[深海活动]★★★逻辑思维类问题连连看★★★

1994

28
甲乙丙三人用手枪进行决斗。甲的命中率是30％，乙的命中率是50％，丙命中率是100％。由于这个显而易见的事实，为公平起见，他们决定按这样的顺序：甲先开枪，乙第二，丙最后。然后这样循环，直到他们只剩下一个人。那么这三个人中谁活下来的机会最大呢？他们都应该采取什么样的策略？

speary

甲第一轮放空枪，因为如果他打死乙，必被丙打死，如果他打死丙，跟乙打也处于劣势，所以要借刀杀人。
乙第一轮打丙，否则他必被丙打死。
如果丙不死，必杀乙，因为乙威胁更大。

所以现在第一轮过后存在两种情况：
乙打死丙概率0.5，剩余甲乙
乙没打死丙概率0.5，此种情况下丙必打死乙，剩余甲丙

现在讨论第二轮：
对于剩余甲乙的情况：
甲存活的概率=0.3+(1-0.3)(1-0.5)×0.3+(1-0.3)^2×(1-0.5)^2×0.3+... ...等比数列
因为包括甲一枪打死乙，甲乙均失手一枪甲再打死乙，甲乙均失手2枪甲再打死乙... ...
上述等比数列算得=0.3×1/（1-0.35）=6/13
乙存活的概率=0.7×0.5+0.7×0.5×(1-0.3)(1-0.5)+0.7×0.5×(1-0.3)^2×(1-0.5)^2+... ...类似上式的等比数列
对应甲失一枪概率×乙一枪打死甲的概率，甲失一枪乙甲又各失一枪后乙一枪打死甲的概率... ...
上述等比数列算得=0.35×1/(1-0.35)=7/13

对于剩余甲丙的情况
甲存活概率=0.3，因为没打中甲就必死
丙存活概率=0.7，因为甲没打中，丙一定干掉甲

综上所述，结合两轮概率：
甲存活的概率=0.5×6/13+0.5×0.3=3/13+0.15=0.38
乙存活概率=0.5×7/13=0.27
丙存活概率=0.5×0.7=0.35

所以甲存活概率最大

1994

引用第221楼speary于2009-08-14 11:13发表的 :
甲第一轮放空枪，因为如果他打死乙，必被丙打死，如果他打死丙，跟乙打也处于劣势，所以要借刀杀人。
乙第一轮打丙，否则他必被丙打死。
如果丙不死，必杀乙，因为乙威胁更大。

所以现在第一轮过后存在两种情况：
.......

正确

speary

第29题：

已知m,n是1～30中的两个自然数，A知道m*n的值，B知道m+n的值。A说“我不知道这两个数是什么，你知道这两个数是什么么”？B说“不知道”。于是A说“我知道两个数是什么了”，B说“我也知道了”。请问这两个自然数是什么？请给出推导过程。

(之前有个扑克牌的题表面看起来类似，不过那个太简单了)

speary

29题答案：
原题是两个数,甲知道之和,乙知道之积,乙说“我不知道这两个数是什么，你知道这两个数是什么么”？甲说“不知道”。于是乙说“我知道两个数是什么了”，甲说“我也知道了”。请问这两个自然数是什么？请给出推导过程。

允许两数重复的情况下
答案为x=1，y=4；甲知道和A=x+y=5，乙知道积B=x*y=4
不允许两数重复的情况下有两种答案
答案1：为x=1，y=6；甲知道和A=x+y=7，乙知道积B=x*y=6
答案2：为x=1，y=8；甲知道和A=x+y=9，乙知道积B=x*y=8
解：
设这两个数为x，y.
甲知道两数之和 A=x+y；
乙知道两数之积 B=x*y；
该题分两种情况 ：
允许重复， 有(1 <= x <= y <= 30)；
不允许重复，有(1 <= x < y <= 30)；
当不允许重复，即(1 <= x < y <= 30)；
1)由题设条件：乙不知道答案
<=> B=x*y 解不唯一
=> B=x*y 为非质数
又∵ x ≠ y
∴ B ≠ k*k (其中k∈N)
结论(推论1)：
B=x*y 非质数且 B ≠ k*k (其中k∈N)
即：B ∈(6，8，10，12，14，15，18，20...)
证明过程略。
2)由题设条件：甲不知道答案
<=> A=x+y 解不唯一
=> A >= 5；
分两种情况：
A=5，A=6时x，y有双解
A>=7 时x，y有三重及三重以上解
假设 A=x+y=5
则有双解
x1=1，y1=4；
x2=2，y2=3
代入公式B=x*y：
B1=x1*y1=1*4=4；(不满足推论1，舍去)
B2=x2*y2=2*3=6；
得到唯一解x=2，y=3即甲知道答案。
与题设条件："甲不知道答案"相矛盾，
故假设不成立，A=x+y≠5
假设 A=x+y=6
则有双解。
x1=1，y1=5；
x2=2，y2=4
代入公式B=x*y：
B1=x1*y1=1*5=5；(不满足推论1，舍去)
B2=x2*y2=2*4=8；
得到唯一解x=2，y=4
即甲知道答案
与题设条件："甲不知道答案"相矛盾
故假设不成立，A=x+y≠6
当A>=7时
∵ x，y的解至少存在两种满足推论1的解
B1=x1*y1=2*(A-2)
B2=x2*y2=3*(A-3)
∴ 符合条件
结论(推论2)：A >= 7
3)由题设条件：乙说"那我知道了"
=>乙通过已知条件B=x*y及推论(1)(2)可以得出唯一解
即：
A=x+y， A >= 7
B=x*y， B ∈(6，8，10，12，14，15，16，18，20...)
1 <= x < y <= 30
x，y存在唯一解
当 B=6 时：有两组解
x1=1，y1=6
x2=2，y2=3 (∵ x2+y2=2+3=5 < 7∴不合题意，舍去)
得到唯一解 x=1，y=6
当 B=8 时：有两组解
x1=1，y1=8
x2=2，y2=4 (∵ x2+y2=2+4=6 < 7∴不合题意，舍去)
得到唯一解 x=1，y=8
当 B>8 时：容易证明均为多重解
结论：
当B=6时有唯一解 x=1，y=6当B=8时有唯一解 x=1，y=8
4)由题设条件：甲说"那我也知道了"
=> 甲通过已知条件A=x+y及推论(3)可以得出唯一解
综上所述，原题所求有两组解：
x1=1，y1=6
x2=1，y2=8
当x<=y时，有(1 <= x <= y <= 30)；
同理可得唯一解 x=1，y=4

speary

第30题：

一家小店刚开始营业，店堂中只有三位男顾客和一位女店主。当这三位男士同时站起来付帐的时候，出现了以下的情况：
（1）这四个人每人都至少有一枚硬币，但都不是面值为1美分或1美元的硬币。
（2）这四人中没有一人能够兑开任何一枚硬币。
（3）一个叫卢的男士要付的帐单款额最大，一位叫莫的男士要付的帐单款额其次，一个叫内德的男士要付的帐单款额最小。
（4）每个男士无论怎样用手中所持的硬币付帐，女店主都无法找清零钱。
（5）如果这三位男士相互之间等值调换一下手中的硬币，则每个人都可以付清自己的帐单而无需找零。
（6）当这三位男士进行了两次等值调换以后，他们发现手中的硬币与各人自己原先所持的硬币没有一枚面值相同。
随着事情的进一步发展，又出现如下的情况：
（7）在付清了帐单而且有两位男士离开以后，留下的男士又买了一些糖果。这位男士本来可以用他手中剩下的硬币付款，可是女店主却无法用她现在所持的硬币找清零钱。
（8）于是，这位男士用1美元的纸币付了糖果钱，但是现在女店主不得不把她的全部硬币都找给了他。
现在，请你不要管那天女店主怎么会在找零上屡屡遇到麻烦，这三位男士中谁用1美元的纸币付了糖果钱？

注：美国货币中的硬币有1美分、5美分、10美分、25美分、50美分和1美元这几种面值 。

1994

引用第224楼speary于2009-08-16 11:52发表的 :
29题答案：
B=x*y 为非质数 又∵ x ≠ y ∴ B ≠ k*k (其中k∈N)
.......

不明白，假设x=8，y=18，则B=144=12*12.

speary

这里说的不严谨，其实k是质数

zcy123456

由条件2可知，任何一人都不能同时拥有2个5，2个10+1个5，5个10，2个25，2个50，同时拥有的钱数必小于1美元。
由条件6知，每个人钱的数目不可能为5（无法换），10（可用2个5换，与条件2矛盾），15（5+10，无法换），20，35（25+10，而25和10都无法换），40，45，60及其以上的所有。因此剩下的数目只有25，30，50，55共4种。而如果是25，只能以整的25出现，无法实现调换，因此可能的数目只有30，50，55三种，现假设这三人为ABC。要使之可以调换，则30（25+5），50（单独的50），55（25+10*3）。一下给出调换方法（第一次A与C，第二次B与C），假设ABC分别用有30，50，55
第一次调换  A：（25美分加5美分）————————   A：3个10美分
第一次调换 C：（3个10美分加1个25美分）—————  C：2个25美分加5美分
第二次调换  B： 50美分—————————————   B：2个25美分
第二次调换  C： 2个25美分加5美分———————   C：1个50美分加5美分
调换后A：10*3，B：25*2，C：50+5
再看条件5，存在下列几种可能：
A： 可能消费10美分或者20美分——剩余20美分或者10美分
B：只有可能消费25美分——剩余25美分
C：可能消费5美分或者50美分——剩余50美分或者5美分
消费总数：
A：10美分   B：25美分   C：50美分        合计：85美分
A：10美分   B：25美分   C：5美分        合计：40美分
A：20美分   B：25美分   C：50美分        合计：95美分
A：20美分   B：25美分   C：5美分        合计：50美分
由条件4（调换前）知道，店主手中不可能有硬币5（否则可为C找零），钱数不可能为25（否则可为B找零），因此店主的钱币种类为10。
由7知，买糖果钱不足50，但是大于等于5。
由8知，找给这位男士的钱大于60（50+10）。
在将消费总数加店主的10，同时满足大于60这一条件，可能的情况就只有消费总数为85的那种了。同时知道买糖钱为5。
因此，由消费数及条件3知，A为内德，B为莫，C为卢。
由买糖钱为5知，留下来的人不可能为卢，而由消费的细节知，不能为莫，因此留下来的那人为内德。

speary

楼上解答应该是对的

zcy123456

第31题：
证明：世界上所有事情不都是相对的

wwmply

引用第1楼camio于2009-07-21 22:51发表的 :
No.1
小明一家要过一座桥，且是晚上，如果没有手电筒的话谁也不敢过，可惜只带了一个手电筒，桥又很窄每次最多只能允许二个人通过，如果一个一个过的话小明要1秒，弟弟要3秒，爸爸要6秒，妈妈要8秒，爷爷要12秒。
请问小明一家通过这座桥的最短时间是多少？请写出过桥的具体方案以及分析思路！

解题:
爷爷与妈妈先过，妈妈先到达用8秒
爷爷还在桥上，爸爸再过，爷爷到达，又用4秒
爸爸还在桥上，弟弟再过，爸爸到达，又用2秒
弟弟还在桥上，小明再过，一起到达对岸，又用1秒
8+4+2+1＝15秒
共用15秒。

wwmply

引用第220楼1994于2009-08-14 09:58发表的 :
28
甲乙丙三人用手枪进行决斗。甲的命中率是30％，乙的命中率是50％，丙命中率是100％。由于这个显而易见的事实，为公平起见，他们决定按这样的顺序：甲先开枪，乙第二，丙最后。然后这样循环，直到他们只剩下一个人。那么这三个人中谁活下来的机会最大呢？他们都应该采取什么样的策略？

这个题也很简单：
甲和乙都先后开枪打丙，而丙开枪是打乙。这样下来丙打死甲的机率还有20%，而甲打死丙的机率为30%，而乙早死的机率最大。
最后甲活下来的机会最大。
这就是无能者，生存最长远。

wwmply

31题
两个人一个向东坐着，一个向南坐着，周围没有镜子之类的东西，但他们都能看到对方的脸。为什么？

neotsu

引用第230楼zcy123456于2009-08-18 15:49发表的 :
第31题：
证明：世界上所有事情不都是相对的

假设这个命题为假，则可推论

世界上所有的事情都是相对的

这句话本身就是一个绝对的存在（所有的事情），与其内容不符

所以此命题为假不成立，即此命题为真

zcy123456

看来楼上又是个高人，请出下一题吧

绿水长流

引用第234楼neotsu于2009-08-20 00:21发表的 :


假设这个命题为假，则可推论

世界上所有的事情都是相对的
.......

我滴MM，我被绕晕了，题目越来越难了

camio

引用第235楼zcy123456于2009-08-20 11:00发表的 :
看来楼上又是个高人，请出下一题吧

诡异的题目，

31题重新出吧！

引用第233楼wwmply于2009-08-18 16:53发表的 :
31题
两个人一个向东坐着，一个向南坐着，周围没有镜子之类的东西，但他们都能看到对方的脸。为什么？

这什么题啊？

如果两人坐得很近，又允许扭头来看，或用所谓“余光”来看对方，这就根本不是问题。

snowtulip

引用第233楼wwmply于2009-08-18 16:53发表的 :
31题
两个人一个向东坐着，一个向南坐着，周围没有镜子之类的东西，但他们都能看到对方的脸。为什么？