没事的进来证明一道题，有奖

oliven

与其瞎扯，还不如做一道题，动动脑筋，题目如下：

任意给出七个数（∈R），求证其中至少有两个数x，y满足0≤(x-y)/(1+xy)≤3/5

第一个给出正确答案者有奖。

wxw786

哇，感觉好难，无从下手

wxw786

思路：反证法，
正在努力中。。。

oliven

给出思考全过程并最终正确证明的至少奖10金币

wxw786

证 联想两角差的正切公式，可将7个实数表示成:tanβ1,tanβ2,tanβ3,tanβ4,tanβ5,tanβ6,tanβ7.且不妨设
-π/2<β1≤β2≤β3≤β4≤β5≤β6≤β7<π/2，
将区间(-π/2,π/2)分成6个子区间(-π/2,-π/3],(-π/3,-π/6],(-π/6,0],(0,π/6],(π/6,π/3],(π/3,π/2),
根据抽屉原理，上述7个βi中必有某两个数在同一个子区间。
不妨设βj,β(j+1)在同一个子区间内(1≤j≤6)，
因为 0≤β(j+1)-βj≤π/6.
则 0≤tan[β(j+1)-βj]≤tan(π/6)=1/√3. <3/5
即 0≤(x-y)/(1+xy)≤3/5。证毕。

guojiang

4楼正解，鸽笼原理，楼主搞竞赛的么？组合里常见的题目。

gaokaobsd

太牛了！wxw786兄厉害呀！

zy420821

引用第4楼wxw786于2013-03-11 19:33发表的 :
证 联想两角差的正切公式，可将7个实数表示成:tanβ1,tanβ2,tanβ3,tanβ4,tanβ5,tanβ6,tanβ7.且不妨设
-π/2<β1≤β2≤β3≤β4≤β5≤β6≤β7<π/2，
将区间(-π/2,π/2)分成6个子区间(-π/2,-π/3],(-π/3,-π/6],(-π/6,0],(0,π/6],(π/6,π/3],(π/3,π/2),
根据抽屉原理，上述7个βi中必有某两个数在同一个子区间。
不妨设βj,β(j+1)在同一个子区间内(1≤j≤6)，
.......

有难度，不容易有思路，学习了！

bhginc

碉堡了