今天学生问偶一个简单的问题：为什么长方形的面积……

muntzer

首先，对楼主提出这个问题，表示极其的支持。

为什么不对楼主所说的那个学生表示什么态度呢？其实，那个学生只是凭着朴素的“为什么”的心态来问这个问题的，并不表示那个学生拥有什么特别的“思维才能”。

但是，楼主能抓住一个学生偶然的发问，铺张出这么丰富的教学内容，说明楼主在教学方面是花了心思了！

楼主所讲的这个问题，其实是个很深刻的问题，还真的不是那么容易解决的。楼主采用的方法，似乎就是“测度论”方法的通俗化，这是个高度抽象的科学方法。

我有一个简单一些的方法来“证明”面积的公式，不知是否正确。

首先，当长度不变的时候，将宽度扩大一个倍数，譬如扩大为二倍，则面积无疑也是增加了二倍。可见，面积与宽度成正比。

同理，面积与长度也成正比。

可见，面积与长度×宽度成正比。

选取合适的单位，就可以将比例系数取为1，结果：
面积＝长度×宽度。

hsq2516941

引用第20楼muntzer于2009-01-12 16:32发表的 :
首先，对楼主提出这个问题，表示极其的支持。

为什么不对楼主所说的那个学生表示什么态度呢？其实，那个学生只是凭着朴素的“为什么”的心态来问这个问题的，并不表示那个学生拥有什么特别的“思维才能”。

但是，楼主能抓住一个学生偶然的发问，铺张出这么丰富的教学内容，说明楼主在教学方面是花了心思了！
.......

    谢谢您提供的一个解题思路！
  您前面说的和我的想法一致，我的想法完成从式子（公理的表达）来进行变换推导后，这个过程中最关键处是从有理数到无理数的部分，比较难弄。最终我也要用您所说的“测度论”的通俗解答将其完美的（我认为）统一起来。
  到现在为止，班有几个学生比较感兴趣做深入的探讨，我发现这几个学生平时对几何都感兴趣，在班上相较而言，成绩要好些，一般我都不要求他们去买新华书店的教辅书看，我直接给他们数学课外书看，其中就有张景中院士的《新概念几何》，这是通过简单的几个面积公理几乎重新推导几何的思路，最要紧的是这本书是通向机器证明王者之路的一个通道！当然他们看这些书还有点吃力，但他们自我感觉还是乐于去看的。
  这两天是学生的期末考试，暂时没有要他们花时间去深入探究第一楼中的问题。等假期中指导他们去想想，同时假期里再布置他们看一点院士们写给中学生看的书。
  这道题如果有什么新近展，我会发上来。欢迎关注！

云之惑

我学的时候也是20楼的那种解释，自己感觉已经理解了！

我感觉老师关键在于教会学生如何去求知，西方科学讲究严谨，什么都有为什么！数学的所有的公式都要给予推导证明！

记得小学时我问老师圆柱体体积为什么是等高等低圆锥体的3倍！他什么也没说，拿来空心圆锥体，装满水，向空心圆柱体里倒了三次，圆柱体正好装满！导致我到现在还记得！

至于楼上有书友说的时间问题，我想可以引导感兴趣的学生在课外进一步学习，通过书籍，兴趣小组之类！

是个好老师！赞一个！

星星之火

对小学或中学生面前摆一堆公理没有什么好处，这种教学方法以前觉得不错，现在有点落伍了。

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引用第23楼星星之火于2009-01-12 22:23发表的 :
对小学或中学生面前摆一堆公理没有什么好处，这种教学方法以前觉得不错，现在有点落伍了。

    谢谢提醒！确实值得警惕！

  如果我们并不着眼于一定要让他们掌握某个内容，而是以此为平台，激发学生探索的兴趣，培养一下数学特长生，让他们感受一下什么是严谨的数学（记得导弹专家钱学森曾经说过，当在傅种荪老师那里，我才明白了什么是严谨的数学！），我想也是可以的！也就是说，同一道题，出发点不一样，可以发挥出这题不同的作用！

  比如：三角形内角平分线定理，这个早已在教科书中被删除了的内容，即使在新课标之前一段时间的人教版教材中被删除了的内容。我仍然把它拣起来，和学生一起兴致勃勃的讨论他的证法。当我们用二十几种方法完成它的证明时（这个大部分要由学生完成），学生是何等的快乐！更为重要的是我们得到有关相似的证明规律，通过这一道题，大大的提升学生的解题能力，何乐而不为！

katong

楼主无非是想说明人类最初对面积的认识都是建立在二维空间面积的基础上吧。二维（x,y）之积为面积。

moodykeke

我觉得是和我们人类普遍逻辑有关。
数是量的抽象。一般我们都习惯把大数放到前面。我还是认为是社会文明形成的普遍的逻辑。土著人有可能还没抽象到那个地步。
如同世界上 有人把哭当做笑一样。