探索 数学趣味类-《142857的传奇》（发现不加密）（证明要加密）（有证明者有10

jingmouren

1/13=0.076923....
3/13=0.230769...
4/13=0.307692...
9/13=0.692307...
10/13=0.769230
12/13=0.923076...



还有1/29是二十八位循环节
有兴趣的可以好好琢磨
应该有不少规律

killl

看来这类数字可以通过“1/质数”来查找！

但是153846好像跟769230之间有一定的关系。

769230/5=153846

153846*2=307692
153846*3=461538
153846*4=615384
153846*5=769230
153846*6=923076

含笑饮砒霜

999999/7=142857
999999999999/13=76923076923
9999999999999999999999999999/29=344827586206896551724137931

killl

引用第22楼含笑饮砒霜于2008-04-03 22:59发表的 :
999999/7=142857
999999999999/13=76923076923
9999999999999999999999999999/29=344827586206896551724137931

恩，也许这个就是那个规律，若干个9/(位数+1)=神奇的数字


99/1=99
999/2=？
9999/3=3333
99999/4=24999.75，这个数字是不是可以当成轮值？


下一个可行的数字莫非是19？

1/19=0.052631578947368421052631578947368
2/19=0.10526315789473684210526315789474

105263157894736842*2=210526315789473684
105263157894736842*3=315789473684210526
105263157894736842*4=421052631578947368
..................

这时数字直接向前移动

killl

刚才偶然搜索到这个帖子，怎么现在小孩子的奥数题目这么难啊，真是后怕啊，当年还好没有机会上奥数班

随便一个题目都不会做啊


http://bbs.eduu.com/viewthread.p ... =page%3D&page=2

jingmouren

引用第12楼mark_han于2008-04-03 18:06发表的 :
这是数学10进制规则下出现的偶然现象，如果用16进制记数就不会出现这种情况的。
数学是逻辑的，这种情况正是10进制的假设下面，一个逻辑的必然结果。

12楼总结的很好
1就是0.999999.....
所以1/7  1/13  1/29 等得到的循环节各位之和必然能被9整除
循环节为999999/7         999999/13      
1/7=0.142857
10/7=10*(1/7)=1.428571
10/7=1+3/7   所以3/7的循环节为428571  是142857的1右移得到
100/7=14+2/7
1000/7=...

含笑饮砒霜

不太会用算术表达 勉强试试

设a为某个质数（合数暂不讨论）
1/a=（b1b2……ba-1）/99……9  即1/a为以（b1b2……ba-1）为循环节的循环小数，b1-ba-1均为0-9的数字


那么依次考察 （b1）*a （b1b2）*a  （b1b2b3）*a ……
假设 （b1……bn）*a=10^n -c，n=1，2……，a-1
那么 c/a就符合上面的规律

但是 1/3是1位循环小数 所以只有1/3符合这样的循环
1/5不谈
1/7 是6位循环
1/11是2位循环 所以两种符合  1/11 10/11
1/13是6位循环小数 所以只有6种符合 1/13 3/13 4/13 9/13 10/13 12/13
其实2/13 5/13 6/13 7/13 8/13 11/13 是另一个序列的循环

1/17 是16位循环
1/19是18位循环
1/23是22位循环
……
31也只是15位的循环 所以应该只有15个分数符合这样的循环

含笑饮砒霜

而且只要确定1/a是a-1位的循环小数
那么前述方法得到的c必定是各不相同 正好是1-（a-1） 各一个
也就是说1/a至（a-1）/a都能符合上面的循环规律

因为
假设
（b1……bn）a=10^n-c
同时 （b1……bm）a=10^m-c
且m>n
那么
会得到 1/a=（b1……bm-b1……bn）/（10^m-10^n）
=[（b1……bn）*99……9+bn-1……bm]/10^n*99……9
=b1……bn/10^n+bn-1……bm/99……9

上面的99……9都是m-n位的9组成的数字
那么1/a是m-n位的循环小数了
与前面的假设矛盾

磁铁

先提供个发现和思路：

1/7=0.142857；142+857=999
2/7=0.285714；285+714=999
……
1/17=0.0588235294117647；05882352+94117647=99999999

5/19=0.263157894736842105；263157894+736842105=999999999

以上发现对任何分母是质数的分数循环小数适用。试证明之：

设Z为质数，n/Z的循环节长为2m，前半个循环节为A；后半个循环节为B.则：

n/z=0.ABABAB……=0.AB+0.AB*1/(10的2m次方)+0.AB*(1/(10的2m次方))的平方＋……

以下请继续证明

jingmouren

假设10^2m-1是形如99999且能被Z整除的最小的正整数
10^2m-1=(10^m-1)*(10^m+1)
由假设 10^m-1不能被Z整除
故10^m+1能被Z整除，10^m+1 的形状为1000..1
这就是0.ABABAB这种形式出现的原因

但999/37=27
999是三位数
为何1/37的循环节仍是双数长度用上述办法不能说明
没仔细算
1/37的循环节原来是三位啊
那磁铁发现的AB规律就不一定成立了
只对循环节长度为三的才成立

含笑饮砒霜

貌似还有一组规律
如果 对某质数a
1/a不是 a-1位循环节的循环小数 而是 其他 位数假设为b
那么 1/a 到(a-1)/a 会有 (a-1)/b组这样不同的循环
如a=13  b=6  此时有两组这样的循环
a=31 时 b=15 此时也有两组这样的循环

a=11 b=2 所以有5组不同的循环

含笑饮砒霜

引用第29楼jingmouren于2008-04-04 17:06发表的 :
假设10^2m-1是形如99999且能被Z整除的最小的正整数
10^2m-1=(10^m-1)*(10^m+1)
由假设 10^m-1不能被Z整除
故10^m+1能被Z整除，10^m+1 的形状为1000..1
这就是0.ABABAB这种形式出现的原因
.......

因为你的假设本身就排除了 10^m-1（m为奇数）这种情形

类似的还有41 能被10^5-1 整除

另外 1/37的循环节实际上是3位 此时 也就不存在上面的规律了

结论应该是 若 z能被最小的10^m-1类型的数整除 那么 1/z就是m位循环节的循环小数
因此 z=3 m=1
z=11 m=2
z=37 m=3
z=101 m=4
z=41 m=5
z=13 m=6

jingmouren

引用第29楼jingmouren于2008-04-04 17:06发表的 :
假设10^2m-1是形如99999且能被Z整除的最小的正整数
10^2m-1=(10^m-1)*(10^m+1)
由假设 10^m-1不能被Z整除
故10^m+1能被Z整除，10^m+1 的形状为1000..1
这就是0.ABABAB这种形式出现的原因
.......

10^m-1不能被Z整除
故10^m+1能被Z整除，10^m+1 的形状为1000..1
这就是0.ABABAB这种形式出现的原因

这段有问题
重写一下
10^m+1能被Z整除，商为X
则10^2m-1 除以Z 的商为X*(10^m-1)=X*10^m-X=(X-1)*10^m+(10^m-X)
所以X-1对应磁铁找到的规律中的A  10^m-X对应磁铁找到的规律中的B
所以A+B=X-1+10^m-X=10^m-1 呈现9999...的形式

如含笑指出，磁铁发现的ABAB这种规律当10^2m-1能被Z整除时出现
而10^n-1，n非偶数时并不出现

conch_grass

好帖啊~~~~~受益匪浅

kankankkh

　把142857拆成14+28 +57 =99 ;  145+857=999;  1＋4＋2＋8＋5＋7＝27＝2＋7＝9；您瞧瞧，它们的单数和竟然都是“9”。依此类推，上面各个神秘数，它们的单数和都是“9”(如142857可以挑出三段写成1+8 4+5 2+7 这都等于9)且它的双数和为27还是3的三次方.　　　　　　　　　　　　　　　
　  而当乘数超过了7*9=63时(如64)单数和不再是27(3*9)而是36(4*9)14289的分身规律到了这里就不复存在了. 直到142857*(7*14)=100999899才恢复了规律. [副:142857*7*14=13999986 单数和为54(6*9)]很明显在这里出现了规律的"断层"但至此以后这种"断层"将不会出现

kankankkh

142857x142857 = 20408122449，而 20408+122449 = 142857
142857x0.142857 = 20408.122449，为什么小数点两边的数字和为142857，这样似乎更完美。是这样解释的：
142857x0.142857 =142857x0.999999/7
=142857x（1-0.000001）/7
=142857/7-0.142857/7（要设法把前部分变整数）
=142856/7+（1-0.142857）/7（这样显然前部分是整数，后部分是一个小于1的小数）
这样小数点两边的数字和为
142856/7+（1-0.142857）x1000000/7（因为小数点后必然是6位）
=999999/7
=142857

azhi

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yzh_nj_china

恩～～
以后拿这六个数字买张彩票～～
要证明或解
就是解六元六次方程组～～
需要谁来编个程～～
呵呵～～

plotoon

142857 ×１ = 142857
142857 ×２ = 285714
142857 ×３ = 428571
142857 ×４ = 571428
142857 ×５ = 714285
142857 ×６ = 857142


除式  答案            循环节
１÷７ 0.142857142857142857…… 142857
２÷７ 0.285714285714285714…… 285714
３÷７ 0.428571428571428571…… 428571
４÷７ 0.571428571428571428…… 571428
５÷７ 0.714285714285714285…… 714285
６÷７ 0.857142857142857142…… 857142