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发表于 2007-12-17 19:48:25
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大家如此渴望数学解法(这里可以理解为更简洁的方法),我就转一帖:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换:
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1 //我觉得应该把这句去掉,去掉后才是(n-1)个人
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:
令f[j]表示j个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]。
递推公式
f[1]=0
f[j]=(f[j-1]+m)%j (j>1)
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[j]的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1。
递推公式都出来了,不必写代码了。
这样是不是简单很多? |
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