一个简单液压系统的状态方程

krttg

系统如图所示
右边是恒压源(大概为60MPa)，左边是密封的，刚开始时，压力为0，流体压缩公式为
ΔV= V ·β· Δp  (β为水的压缩率，约为0.420×10 - 9m2/ N)，
中间的阀是用步进电机控制的节流阀，可调节开口度的大小。节流阀的公式为
Q=CA根号下(P1-P2),   C为阀的系数，A为节流阀开口面积，P1为恒压源压力=60MPa，P2为左端系统压力。
请教各位高手，这个系统的状态方程、方块图及传递函数是怎么样的？
如果用功率键合图建模，可能更快。

就两个方程，我却在里面绕不出来，第二个方程不知如何变为微分方程，请各位高手指点。

bookish

左端原来不应该是真空吧。

设左端原来充满水，体积为 V，绝对压力为 p，开始时 p = p0。右端压力恒为 p1. r 为水的密度。

质量流量公式应写成：G = C*A*sqrt(r1*(p1 - p)) (kg/s)，其中 C 无量纲。

设 b 为常数。

先求得 r 和 p 的关系，再根据质量守恒建立左端质量随时间的变化的微分方程，然后把流量公式代入。

不知对不对？

krttg

引用第1楼bookish于2007-02-11 11:16发表的“”:
左端原来不应该是真空吧。

设左端原来充满水，体积为 V，绝对压力为 p，开始时 p = p0。右端压力恒为 p1. r 为水的密度。

质量流量公式应写成：G = C*A*sqrt(r1*(p1 - p)) (kg/s)，其中 C 无量纲。
.......

谢谢 book兄的关注
左端开始时不是真空，是充满水的，开始压力为一个大气压。在行内，分析时，往往把一个大气压当成0来看待。
左端不用这么麻烦，已经给出微分方程了。
关键是通过阀的流量方程。因为此阀不是调速阀(找不到在60MPa水压下可用的)，阀两端的压力差是不断变化的，即左端的压力在不端的变化，从而引起Q也是不断变化的。
△V=Q△t，就是你所说的质量守恒方程。
但这个方程中，Q是不断变化的，只有在△t为很小的情况，即微分的思想下，才是成立的。

Q的变化，引起△V的变化，引起△P的变化，引起P2的变化，引起Q的变化。
我就在这圈子里面绕不出来了。

bookish

dV= - V * β * dp，等式两边除以质量，得，

dv = - v * β * dp

v 为比容 (m3/kg), v = 1 / ρ，得，

dρ = β * ρ * dp，dρ / ρ = β * dp，设 β 为常数，当 p = p0 时 ρ = ρ0，积分得，

ρ = ρ0 * exp(β * (p - p0))

设左侧体积为 V，压力为 p，开始时 p = p0，ρ = ρ0；右侧压力恒为 p1，密度为 ρ1，

当阀门打开时，质量流量 G = C * A * sqrt(ρ1 * (p1 - p))  (kg/s)

dt 时间里流入左侧的质量为 G * dt，它等于左侧质量的增加，

dm = G * dt

由于左侧体积不变，所以，m = V * ρ，

dm = V * dρ = V * β * ρ * dp

V * β * ρ * dp = C * A * sqrt(ρ1 * (p1 - p)) * dt

这就得到了压力随时间变化的微分方程，

V * β * ρ / sqrt(ρ1 * (p1 - p)) * dp = C * A * dt

其中，ρ = ρ0 * exp(β * (p - p0))

密度随压力变化也可以线性处理，ρ = ρ0 * (1 + β * (p - p0))，由于液体压缩性很小，甚至可以取 ρ = ρ0，这时，

dp / dt = C * A * sqrt(ρ1 * (p1 - p)) / (V * β * ρ0)

上述推导是从热力学角度分析的，即假定系统（左侧）处于准平衡态，始终处于力的平衡，只适用于缓慢过程。不知能否用在krttg兄的问题中，反正供参考。

krttg

book兄将问题推导到另一个方向了。
在工程上，已经给出了方程，就不需要这么复杂的分析的。一般是从力平衡，流量或质量守恒的角度出发来考虑就行了。
系统得到了微分方程或方程组，然后才进行传递函数的推导。
个人觉得book兄的推导是错误的。错误就在于引入了ρ(其实应该不用这么分析的)。因水平有限，只能给出下面的理由：
如果ρ = ρ0，这样取的话，将意味着这个主题讨论是不可行的。因为这表明左端的压缩为0。
而ρ = ρ0 * exp(β * (p - p0))，这里的p也是问题中我绕不出来的。
dp / dt = C * A * sqrt(ρ1 * (p1 - p)) / (V * β * ρ0)，见这个公式里面的P，是影响系统非线性变化的因素，也是问题的所在。
其实我认为book兄把问题复杂化之后，还是绕回了原来的地方。

bookish

另一种分析方法。

考虑到水的压缩性很小，因此，当密度是以密度差的形式出现时，那么就不能把密度作为常数，而其他情况下，水的密度可以作为常数，取它的变化范围的平均值。

根据这一假定，设在 t 时刻，左边的流体体积为 V, 压力为 p, 取此时左边的流体为控制体，dt 时间里，由于左端入口有流体流入，控制体体积就会变小，变小量为 dV, 控制体的压力也会上升 dp。控制体体积变小后，右端就要有相应的流体流入添补空缺，于是，

dV = Q * dt = C * A * sqrt((p1 - p) / ρ) * dt

但

dV = β * V * dp (这里 beta 就反映了液体密度的变化, β = (1 / ρ) * (dρ / dp) )

代入上式，就得到了 dp/dt.

bookish

设左端压力初始值为 p0,

dp / dt = C * A * sqrt(p1 - p) / (V * β * sqrt(ρ))

dp / sqrt(p1 - p) = C * A * dt / (V * β * sqrt(ρ))

积分后可得，

p = p1 - (sqrt(p1 - p0) - C * A * t / (2 * V * β * sqrt(ρ)))^2

当 t = 2 * V * β * sqrt(ρ * (p1 - p0)) / (C * A) 时，左端压力达到 p1.

krttg

谢谢book兄。
按兄的思路，把那两个方程组成方程组，解一下，就可以了,不需要变得这么复杂，呵呵。
但接下来也不知怎么进行拉斯变换，得出状态方程，进而得出传递函数。