在真空态中为零，然而粒子的一些其它性质将仍然存在并具有某种量子不确定性。这反映在量子场论中“场量”平方的真空平均值不为零，即<0| |0>≠0，这就是所谓的真空涨落。例如，真空中存在着光子的真空零点振动效应，电子-正电子的真空极化效应等等，它们都导致可观测的物理效果，如兰姆位移、卡西米尔效应等。必须注意，真空只有被扰动才存在真空涨落，例如真空涨落项<0| |0>实际上是 作用于真空的结果，它明显地将在x点注入能量、动量及其它性质。
（5）Rindler量子
上面所讨论的真空态一般称为Minkowski真空，它是相对于所有惯性参照系而言的。但是，当粒子探测器处于加速运动状态时，它将可以在Minkowski真空中探测到粒子，这样的粒子称为Rindler量子。这本质上是由于按照探测器所在的加速参照系中的时间来刻画Minkowski真空中的正频解形式将得到一个正、负频解的叠加，从而Minkowski真空态将是Rindler量子的不同粒子数态的叠加，它将可能包含任意数目的Rindler量子。这一结论同样适用于弯曲时空。Rindler量子的存在告诉我们，粒子的存在形态是相对于观察者的运动状态而言的。
（6）多粒子整体态的出现
粒子运动与相对论的结合将更真实地描述多粒子态。相对论导致了粒子自旋性质的自然出现，而相对论所要求的微观因果性条件又进一步决定了不同自旋的粒子将具有不同的统计性质（这由自旋统计定理所严格表述），从而多粒子态本质上将具有一种整体性特征。具体地说，具有半整数自旋的粒子，如电子，满足费米—狄拉克统计规律，即两个粒子不能处于同一个状态上，其多粒子波函数为反对称形式，这样的粒子称为费米子；而具有整数自旋的粒子，如光子，则满足玻色—爱因斯坦统计，同一状态上可以存在任意多的粒子，其多粒子波函数为对称形式，这样的粒子称为玻色子。此外，多粒子整体态的存在还反映在玻色子的粒子数与相位之间的不确定关系上。
下面我们将分析量子场论的形式体系，即它的算符场数学结构，并论证它只是描述粒子相对论运动这一物理实在的数学外壳。我们知道，算符场中的算符只有两类，一类是粒子的产生算符，在动量空间中以 表示，另一类是粒子的湮灭算符，在动量空间中以 表示。这两种产生、湮灭算符的引入一方面有其数学的合法性，即它们是来自于多粒子态的Fock空间描述，这一描述在数学上完全等价于多粒子态的真实空间描述，因此量子场论或算符场的数学结构本质上也是描述多粒子运动的一种等价的理论框架；另一方面，引入产生、湮灭算符的物理合法性则来自于相对论情况下的确存在粒子的产生、湮灭过程，利用这两种算符可以更直接地描述这种粒子产生、湮灭的物理过程，而这两种过程仍可以看作是粒子于相对论情况下的特殊运动过程。
根据量子场论的定义，量子场就是粒子于真实空间中的产生和湮灭算符，一般可写为：
（x，t）= （x，t）+ （x，t）
和
（x，t）= （x，t）+ （x，t）
其中 （x，t）和 （x，t）代表粒子于时空点x,t的产生、湮灭算符， （x，t）和 （x，t）代表反粒子于时空点x,t的产生、湮灭算符。由于这些算符与时空有关，因此被形象地称为算符场或量子场。为了给这些算符赋予物理意义，它们必须作用于具体的粒子状态上，从而通过它们对于粒子状态的作用来反映它们存在的物理意义。例如，将 （ ）作用于真空态|0>上，我们有：
（ ）|0> = （ ）|0> + （ ）|0> = (x- )
即 （ ）对真空态的作用是于 时刻在位置 处产生一个处于位置局域态的粒子。
真实空间中的粒子产生、湮灭算符（即量子场）也可以在动量空间中展开，并与动量空间中的产生、湮灭算符存在确定的一一对应关系。一般地，这一对应关系对于不同的粒子是不同的，它由粒子的运动方程所包含的粒子的具体性质，如电荷、自旋等决定。对于自旋为零的自由粒子，这一对应关系最为简单，它一般可写为：
（x，t）=
于是，算符场对于时间的依赖关系完全还给了粒子运动，而只剩下动量空间中与时间无关的产生、湮灭算符 (k)和a(k)，从而量子场将自然满足相应的粒子的相对论运动方程。
从量子场于动量空间中的展开形式可以进一步看出，量子场包括两部分物理内容：其一是粒子的动量本征态，它提供单个粒子于真实空间中的运动图象，这一本征态必须通过求解单粒子的相对论运动方程而获得；其二是与时间无关的动量空间中的产生、湮灭算符，通过这些算符的引入可以获得每一个本征态中的粒子数情况。对于粒子的非自由运动情况，这种分解将更为明显。例如，对于非相对论薛定谔场的量子化，我们必须首先求解单粒子薛定谔方程以获得粒子在外势U（x）中可能处于的束缚态完备集，如 ，然后才能将ψ作为算符场并以此完备的正交基态 展开，例如 （x，t）= ，其中所增加的粒子湮灭算符 是为了提取处于各正交基态 中的粒子数信息；另一方面，当粒子在相对论情况下运动时，严格说来，所有相互作用都将通过粒子的产生、湮灭过程来完成，于是外势U（x）的存在只能作为一种近似，从而只有自由粒子的相对论运动方程才严格可解。因此，量子场论中所利用的正交基态就只是平凡的动量本征态。但即使是这样，这些动量本征态也仍然是从粒子的自由相对论运动方程（作为单粒子运动方程）中求得的，它们包含着由粒子的运动方程所决定的粒子的具体性质，如电荷、自旋等。此外，尽管不存在严格的外势U（x）表达式，但仍可以利用粒子运动方程得到越来越接近于实在的粒子运动图象，当然这种精确性必然要求U（x）中包含作为相互作用起源的粒子的产生、湮灭过程。
因此，很明显，量子场的神秘一方面在于粒子的自由相对论运动，另一方面在于由粒子间相互作用所导致的粒子的非自由相对论运动，即粒子的产生和湮灭过程。粒子运动仍然是量子场背后真正的物理实在。在量子场的数学表示中，粒子的自由相对论运动表现为粒子的动量本征态形式，它通过求解粒子的相对论运动方程得到，其中包含了由运动方程所决定的粒子的具体性质；而粒子的产生、湮灭过程则表现为产生、湮灭算符，并且其定义进一步决定了这些产生、湮灭算符之间的非平凡对易关系和反对易关系 ，从而给量子场论提供了所谓的场量子化的核心和基础。对于粒子的自由相对论运动，由于量子场考察相对论情况下的粒子运动，它的存在是自然的，而粒子的产生、湮灭过程的出现同样是自然的，因为在相对论情况下经典场已不复存在，而只有量子化后的粒子，从而粒子之间的局域相互作用就只能通过粒子的产生和吸收来完成。粒子的产生、湮灭过程的存在是粒子作为唯一物质存在形式的一个必然结果，它应被看作是与粒子的自由运动同样基本的运动过程。实际上，粒子的产生、湮灭过程是粒子间相互作用的基元过程，从而在（描述相对论情况下粒子间相互作用的）量子场论中它们以算符形式从一开始就进入理论是可以理解的，而且在某种程度上是必然的。
我们以下图来总结一下量子场论形式体系的内在关系:
直接推广
三维空间中单粒子方程 ----------> 3N维配置空间中多粒子方程
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| 场量子化(算符场变换) |二次量子化(表象变换)
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V 等价 V
量子场论 <----------> 三维空间中粒子数表象
多粒子方程
从这一关系图可以再一次清晰地看出，量子场论方法或算符场方法只不过是利用单粒子理论得到多粒子理论的一种数学方法，它完全等价于从3N维配置空间中的多粒子方程经表象变换而得到的三维空间中的粒子数表象理论。这一结论对于非相对论情况和相对论情况同样适用 。
最后我们指出，量子场论中算符场这一数学形式的引入完全是目前理论形式本身的特点。虽然它一方面反映了相对论情况下所出现的粒子产生、湮灭现象并适于描述多粒子，另一方面又使理论具有简洁性、易操作性等优势，但它很可能不是描述相对论情况下粒子运动的唯一可能的数学形式，而且它本身也决不是什么新的物质场存在形式 。
[评注] 关于二次量子化与场量子化的说明
量子场论中的二次量子化与量子力学中的一次量子化具有本质上的不同。前者是一种表象变换，即由多维配置空间表象到三维空间粒子数表象的变换，它完成了由单粒子理论到多粒子理论的巧妙过渡。Fock空间表述和产生、湮灭算符的定义决定了二次量子化的核心---粒子产生、湮灭算符之间的对易关系或反对易关系；而后者起源于粒子非相对论运动的固有本性，这种本性决定了一次量子化的核心---粒子位置、动量算符之间的对易关系。因此，根据量子化的物理意义二次量子化这一名称是不正确的。
量子场论中场量子化的提法同样是一个错误，因为根本就不存在场，而只有粒子这种唯一的物质存在形式。量子场论本质上是关于多粒子的相对论运动理论。场量子化提法的另一错误在于它根本不能称为量子化，因为所引入的场算符根本不是可观察量，而且它们之间的对易关系与位置、动量之间的对易关系根本不同。前者来自于产生、湮灭算符之间的代数关系（不包含普朗克常数h），后者来自于粒子运动的固有本性（包含普朗克常数h）。它们之间的相似性只是由对易关系所导致的形式上的相似性，况且反对易关系根本没有量子化对应。 |
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发表于 2005-11-19 11:51:45
发表于 2005-11-19 13:03:57
