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发表于 2008-8-12 21:37:12
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命题 在平面上给出100点，其中任何3点都不共线，上述100点为顶点的所有可能的三角形，求证: 其中至多只有70%的三角形可能是锐角三角形.
证明 在证明命题前，首先给出一个引理:
引理: 平面上任意给定5点，其中任三点不共线，则在以它们为顶点的三角形中, 至多有7个锐角三角形[至少有3个非锐角三角形].
证 记5个点A，B，C，D，E组成点集T。任三点不共线， 构成10个三角形，因此只需证明，其中至少有3个是锐角三角形即可，考察T的凸包。
(1)，T的凸包为三角形，不妨设点D,E位于在△ABC内部，显然D处至少有两个非锐角，[不然∠ADB+∠ADC+∠BDC<360°] ，从而T中至少存在两个以D为顶点的非锐角三角形。同理T中至少存在另两个以E为顶点的非锐角三角形。
(2),T的凸包为凸四边形，不妨设笫五点E位于凸四边形ABCD内部，因凸四边形的内角和为360°，故其中至少有一非锐角，不妨设为∠D，于是△ACD是一个非锐角三角形。又E必在△ACD或△ABC内部，不妨设E点在△ABC内部，于是同(1) 知T中至少存在两个以E为顶点的非锐角三角形。
(3),T的凸包为凸五边形，由于凸五边形ABCDE内角和为540°，故至少有两个内角为非锐角，这两个非锐角内角可能相邻也可能不相邻，但均有一个凸四边形，而凸四边形中至少还有一个非锐角。
综上所述知。任何一个5点集中，如果无三点共线，则以这5点为顶点的三角形中至少3个非锐角三角形，即至多7个为锐角三角形 。引理得证。
下面来证明命题: 100个点中共有C(5/100) 个不同5点组，每个5点组至少有3个非锐角三角形，只是每个非锐角三角形最多可能被重复计算了C(2/97) 次，因此以这100个点为顶点的非锐角三角形至少有3C(5/100)/C(2/97) 个，又以这100个点为顶点的三角形总数共有:
C(3/100) 个，而3C(5/100)/[C(2/97)*C(3/100)]=3/10。
因此锐角三角形所占的比例不超达70%。 |
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