|
发表于 2007-2-12 13:06:51
|
显示全部楼层
10楼是对的。如果用来证明素数个数无穷多,只要 k 有限这个条件就够了,因为 1/(1-1/pk)) > 1,多乘几项只会使等式右端更大。
但7楼的公式本身条件还可更严,我用简单的方法只能证明到“对于 k 为小于或等于 N 的素数的个数”。
试证明一下。
设素数 p(1)=2, p(2)=3, p(3)=5, p(4)=7, ..., p(k) 为按从小到大的顺序排列的 k 个素数,p(k) 是小于或等于 N 的素数中最大的素数。设整数 N >= 2。
f = ∑{n=1,N} ( 1 / n )
f1 = (1-1/p(1)) * f = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/N - (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/N) / p(1) = 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ... 1/m - r1
m 不能被 p(1) 整除,且 m <= N.
可以看到,f 中 可以被 p(1) 整除的各项被 f / p(1) 中 n * p(1) <= N 的各项消掉了。r1 为 f / p(1) 中和 f 相消后余下的各项。可以写成,
f1 = ∑{n=1,N; p(1) |\ n} ( 1 / n ) - R1
其中 p(1) |\ n 表示 n 不能被 p(1) 整除。显然有,f1 > 0, R1 = r1 > 0.
f2 = (1-1/p(2)) * f1 = f1 - f1 / p(2) = ∑{n=1,N; p(1) |\ n, p(2) |\ n} ( 1 / n ) - R2
其中,R2 = r2 + (1 - 1 / p(2)) * R1 > 0, r2 为 f1 / p(2) 中和 f1 中可以被 p(2) 整除的 n 项相消后余下的各项,f2 > 0. 这时,∑{n=1,N; p(1) |\ n, p(2) |\ n} ( 1 / n ) 的各项中,凡 n 能被 p(1) 或 p(2) 整除的项都被消掉了。
......
当做到第 k 步时,
fk = (1-1/p(k)) * f(k-1) = f(k-1) - f(k-1) / p(k) = ∑{n=1,N; p(1) |\ n, p(2) |\ n, ..., p(k) |\ n} ( 1 / n ) - Rk
其中,Rk = rk + (1 - 1 / p(k)) * R(k-1) > 0, rk 为 f(k-1) / p(k) 中和 f(k-1) 中可以被 p(k) 整除的 n 项相消后余下的各项,fk > 0.
这时,对于 n=1, 2, 3, ..., N,除了 n=1 不能被 p(i) (p(i) <= N, i=1,k) 整除外,其他各项都可以被 p(i) (i=1,k) 中的一个整除,所以都在上述运算中被消掉了,即,
∑{n=1,N; p(1) |\ n, p(2) |\ n, ..., p(k) |\ n} ( 1 / n ) = 1
所以有,fk = 1 - Rk < 1
fk = (1-1/p(k)) * f(k-1) = (1-1/p(k)) * (1-1/p(k-1)) * f(k-2) = ... = (1-1/p(k)) * (1-1/p(k-1)) * ... * (1-1/p(1)) * f = ∏{i=1,k} (1 - 1 / p(i)) * f < 1
f < ∏{i=1,k} 1 / (1 - 1 / p(i))
证毕。
笨人不是数学系毕业的,写这种证明很笨,还不知对不对呢。希望不很懂数学的人也能看懂。
参考卢昌海《Euler 乘积公式》(http://www.changhai.org/contents ... /euler_product.html) |
|