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几何画板探索数学美
彭翕成
在平常的数学教学中，学生始终觉得所谓的“趣味数学”太单调、枯燥，对数学学习没有太多的兴趣。很多学生花大量时间在数学做题上，但是效果却没有因此而提高，这不能不让人失望。实际上，数学是有趣的也是美的，正如美国数学家克莱因对数学美作过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。”无数实践证明，数学美对于人们进行数学创造具有重要意义。数学美的形式多样，有对称之美、和谐之美、奇异之美。这些“数学之美”在教学过程中是否得到充分的体现呢？答案是否定的。
教师被人们誉为\"真的使者,善的产物,美的化身\",有责任有义务去挖掘蕴藏于数学之中的美的因素,引导学生注意对数学美的欣赏,适时恰当地进行美育,增强学习兴趣,提高数学能力,这在全社会呼唤素质教育的今天,更显得紧迫切重要。如何改变现状，应该引起我们的反思。几何画板作为目前使用最为广泛的数学教学软件，能在动态中保持几何不变性，揭示数学的本质；能创造出很多美好的数学图形，具有很强的欣赏性；同时对创新数学教学，提高学生思维有很大帮助。
一：运动中方圆互变，展现曲线美
笔者曾经在一次探索数学美的课堂上，教同学们做下面的一个图形。
1：先作一个正方形ABCD，然后在AB上取点E;
2：以点B为圆心,AE为半径作圆,与线段BC交于点F,隐藏圆。
3: 依次选中A,B,在[变换]菜单中选择迭代,使得AE, BF,
并增加迭代次数到20(图1)。
4: 隐藏直线条,得到图2。
图1 图 2
同学们看到这里时,觉得很奇妙,很神奇,甚至有点不可思议:原来作的是正方形,最后迭代得到的竟然是曲线轨迹。这不正是中国古代哲学所讲的“方圆兼备”么? 这不正是微积分里所讲的“曲直互变”么?我看到同学们来了兴致,顺便把“四龟问题”,“等角螺线”等课外故事给同学们补充了,同学们更来劲了,纷纷表示要自己操作一下!
下面两个图就是他们的作品,将正四边形推广到正五边形和正六边形。
图 3 图 4
二：迭代中暗藏规则，展现简单美
所谓迭代,迭指的是多次,代指的是替换,迭代就是指一个动作或操作重复多次。从数学 角度出发，我们可以使用迭代创建重复的变换，产生分形（即和自身类似的对象或一序列图形）。 笔者曾利用几何画板的迭代功能制作出下面两个奇妙的图形。
图 5 图 6
重复的简单图形可以组合出奇妙的复杂图形。对于一般的十字架，很多人看了肯定没有什么感觉，但是由当大大小小的十字架组合成一片生动活泼的雪花时（图5）,却不能不让人惊叹了。三角形,平行四边形也都是一些常见图形,但如果这两种图形像(图6)一样排列组合时,立刻就体现出一种结构的和谐、布局的合理。当然，这些图形在让人感觉到一种视觉享受的同时，也能够激发学生一种创造、发明的欲望。学生看后，对几何画板的作图功能感到十分好奇，第一次感到数学也能这样“漂亮”。很多学生在学会了迭代功能后，不断地去尝试得到新的图形。
下面是笔者在自我摸索中所创作出一个图形。看起来是不是很像一片树叶啊?看起来结构很复杂,但只要你明白了其中的规律,构造起来也是很简单的,只需几步,作法如下:
1：先作点A，度量横纵坐标 。
2：作两次仿射变换得到两点坐标,并据此绘制点B,C。
3:选中点A,在[变换]菜单中选择迭代,使得AB, AC,迭代次数为16次
4:适当调整单位距离和点A的位置,就可以得到图7。
图 7 图 8
三：函数中构造轨迹，展现自然美
数学之所以被某些人称为“枯燥的数字游戏”，是因为尽管数学图像千变万化，但学生平时学习的只是其中最简单的基本图形，当然没有兴趣可言。正如著名数学家分形几何的创始人芒德勃罗所说：“为什么几何学常常被说成是‘冷酷无情’和‘枯燥乏味’的?原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传播的 ……数学家不能回避这些大自然提出的问题 。”所以我觉得在学习之余,应该通过几何画板来发挥学生的创造力和想像力,因为这是传统数学所欠缺的，同时还能借此机会学习一些其他科学知识，对学习数学也是有益的。
我常对我的学生说, “上帝是数学家,唯一能够描述宇宙的语言是数学!这个世界的每个图形都能用数学函数来绘制。”有些学生根本不相信，他们认为高中数学中就这么几种函数，还能变出个啥。在学生们好奇的注视下，我利用几何画板的“绘制函数”和“构造轨迹”两大功能,当场绘制了图8,9,10三个图形,顿时整个教室的学生发出了惊喜异常的尖叫。谁也不能想像平时所学的函数,轨迹等“枯燥的数学知识”竟然如此有味，这些图形在学生们的印象中只有美术老师手里才能描绘。其实,自然界的万事万物都是息息相关，学生认为很枯燥的数学知识竟然也能和很好看的事物联系起来，这又有什么觉得奇怪的呢？当然，我们利用几何画板绘制这样的图形，并不是简单地为了找出些好看的图形，更重要的是通过这些图形的制作，启迪学生感受到数学与生活是紧密联系的,数学与大自然是紧密联系的。正因为数学领域中存在着太多的与我们密不可分的神奇事物，让学生更有兴趣去深入探索，而几何画板又为我们的学习提供了一把探究的金钥匙，成为我们探索真理、追寻事实的工具，对于学生解决问题起着不寻常的作用。
图 9 图 10
古代数学家普洛克拉斯说过:“哪里有数,哪里就有美。”近代数学家徐利治认为：“数学教学的目的之一是使学生获得对数学的审美能力，即能增进学生对数学美的主观感受能力。”我们用几何画板数学教学软件做出这么多漂亮的图形不仅仅要让学生体会到数学的美，更重要的是利用几何画板通过数学美的教育，努力实现这样的目的 1)寓美于教，激发学生的学习兴趣；（2）通过数学美培养学生创造、发明数学的激情；（3）数学美感能达到以美启智，提高学生解决问题的能力。也许几何画板能带给学生的还远远不止这些，我们老师应该做一个引路人，带领学生不断地探索神奇的数学世界，去挖掘数学美、创造数学美、会将美学原理应用于解题实践，形成对数学美的规律性认识，再用这些规律去猜想、去探索、去发现、去分析解决数学问题。
本文发表于《中国电脑教育报》第670期 |
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发表于 2006-11-17 18:41:06
发表于 2006-11-18 03:25:37