数学高手请进  请教

yuanjh

设函数y＝f(x)定义域为R，且对任意的x∈R都有
　　　　2f(x^2＋x)＋f(x^2－3x＋2)＝9x^2－3x－6，
求f(60)的值．

（这是个大题，不能用特殊函数法，如：不管三七二十一，设f(x)为某类函数）


谢谢。

水天

按等式右边得项，结合左边的自变量，f(x)应该是个一次函数啊

我是直接设f(x)=ax+b  

f(60)=174不知道对不对啊

绝版孙悟空

由2f(x^2+x)+f(x^2-3x+2)=9x^2-3x-6
可得:
2f(x^2+x)+f[(1-x)^2+(1-x)]=9x^2-3x-6
令x=1/2+t,
可得:
2f[(1/2+t)^2+(1/2+t)]+f[(1/2-t)^2+(1/2-t)]=9(1/2+t)^2-3(1/2+t)-6
用-t替换t,
可得:
2f[(1/2-t)^2+(1/2-t)]+f[(1/2+t)^2+(1/2+t)]=9(1/2-t)^2-3(1/2-t)-6
上面两式相加,整理后得:
f[(1/2+t)^2+(1/2+t)]+f[(1/2-t)^2+(1/2-t)=6t^2-7/2
而
6t^2-7/2=3[(1/2+t)^2+(1/2+t)-4/3]+3[(1/2-t)^2+(1/2-t)-4/3]
所以
f(x)=3(x-4/3)=3x-4
最后,可得:
f(60)=176.

http://zhidao.baidu.com/question/254690708.html

juster

不是正在学的和正在教的，估计会的不多啊

wuwenfu

x^2+x=60
2f(60)+f(62-4x)=540-12x-6
x=1/2
2f(60)+f(60)=540-6-6
3f(60)=540-6-6
f(60)=540/3-6/3-6/3=180-2-2=176

绝版孙悟空

引用第4楼wuwenfu于2011-04-27 20:13发表的 :
x^2+x=60
2f(60)+f(62-4x)=540-12x-6
x=1/2
2f(60)+f(60)=540-6-6
3f(60)=540-6-6
.......

虽然结论是正确的，但是过程我有些疑问
第一步，x^2+x=60，这时x应该就是一个确定的数，
而第三步的时候又令x=1/2，是不是有自相矛盾的地方？

aazz1122

楼上2位是高手啊！！佩服！！

一往无前

如果这样的题目是出于娱乐的目的出的，那没什么好说的。

如果这题目（限定不能用f(x)=ax+b这种方法）是老师出给学生做的。那如果我是那校长，一定把这个出题的老师打发去扫厕所，如果是学生家长，那一定投诉到校长那里，建议校长让这老师去扫厕所。因为扫厕所至少算做了有益的事，比害人好。（爱迪生实验室那位绞尽脑汁想用微积分方法得到白帜灯泡容积的年轻助手大概是这样的老师培养出来的“高材生”。）

如果这题目没有解法限制，有学生用了2楼的思路。那我的结论是这孩子中毒已很深（比如从社会上各种“小学/初中奥数”班等场所处）。如果不及时脱毒。那当他（她）毕业后，如果只能找着扫厕所类的工作，那是一点也不奇怪的。

引用第5楼绝版孙悟空于2011-04-27 20:18发表的 :


虽然结论是正确的，但是过程我有些疑问
第一步，x^2+x=60，这时x应该就是一个确定的数，
而第三步的时候又令x=1/2，是不是有自相矛盾的地方？

我是这样理解的：

x为任意值时，那个关系式都能被满足。

所以，无论是第一步x^2+x=60时，还是第三步x＝1/2时，都能自由使用题给的那个函数关系式。

应用x^2+x=60，得出了2f(60)+f(62-4x)=540-12x-6
此式成立的条件，x可以为任意值，并非只有x^2+x=60时的x的值。

所以，接下来自然可以令x=1/2，从而求出了f（60）

yuanjh

谢谢诸位。
悟空给出的答案是正确的，它也唤醒了沉在我脑子里的这个方法！

由此，我对之加以改进，得出了最终答案。

1994

2f(x^2＋x)＋f(x^2－3x＋2)＝9x^2－3x－6
9x^2－3x－6=6(x^2+x)+3(x^2-3x+2)-(8+4)=2{3[(x^2+x)-4]}+[3(x^2-3x+2)-4]
f(x)=3x-4
f(60)=180-4=176

军军

引用第2楼绝版孙悟空于2011-04-27 20:03发表的 :
由2f(x^2+x)+f(x^2-3x+2)=9x^2-3x-6
可得:
2f(x^2+x)+f[(1-x)^2+(1-x)]=9x^2-3x-6
令x=1/2+t,
可得:
.......

悟空兄是老师啊

xcaogu

注意到抛物线y = x^2＋x与y = x^2－3x＋2的图像关于x = 1/2对称，则他们与y = 60的4个交点，也关于x = 1/2分别两两对称。过其中一组对称交点的垂直线，分别与另一抛物线交点的y值，由于图像的对称，也是相同的。因此将一组对称交点的x值带入题中等式后，得到的两个方程有且只有两个f(x0)形式的未知数，其中一个为f(60)，解一个二元一次方程组就可以得到f(60)了。

小兵

这个是高考题？

现在这高中数学也太搞了吧

killl

现在的高考了不得，幸亏不用再考了，否则一塌糊涂

xcaogu

再对这道题说几句。前面得到f(x)=3x-4解析式的同学的解法都有问题。事实上，由于题中的等式中的x∈R，f(x)的定义域也为R，而y=x^2+x和y=x^2-3x+2的最小值都是-1/4，由题中的等式，不可能得到取值在x<-1/4的f(x)，因此不可能得到f(x)在整个R上的解析式。或者说当x>=-1/4，f(x)=3x-4可由题中条件得出，但当x<-1/4时，f(x)可被定义成任意形式（比如一个分段函数，x<-1/4时，f(x)=0；x>=-1/4，f(x)=3x-4）。
这道题的考点应该是一元二次方程和二元一次方程组的解题方法，对抛物线图像的理解和（或）函数的定义域、值域。

幻影

引用第15楼xcaogu于2011-05-02 15:00发表的 :
再对这道题说几句。前面得到f(x)=3x-4解析式的同学的解法都有问题。事实上，由于题中的等式中的x∈R，f(x)的定义域也为R，而y=x^2+x和y=x^2-3x+2的最小值都是-1/4，由题中的等式，不可能得到取值在x<-1/4的f(x)，因此不可能得到f(x)在整个R上的解析式。或者说当x>=-1/4，f(x)=3x-4可由题中条件得出，但当x<-1/4时，f(x)可被定义成任意形式（比如一个分段函数，x<-1/4时，f(x)=0；x>=-1/4，f(x)=3x-4）。
这道题的考点应该是一元二次方程和二元一次方程组的解题方法，对抛物线图像的理解和（或）函数的定义域、值域。

高手，言之有理

解：观察题目知x=-2,0,1,2时均出现f(0),代入函数得到：
2f(0)+f(2)=-6
2f(0)+f(6)=6
2f(3)+f(0)=0
2f(6)+f(0)=24

由以上四式可以得出：
f(0)=-4
f(2)=2
f(3)=2
f(6)=14

当x=3时，2f(12)+f(2)=3(x-1)(3x+2)=3*2*11=66