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发表于 2024-3-13 21:24:30
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一、比较a与b：
先变形为：比较e^0.1与10/9（原数都扩大10倍）
只需比较e^0.1与1/(1-0.1)
只需比较e^x与1/(1-x), 0≤x<1
再转化为：比较x与ln[1/(1-x)], 0≤x<1（上面两数都取自然对数）
令f(x)=x-ln[1/(1-x)]，则f '(x)=...<0, 0≤x<1
∴ f(0.1)<f(0)=0，即0.1-ln[1/(1-0.1)]<0，故0.1<ln[1/(1-0.1)]，从而有a<b。
二、比较b与c：
先变形为：比较1/9与ln(1/0.9)=ln10/9=ln(1+1/9)
只需比较x与ln(1+x), 0≤x<1
令g(x)=x-ln(1+x)，则g'(x)=...>0, 0≤x<1
∴ f(1/9)>f(0)=0，即1/9-ln(1+1/9)>0，故1/9>ln(1/0.9)，从而有b>c。
三、比较a与c：
先变形为：比较0.1e^0.1与-ln(1-0.1)
只需比较xe^x与-ln(1-x), 0≤x≤0.1
令h(x)=xe^x-[-ln(1-x)]，则h'(x)=(x+1)e^x-1/(1-x)
为确定h'(x)的正负，只需比较e^x与1/[(1+x)(1-x)]，
这只需比较x与-ln(1+x)-ln(1-x)
令u(x)=x-[-ln(1+x)-ln(1-x)]，则u'(x)=...>0，0≤x≤0.1。
∴ u(x)>u(0)=0，∴ x>-ln(1+x)-ln(1-x)
∴ e^x>1/[(1+x)(1-x)]
∴ h'(x)>0
∴ h(x)>h(0)=0
∴ a>c。
综上知：c<a<b
故选C。 |
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