从逻辑实证主义理解相对论——《时空的哲学》

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Ｈ．ＲＥＩＣＨＥＮＢＡＣＨ著；蔡信健译. 时空的哲学 上. 银禾文化事业有限公司, 1987.05.
第一章

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第一节 平行线公设与非欧几何
欧式几何的基本公设不证自明，以致于长期内人们未曾怀疑过其真理性，而只是对其做一些扩充和演绎工作。直至20世纪人们对第六公设（平行公设）做了不同假设，发现可以由此演绎出不同的几何系统（即非欧几何）。人们开始对这些公设的基础产生怀疑（演绎出的定理无疑有其确定性，但这不意味公设有同样的确定性），并发现可以将其建立于逻辑基础上，希尔伯特发现可以将欧式几何化约成算术方式而证明欧式几何的一致性，而通过克莱因的的研究，非欧几何可以化约到欧式几何，具有一致性。

这就必然导致了数学几何与物理几何的区分，长期以来人们将欧式几何的确定性对应于自然的确定性，而事实上作为数学的几何学并未涉及公设的真实性问题（基本公设问题被认为是虚拟问题，即非真也非假，也不是任意的陈述），因此数学空间和物理空间必然不同，在非欧几何发展出来之后，物理空间的几何则涉及选择的问题。

第二节 黎曼几何
黎曼是集中环绕着测量概念（而非平行公设，实质上我们也可以删除其他公设构建非欧几何）延展他的空间观念，拓展了高斯的发现，将欧式几何对最短线（线段）定义拓展到球面（球面几何可视为二维非欧几何）上，可以发现平行公设的否定。

黎曼的分析方法导致比波利叶——罗勃切夫斯基的综合方法更多的空间范式的发展，后者只导致某些常曲率的空间。

暴风影音

这本书很奇怪，包库里只有上卷第一章，没有第二第三章，说是还没有出。快三十年了还是没有出吗？

以前网上看贴子有使用过这本书的一些哲学观念，有些兴趣。

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引用第2楼暴风影音于2016-05-15 14:36发表的 :
这本书很奇怪，包库里只有上卷第一章，没有第二第三章，说是还没有出。快三十年了还是没有出吗？

以前网上看贴子有使用过这本书的一些哲学观念，有些兴趣。

可能是译完空间部分就没有再译了，又或者可能已经有其他的译本，但我没有找到。

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第三节 物理几何的问题

黎曼的数学程序为物理空间的几何选择提供了方法：对于真实空间的选择决定，必须由空间中的实际度量所导致。

唯有差别力而不是万有力可以被直接证实。认识论上量度的假设，对我们问题的解决来说，对等定义观念是重要的。

第四节 对等定义

对等关系的唯一性，建立测量关系，必须要用到对等定义。所谓对等即将一个观念对等于一个物理物体，假如纯粹以观念定义去寻找事实，就会产生一些虚拟问题（因为它将不被置于经验基础上）。

对等观念对几何问题的影响。比如长度的对等定义，首先定义长度单位，再比较不同位置两长度单位。了解到对等定义，我们就可以据此得出在这个意义上的全等，从而欧式几何和非欧几何的区别在这也显现出来了。我们可以做出结论说，我们选择的物理空间几何很大程度上依赖于对等定义的选择。而这种选择一方面要保证逻辑单纯性优点，另一方面也需要对科学结果造成的改变减至最小，这就要涉及到对刚体（选择刚体可以使我们由此建立起来的物理定律免于复杂）的定义。

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第五节 刚体物体

事实上我们生活中的物理并非严格的按照对等定义，我们总是力图在对等定义基础上不使我们的日常物理生活太过复杂。我们要注意固体和刚体的区分，刚体是不受差别力的影响的固体，或关涉到它的差别力的影响已被校正消除，万有力则不予理会。刚体定义是建立于一个封闭的系统，然而事实上严格的封闭系统是不存在的，我们只能通过无限逼近的方法使其达到某一个精度，同时对于封闭系统的定义，可能存在着的无法被差别度量所证明的力，我们也只能借由通过定义消除万有力的那种方法来它消除。

第六节 万有力与差别力之间的区别

从几何上的改变可推知热场的存在，这种变化是基于不同材料上力产生不同的效应。差别力和万有力的区别在于，把现象分类，使之归类于几何或物理。假如我们发现随着测量器械材料的改变导致许多种几何G'出现，则我们定义差别力F引起这种改变，并将所有G'化约为一种共通的G；假如我们发现对于所有材料只有G'存在，则F为万有力，我们置F为零，摒弃G和G'差别，即我们可以认同与G'的零位点相同。

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第七节 技术上的不可能与逻辑上的不可能

测量上的不可能即技术上的不可能，而即便我们有一套完美的测量技术，我们依旧无法避免一种逻辑上的不可能（也即它无关于技术上的）。

第八节 几何的相对性

物理空间的经由测量确定，而测量依赖于对等定义的假设上（它并非任意的）。在小区域（如地球）范围内，由于处于观察的误差范围内，因此可以认为欧式几何通用，而在大区域（天文范围内）则适用一种非欧几何。

将欧式几何建立于认识论上为先验的，有人以康德的先验直观导出欧式几何的不证自明性，然而这种不证自明性并非建立于逻辑基础上。先验直观下的欧氏几何只不过是我们对等定义下的一种选择而已，它不反对几何的相对性。几何上的单纯性只关乎于定义上的，而非经验意义上问题。所谓几何的相对论是指几何要在一定的对等定义下才有意义，这种约定论（勿误解）是由黎曼、荷尔姆霍兹、潘加列完成的。

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第九节 欧几里得几何的直观（视像化）

是否有其他几何能够被直观？欧式几何被直观是什么意思，以及它能被直观到什么程度？
作者认为：直观的本质就是将个别对象复制成一种心像的形式，直观除了心像产生功能之外，还有一种规范的功能（而这种规范功能及其所表现的强迫性并没有源自心像产生的功能之处）。直观的规范功能显示出其与逻辑的强迫性相关，直观借心像产生功能提供的成分要素方法与逻辑推论借思想的概念成分要素的方法，二者异曲同工。凡属逻辑上一致的也都能被加以直观，直到不超过直观描述所能达到的精确程度为止。所谓不能直观非欧几何只是，我们不能经由欧式几何的直观的构成分子来直观非欧几何。

第十节：直观的限制

直观的限制在于，一旦事物超出了我们直观能力（比如我们能直观五边形，却很难直观一千零五边形，而即便对特定的图形的直观也只能在既定范围内，比如我们能直观图纸上的球面，而无法直观像地球那么大的球面），对它们的认识就只能更多从分析角度（如公式分析）上。

在欧式几何中由于相似形原理存在，我们可以通过直观小的相似行来直观（间接）把握大的图形，但是非欧几何中没有这种关系，它依据图形的绝对大小，欧式几何中的那种类比性只有限制在非欧几何中一定范围内才成立。

直观的限制还在于，我们无法把握空间的无限性。在概念的结构上，我们能够很容易把握空间无限性的概念，我们能够对空间整体做出理论性陈述，却不可能对整体的空间加以直观。

上述直观上的限制不仅仅是心理学上直观的限制，更是一种逻辑上的。我们的心像的规范性并不是出自直观，而是出于逻辑。这就说明我们可以通过概念来接受一种（由非欧几何调整过的）新直观，虽然这种新心像不能像旧心像那样马上被我们接受。

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第十一节：非欧几里得几何的直观

非欧几何中的直观（想像）和欧式几何中的直观是否有可比较与类同之处？数学家已发明一种通过欧式几何方式来直观非欧几何，也即通过非欧几何和欧式几何的一种数学上的映射关系来实现，比如罗氏几何的平面能被映射在一个圆的内部（在罗氏几何中，过直线外一点能有无数条平行该直线的直线，对应于欧式几何即在圆内部过一已知弦外一点有许多不与其相交的弦），此中也需要一些数学上的式子来对概念进行转换。

回到其相关的物理论述上，在此，真实空间的几何问题和测量问题最令人注目，也更接近直观的问题。我们企图（以外曲率）直观三维簇的话，我们势必要将其置于一个（至少）四维度的空间之中，这便有了问题的困难性，引进第四维度对于问题解决却也是无用处的，因为它在我们现实物理空间中不可测量，因此我们必须尝试来直观空间的内曲率，也即通过三维度领域（欧式空间方式）来直观非欧几何。对非欧几何的直观需要一种经验直观上的调整（如司机对后视镜中图像的直观认识就是一个调整适应过程）。

直观欧式几何和非欧几何涉及到一个习惯上的转变，如在非欧几何平行线（黎曼几何中以欧式几何角度看并未存在平行线）的例子，关键取决于我们对全等关系的理解（欧式几何和非欧几何中对全等的定义），涉及到语言（不同体系）的翻译。前面那种映射的方法不是必要的（却是对我们转换视角有帮助的），我们完全可以以非欧几何方式直观。

第十二节：具有非欧拓朴性质的空间

如球面和平面的拓扑性质不一样，前者是封闭有限的，后者是开放和无限的。如球面的球极平面射影，它不像平面那样拓扑后有独一连续的映射，至少在北极位置，其变换具有特异性，而圆环面的拓扑性质是，在它上面存在着无法被收缩成一点的曲线，而对于那些诸曲线而言，圆环面上的居间关系是未定的。

直观问题与知觉经验的结构相关联，那么假如空间具有不同的拓扑性质，我们将会经验到什么？如在圆环面空间中，以欧式几何来看，不仅加上了万有力，还有一种因果律则的背反。假如要保有正常的因果关系，则对于物理空间而言，在某些条件下，我们必须把欧式几何加以排除（这也证明了先验哲学中两个先验原理相矛盾）。

球面空间也有也有着不同于欧式几何中的直观经验，其居间性是不确定的，其包围的相对性，概念地表达出球体表面的有限性和封闭性。球面空间中的构成分子：欧式空间中的表象，平面、直线、点、全等图形，分别对应基本球面（中心平面或主球面）、中心直线（或主圆）、点、球面转换产生的是相同大小的基本球面。此处欧式几何的解释同样也会遇到刚才的因果律则的背反，造成因果关系的复杂化。数学空间上的拓扑有时模糊了其有限性和无限性的区别，而物理学空间的拓扑具有在严格意义下的。

对于空间的拓扑上的性质的判定这件事是密切地与因果律的问题关连在一起的；我们假设了一种导致正常因果律的拓扑学。（P107）

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第十三节：纯粹的直观

前面对非欧几何的直观成为可能主要是从经验上出发，欧式空间的直观也是在自然过程而养成的，而一旦将人移植到一个非欧环境里，一种对应的发展将导致非欧几何式的直观。因此欧式几何那直观上的优势（偏好）不能依赖于它对于自然物体的直观的那种特殊的适应性上，而是依靠于与外在世界无软的一种先天的固有性质上的（P111）。欧式空间具有某些逻辑上的便利性，它比其他非欧空间单纯，但欧式几何的逻辑上的先验性并不能论证其优越性。

我们可以改变经验上的直观（视像）来适应非欧几何，同样的方法必定也可能用于纯粹的直观上面（P112）。在康德看来，纯粹的直观只是一种可感知性质（也即它只是形式上的一种可能性），而我们需要通过感官知觉来了解它（它必须要有经验质料，才能被了解）。而作者这里通过知觉空间消解了纯粹直观的必要性，物理空间和知觉空间也是不对等的。正是由于我们感官经验的变化性，我们还可以直观到非欧几何。因此数学空间也有类似于物理上的那种对等定义，所不同的是其对等对象不是物理上的物体而是视像（直观）上的性质。

结论：没有先验哲学意味下的纯粹直观，规范功能（见第九节）的不妥当的一种解释导致我们误解了直观（视像化），所有为区分知觉空间和直观空间的不同恰恰根据于想像的规范上的成分的，若我们调整全等的定义，非欧诸公设同样能够严格地被直观。

第十四节：几何学为一种关系的理论

前面已证明数学并非是先验的，它纯粹是一种蕴含关系的演绎系统。在希尔伯特诸公设中，几何可以脱离直观图像，变成一种纯概念关系的表达。几何的上概念能够通过作为这些基本概念的函数被隐含定义，尤其当用逻辑符号来表达时，这种情况更加清晰。如希尔伯特的几何体系可以转换成一套逻辑符号。逻辑符号具有独立的意义，而几何上的符号具有导得意义。

欧式几何往往有视像上的对应，但它往往也有代数上的同一（解析几何以此成为可能），而人们往往不会认为这种对应的代数具有视像。元素能满足欧式公设的另一个例子是：有一元素的集合，它们本身属于欧式几何，但它们具有与欧式几何的点、直线等字完全不同的意义（P129）。

为何数学要用到视像（直观）图像？其实数学需要的是这些（视像）元素的逻辑上的性质而已，数学的精确性依赖于，它仅利用到那逻辑地公式化描述了的直观上的结构的各性质，直观上的视像不过是思考上的一种辅助（也即假如把逻辑上的结构当作一种范式，直观上的结构不过只是一种范例），同时只管说上的视像还将其引进物理上的范围。

据此，数学式的几何不是一种空间的科学，它只是一种纯粹的簇的理论，数学的公设既非综合的也非分析的，而只是一种定义。这和其本性是逻辑的（一般我们会据此认为是分析的）并非冲突，数学上的几何公设会先根据一种定义上的类型，获取像点、线等其他概念的定义，而后它们再被导入此公设中，这种方法会带来一个新的公设，而这个新的公设才是分析且真实的。因此数学上的公设讨论其先验性是没有意义的，因为它们是任意的。

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第十五节：图表的表示是怎么回事

图表的表示广泛用于物理学和工程学到等领域，为何视像能有效地用于这些领域，同时事实上我们也不完全用视像去处理事物，比如针对一些仪器我们往往读取其数值而不必想像有相关的图表。而对物理事物的处理，物理事件的直观是以空间上的关系的方式加以描述代表的，它完全地取代了直接的图像，前面认为几何学为一种关系的理论其实已涵盖了这种想法。

我们以运用数学概念（由隐含定义所定义的）的方式来达成对自然现象的控制。图表式的表示之所以是可能的，是因为那关系的系统A不仅能被拿来对应于物理系统a（我们不把它想成为一种自然事物的系统，而应为一种纯粹直观的空间，它和A是一种映射关系），而且还能对应于很多的其他不同的物理系统b、c，……并且我们为了方便了解A与b的对等，会因为A和a紧密的关系先建立a与b之间的对等，虽然这并非是逻辑上必须的。那种图表式表示的意义在于它们表示的无非是系统a对于其他物理上的事物的系统b，c，……的对等而已，这种对等之所以可能在于这些系统都是对于同一概念的系统A的真实表现，出于实用上考虑，我们往往用a（如欧式几何）来表示那A（如作为一种关系的几何系统）的各概念关系，而此种方式除了基于方便，还在于人类思考上的基本必需的需要。