几个搞脑筋的概率问题

威望

“弦长”问题在于“随意性”。我仅举不同的“随意”一例。

指舞如歌

引用第17楼澹台秋水于2009-03-23 22:15发表的 :
呵呵，我知道主持人事先知道车的位置和不知道有区别，但是问题在于这道题目虽然主持人不知道，但是事实上却打开了一道有羊的门，这个事实也是不容忽视的，在这个前提下，最后一道门有车的概率就是2/3。因为在这种情形下，车子只能在第一道门和最后一道门二者之间，而第一道门后面有车的概率是1/3不可能因为主持人后来的行为而改变，那么车子在剩下那道门的概率就是2/3。

至于弦长的问题，目前我还是觉得我的推断是对的

澹台兄，关于车羊问题，当主持人随机第拉开一扇门并且偶然第发现其中是一只羊时，另外两扇门后有车的概率都上升为1/2。这里的关键在于，你假定了“第一道门后面有车的概率是1/3不可能因为主持人后来的行为而改变”，这是需要证明的。你所依据的是直观，而另一个人可能有不同的直观。根据贝叶斯公式可以验证，当主持人随机第拉开一扇门并且偶然第发现其中是一只羊时，另外第一扇门后有车的概率（后验概率）上升为1/2。

关于弦长的问题，威望兄在20楼给出了两个非常精妙的例子。我可以给出第三个：

在圆中任选一点X，这个点落在以O为圆心、以OE为半径的圆内部的概率为3/4。连接OX，做一条与OX垂直的弦，则有如下结论：弦长符合要求，当且仅当，X落在以OE为半径的圆内。因此，答案是3/4。

澹台秋水

问题是楼上的第2种推理方式的等价命题应该是：任意在圆内选一点作为弦的中点，这些弦长大于半径的概率

可是仔细想一下，会发现圆内的点的分布并不是均匀的（和在圆周上的分布是均匀的截然不同）：越靠近圆心，点的数量应该越小，到圆心后缩小为1个点
所以基于这种假设，C点（弦中点）的分布并不是均匀分布的

指舞如歌

引用第22楼澹台秋水于2009-03-24 11:06发表的 :
问题是楼上的第2种推理方式的等价命题应该是：任意在圆内选一点作为弦的中点，这些弦长大于半径的概率

可是仔细想一下，会发现圆内的点的分布并不是均匀的（和在圆周上的分布是均匀的截然不同）：越靠近圆心，点的数量应该越小，到圆心后缩小为1个点
所以基于这种假设，C点（弦中点）的分布并不是均匀分布的

呵呵，澹台兄，这三种解法可以说都是“正确的”，当然，也可以说都是“错误的”。如果其中一种解法有纰漏，那么在其他两种解法中也有类似问题。

如澹台兄所言，“C点（弦中点）的分布并不是均匀分布的”，即使这个判断是正确的，澹台兄如何能够证明B点（弦的终点）在圆周上的分布是均匀的？

aliern

不参与了。。。

威望

“弦长问题”可表述如下：
x在区间(a,b]上满足均匀分布，函数f(x)∈(0,1]，请问f(x)∈(0,c]的概率是多少？


1.澹台秋水的解法：
x在区间(0,π/2]上满足均匀分布，函数f(x)＝sin(x)∈(0,1]，请问f(x)∈(0,√3/2]的概率是多少？

f(x)∈(0,√3/2]对应的x∈(0,π/3]，而x在区间(0,π/2]上满足均匀分布，当然f(x)∈(0,√3/2]的概率为2/3。



2.我在20楼的解法：
x在区间(0,π/2]上满足均匀分布，函数f(x)＝2x/π∈(0,1]，请问f(x)∈(0,√3/2]的概率是多少？

f(x)∈(0,√3/2]对应的x∈(0,π√3/4]，而x在区间(0,π/2]上满足均匀分布，当然f(x)∈(0,√3/2]的概率为√3/2。


3.指舞如歌在21楼的解法：
x在区间(0,π/2]上满足均匀分布，函数f(x)＝√(2x/π)∈(0,1]，请问f(x)∈(0,√3/2]的概率是多少？

f(x)∈(0,√3/2]对应的x∈(0,3π/8]，而x在区间(0,π/2]上满足均匀分布，当然f(x)∈(0,√3/2]的概率为3/4。


4.还有很多解法，也会有很多答案，只要你取满足f(x)∈(0,1]的函数f(x)。
问题的答案会因为你的函数取的不同而不一样，你无法说我的答案是错的，正如我无法说你的答案是错的一样。

killl

被这个问题弄糊涂了，已知某家2个孩子中1个是女孩，请问另1个孩子是女孩的几率为多少？

打岔

弦长问题，早些年一本概率书中列过三种解法，但结果不同。该 书的结论是，题目应该给出更加明确的限制才能有唯一答案，否则就只好大家都对。

记不得哪本书了，印象中是一本较为普及的概率书。

xhzykyb

如果是两个蓝球和一个红球。你随机拿出一个，主持人拿出一个是蓝色的。那么你拿到红色的概率是多少。
开始的时候是1/3.当主持人拿出一个之后，你该与不改，都是1/2，我想这是类似的。
薛定谔的那只猫。

指舞如歌

引用第28楼xhzykyb于2009-03-30 10:24发表的 :
如果是两个蓝球和一个红球。你随机拿出一个，主持人拿出一个是蓝色的。那么你拿到红色的概率是多少。
开始的时候是1/3.当主持人拿出一个之后，你该与不改，都是1/2，我想这是类似的。
薛定谔的那只猫。

xhzykyb兄，你说的这个问题等价于主持人不知道车的位置、随机地拉开一扇门并发现其中有羊的情况。

如果主持人事先知道车的位置，则构成完全不同的问题。

我曾经反复琢磨这些问题，越想越发懵，越想越糊涂，后来突然明白一个道理：只有根据贝叶斯公式得出的结论才是可靠结论；根据其他思路得出的答案，即使是正确的，也不过是碰巧正确。

cheming

引用第0楼指舞如歌于2009-03-22 14:10发表的 几个搞脑筋的概率问题 :
玛丽莲问题是一个脍炙人口的问题，特别适合用来证明“概率论是一个潜流汹涌的领域”。

在概率论中，有许多类似的问题。比较简单的一个：我有两个孩子，已知其中一个是男孩，问另一个孩子也是男孩的概率是多少？
.......

是1/2吧？

指舞如歌

引用第30楼cheming于2009-03-30 17:07发表的 :


是1/2吧？

没错。车大侠正解。

醉乡常客

第二个孩子是男孩的几率与第一个是不是男孩无关，和扔硬币一样的。

不过，打牌也是同类问题，手气这玩艺却似乎很难进行科学分析。我一般是从生理、心理等方面找原因。

指舞如歌

引用第32楼醉乡常客于2009-03-30 19:57发表的 :
第二个孩子是男孩的几率与第一个是不是男孩无关，和扔硬币一样的。

不过，打牌也是同类问题，手气这玩艺却似乎很难进行科学分析。我一般是从生理、心理等方面找原因。

呵呵，醉兄，这道题的表述大有学问——稍作变化，答案就会不同。

按照醉兄的表述，“第二个孩子是男孩的几率与第一个是不是男孩无关，和扔硬币一样的。”答案确实是1/2。

然而，原题的表述并没有说“第一个孩子”和“第二个孩子”，这就构成根本性的差别。如果根本不提“第一个”和“第二个”，而是说“已知其中一个”，答案不是1/2。

很搞脑筋滴

cheming

引用第33楼指舞如歌于2009-03-30 23:56发表的 :


然而，原题的表述并没有说“第一个孩子”和“第二个孩子”，这就构成根本性的差别。如果根本不提“第一个”和“第二个”，而是说“已知其中一个”，答案不是1/2。
.......

愿闻其详。

威望

引用第34楼cheming于2009-03-31 08:49发表的 :



愿闻其详。

两个孩子的样本空间只能是（4种情况）：
A 男 男 女 女
B 男 女 男 女

其中一个是男孩的空间是（3种情况）：
A 男 男 女
B 男 女 男

那么在这三种情况中，一人为男，另一人也为男的只有以下一种情况：

A 男
B 男

因此“我有两个孩子，已知其中一个是男孩，问另一个孩子也是男孩的概率”是1/3。

hpudqx

样本空间的各个样本是等概的吗？

指舞如歌

引用第36楼hpudqx于2009-03-31 09:23发表的 :
样本空间的各个样本是等概的吗？

威望兄的分析非常清晰。

样本空间的三个样本是等概率的，第四个样本（两个女孩的情况）概率是0。hpudqx兄的问题等价于以下问题：在贝叶斯公式右侧的分母中，每一个先验概率的系数是否相等？这四个系数的值分别是1、1、1、0，是根据它们对应的直观含义得出的。

用A、B、C、D分别表示“老大老二都是男孩”、“老大是男孩而老二是女孩”、“老大是女孩而老二是男孩”、“老大老二都是女孩”。每个命题为真的先验概率为1/4。

用K表示“有一个孩子是男孩”。欲求的概率是“在已知有一个孩子是男孩的条件下，老大老二都是男孩的概率”，用P（A|K）表示这个后验概率。

用P（K|A）、P（K|B）、P（K|C）、P（K|D）分别表示：
“在已知老大老二都是男孩的情况下，有一个孩子是男孩的概率”
“在已知老大是男孩而老二是女孩的情况下，有一个孩子是男孩的概率”
“在已知老大是女孩而老二是男孩的情况下，有一个孩子是男孩的概率”
“在已知老大老二都是女孩的情况下，有一个孩子是男孩的概率”

这是最关键的一步，hpudqx兄的问题（样本空间的各个样本是等概率的吗？）就是在这个步骤中回答的。通过对语句的直观含义的分析，可以看出，前三个值是1，而最后一个值是0。这是因为，在前三种已知条件下，“有一个孩子是男孩”是必然被满足的，而在第四种已知条件下，“有一个孩子是男孩”是必然不被满足的。

然后代入贝叶斯公式，

P（A|K）=P（K|A）P（A）/（P（K|A）P（A）+ P（K|B）P（B）+ P（K|C）P（C）+ P（K|D）P（D））=1/3。

回到最初的问题：样本空间的各个样本是等概率的吗？所谓的样本空间由ABCD四个命题构成。最初（在不知道K命题的真假以前）这四个命题为真的概率都是1/4，但是知道了K为真以后，这四个命题对应的概率发生了变化，这个变化是通过上述公式右侧分母中的四个系数【即P（K|A）、P（K|B）、P（K|C）、P（K|D）】反映出来的。追问“样本空间的各个样本是否等概率”，等价于追问这四个系数中的前三个是否相等。这是因为，在上述公式中，四个先验概率值【P（A）、P（B）、P（C）、P（D）】相等，所以公式可以简化为

P（A|K）=P（K|A）/（P（K|A）+ P（K|B）+ P（K|C）+ P（K|D））。

这个公式只与四个系数有关。

以上分析同样适用于车羊问题。

gaokaobsd

引用第0楼指舞如歌于2009-03-22 14:10发表的 几个搞脑筋的概率问题 :


假定主持人并不知道汽车的位置，他随机地拉开一扇 ，并且发现后面是一只山羊。问题是：你是否应当改变最初的选择？

所以为1/3，因为可以当主持人不存在。

主持人的举动并不影响最后得到车的可能性。

而之所以小于公认的1/2，是因为很有可能主持人开门后就是一辆车。

正是这种情况导致了中奖概率的降低。

假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门（A、B、C）中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是A，然后主持人——他知道汽车的位置——拉开了另一扇门，假设是C。你明明白白地看到，C后面是山羊。现在主持人告诉你：你有权重新选择，放弃A而选择B。问题是：你是否应当改变最初的选择？

概率1/2，因为他知道哪有车。

如果你选的不是车，他必定开剩下那个山羊的门。概率1/3。
而如果你选的是车，他可以随便开剩下的任何一个门。你可以选择换或不换。概率1/3*1/2=1/6

根据加法原理
1/3+1/6=1/2




所以重点就在于主持人到底知不知道车在哪里。

只是个人见解，欢迎大家讨论。

joen

引用第37楼指舞如歌于2009-03-31 12:52发表的 :


威望兄的分析非常清晰。

样本空间的三个样本是等概率的，第四个样本（两个女孩的情况）概率是0。hpudqx兄的问题等价于以下问题：在贝叶斯公式右侧的分母中，每一个先验概率的系数是否相等？这四个系数的值分别是1、1、1、0，是根据它们对应的直观含义得出的。
.......

其实也就是组合概率和排列概率的问题的不同！