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纵横捭阖

今天是2008年的元旦，祝大家新年快乐，万事如意！

那就出一题与2008有关系的，会不会又是太简单啊？

已知若干个正整数之和为2008，求它们的乘积的最大值。

纵横捭阖

　　和为2008的正整数组只有有限多个，所以这个最大值是存在的。
　　设X1，X2，***，Xn都是正整数，X1＋X2＋***＋Xn＝2008且使其积P＝X1X2***Xn取得最大值。
　　（1）对所有i，均有Xi＜＝4。若不然，设Xj＞4,则Xj＝2＋（Xj－2）而2（Xj－2）＝2Xj－4＞Xj，所以当用2和Xj－2代替Xj时将使乘积变大，所以不可能。
　　（2）对所有i，均有Xi＞＝2。若有某Xj＝1，则XiXj＝Xi＜Xi＋Xj，帮当用Xi＋Xj代替Xi，Xj时，将使乘积变大，矛盾。
　　（3）因为4＝2＋2＝2＊2，故Xi＝4不必要，它可以用两个2来代替而保持和与积都不变。
　　（4）由以上论证知P＝2（r次方）3（s次方），其中r和s都是非负整数。因为2＋2＋2＝3＋3，而　2（3次方）＜3（2次方），所以必有r＜3，又因为2008＝668＊3＋2＊2，故得r＝2，s＝668。所以求的最大值是2（2次方）3（668次方）。[/hide]

clf1985

应该是  1008015  吧[/hide]

秋水小柯

设这些正整数为a1，…，an，则

a1+…+an=2008

不妨设ai＜4(1≤i≤n)，这是因为当ai≥4时ai≤2(ai-2)，故把ai换成2和ai-2不会使积减小．又2×2×2＜3×3，所以只需考虑积2a·3b，其中a=0，1，2，且2a+3b=2008．由此得a=2，b=668，故所求的最大值为2^2×3^668．[/hide]

horky

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horky

一般而言：

把自然数S（S＞1）分拆为若干个自然数的和：

　　S=a1+a2+…+an，

　　则当a1，a2，…，an中至多有两个2，其余都是3时，其连乘积m=a1a2…an有最大值。
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668个3相乘，再乘以4。[/hide]

668个"3"，与2个"2"。
积为……
太大了~呵呵~[/hide]

fferror

尽量以3为单位拆分，由于2008 = 3 * 668 + 2 * 2 = 3 * 669 + 1，而3^668 * 2^2大于3^669，因此乘积的最大值为3^668 * 2^2 。
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zjjhyun

将2008分成比1大的正整数，这样可以把2008分成1004个2，因此它们的最大乘积即是2的1004次方。其结果为1267650600228229401496703205376。[/hide]

dudu12345679

当X趋于无穷时，A的X次方大于X的A次方。 因此使X的数值尽量大。由于X的数值有限，因此仍需验算前几个的乘积。

则A=2时 X=1004  
  A=3时 X=669  。。。。

3的669次方》2的1004次方
3的669次方》4的502次方
4的502次方》5的401次方。。。。。

因此2008=3+3+3+3+3+......+3+1 时， 加数乘积最大
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磁铁

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