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第四章 波与圆
一、自然界的偏爱--圆
自然界对圆形有偏爱，这偏爱的背后隐藏着自然规律。当然这里说的圆是广义的，包括两维空间的圆和椭圆、三维空间中的圆球形、椭圆形、圆柱形等等。
从生物形态学的角度来看，动物的胚胎是圆形的，精子、卵子(各种蛋)同样如此。生物是由细胞组成的，细胞是圆形的。菌类是圆形的，大到蘑菇，小到细菌。在旷野里，经过风雕雨琢，石头一般会变成球形；而在溪流中，鹅卵石是圆形的。台风是圆形的，漩涡是圆形的，涟漪是圆形的，气泡是圆球形的。在真空中，在无重力或微重力环境里，水滴呈现完美的圆形。从微观的角度来看，原子、基本粒子都是圆形的。从宏观的角度来看，宇宙由星云、星团、星系、总星系组成。星系有四种主要类型，即不规则星系、棒状星系、漩涡星系（如银河系）、椭球形星系。星系的形成演变过程是从不规则——棒状——漩涡——椭球。这样球形星系会越来越多。星球是圆形的，太阳，九大行星无一例外。所有恒星、行星都是圆形的。星球、星系的运行轨迹绝大部分是圆形的。16世纪40年代波兰天文学家哥白尼通过对天体）运动的研究，提出了日心说，推翻了地心说，掀起了天文学革命，使科学从神学的束缚下解放出来，为近代自然科学创立奠定了基础。
为什么自然界偏好圆形呢？ 下面给出一个通常的解释（对称、守恒和最小作用量原理）。
在自然状态下，任何物体总是趋向于势能最小的稳定状态。圆形是宇宙中大质量天体保持内部受力均衡唯一的选择。细胞具有圆形，有利于自身的生存和对环境的适应。除流线型体外，圆形是在各种流体中运动时受到阻力最小的物体形状。圆形是一定体积下具有最小的表面积的几何形体，是表面势能最小的形状。
圆形具有最大程度的对称性，而对称性是守恒的实质。例如：
时间平移对称性（不变性）导致能量守恒；
空间平移对称性（不变性）导致动量守恒；
空间转动对称性（不变性）导致角动量守恒；
电磁场在规范变换下的对称性（不变性）导致电荷守恒，等等。
为了不偏离本章讨论的话题，关于对称、守恒和最小作用量原理，有兴趣的读者可参看相关著作。
下面从另外一个角度论述为什么自然界偏好圆形？
二、波与直线
由于在讨论波与圆的转换时会碰到线段和直线，先简单讨论一下波与直线。
波的特性是向各个方向传播。我们看到水中的涟漪都是同心圆，这是是波的原初状态。而我们看到的海浪之所以成排地平行前进是因为它的波振面非常宽，每列波都在左右的平行波的制衡下只能向前传播（水波的衍射实验实际上就表明了这些行波一旦脱离了同类的相互作用便会重新开始扩散），海面可以认为是无限宽广的，所以波浪永远看不到尽头。如果感觉这个例子尺度太大，可以回忆一下平行电场的形成，这对于学过高中物理的人来说都不陌生，点电荷的电场程放射状，而电极板间的电场却是平行的，其原因不过是众多分部在同一平面上的点电荷的放射状电场相互叠加，由于电荷分部的均匀性，从而导致了电场分布的均匀性，于是我们看到，电场中的等势面由点电荷电场中的的球面变成了平行电场中的平面，类似于水波有同心圆变成平行线。
三、波与圆的转换
在第三章《波的叠加与合成》中，论述了三相异步电动机的旋转磁场，这是波与圆转换的一个实例，与发电机对应的是电动机，它是圆与波转换的实例。由于三维空间论述较为复杂，因此用两维空间讨论。
1、下面从数学、物理的角度讨论波转换成圆。
18世纪，法国数学家蒲丰和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为d的平行线，将一根长度为l（l<d）的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率。”布丰本人证明了，这个概率是
p=2l/(πd) π为圆周率
利用这个公式可以用概率的方法得到圆周率的近似值。下面是一些资料
实验者 年代 投掷次数 相交次数 圆周率估计值
沃尔夫 1850 5000 2531 3.1596
史密斯 1855 3204 1219 3.1554
德摩根 1680 600 383 3.137
福克斯 1884 1030 489 3.1595
拉泽里尼 1901 3408 1808 3.1415929
赖纳 1925 2520 859 3.1795
蒲丰投针实验是第一个用几何形式表达概率问题的例子，他首次使用随机实验处理确定性数学问题，为概率论的发展起到一定的推动作用。
下面来证明蒲丰投针，
问：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都是а。向此平面随意投一长度为l (l < а) 的针，试求此针与任一平行线相交的概率。
解：以x 表示针的中点到最近一条平行线的距离，以φ表示针与平行线的交角，针与平行线的位置关系见图4-1。显然样本空间为
图4-1
以R表示边长为а/2 与π 的长方形。针与平行线相交当且仅当
设在R中满足这个关系式的区域为g,，即图4-2中阴影部分，故由几何概率定义，所求概率为
图4-2
在p = 2l /аπ 中，p表示针与平行线相交的概率。当l 与а固定时，π=2l /аp就只依赖与p，而p可以通过重复向平面投针求得，如果投N次中有k次与平行线相交，则p近似为k/N，由频率的稳定性，当投的的次数越多时，近似程度越好，即π=2l N /аk的近似程度越好。
现在验证投针实验可以用计算机来实现，C语言代码如下:
//蒲丰掷针实验的计算机模拟
#include <iostream.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <math.h>
#define SIZE 100000 //这里是随机位置产生的位置
#define LEN 3000 //把距离的长度划为3000份
#define DEG 3140 //把针与线的角度划为3140份
int main_my()
{
long double nCount =0;//nCount记录相交的次数
long double a,b;
a=b=0;
srand(time(NULL));
for(double i=1;i <=SIZE;i++)
{
a=rand()%LEN+1;//a为针的一端距离线的距离
b=rand()%DEG+1;//b为针与线的角度
b=b/1000;
b=sin(b);
if((LEN*b/2)> a)//针的长度与正铉的乘积大于a则相交
nCount++;
}
double Ans=SIZE/nCount;
cout<<\" pi value is : \"<<Ans<<endl;
cout << \"\\n\\t press Enter to exit ...\" << endl;
cin.get();
return 0;
}
该程序在VC++ 6.0 下测试通过。
“单位园”的函数表达式是 这个公式说明了波合成单位圆的条件是：幅值、频率相等，相位差90度，仅幅值不相等将合成椭圆或者线段，而不是单位园。在这种情况下波的特性将消失，将波（包括波的能量）固定该圆所覆盖的空间内，这个特性可以解释M=E/C2方程， 该方程由爱因斯坦质能方程的变换后得到。爱因斯坦质能方程（E=MC2）表示 质量可以转换为能量，这在核反应中得到了验证。公式M=E/C2蕴涵着能量可以转换为质量，目前人类还无法实现能量转化为物质。在自然界中要让波合成圆，要满足上面提到的三个条件是比较困难的。原因之一是，稳定的相位差，举例来说容易明白，托马斯.杨的双缝干涉实验和查尔斯•汤斯发现激光，这两个成功的案例，都抓住了稳定的相位差这个条件 ( 激光的相位高度一致，即相位差为零)。原因之二是，在单位圆的表达式中不是正弦和余弦的求和，是正弦的平方与余弦的平方求和，而正弦或者余弦的最大值是1，意味着小数相乘，小数相乘可以看作是“求这个数的几分之几是多少”。例如0.2×0.3表示求0.2的十分之三是多少。这个苛刻条件，表明了两个波之间 相互作用的数量关系是非线形的，这点非常关键，在第七章<<浅论光本质>>还要讨论到。原因之三是,即使合成了一个圆，这个圆是否稳定的存在，还于取决于具体环境，这个在后面的章节中论述。
蒲丰掷针实验刚好回避了上诉三个条件，付出的代价是需要重复进行许多次相同的实验。物理学史上“电子衍射实验”，与蒲丰掷针实验是吻合的。
1924年，德布罗意在博士论文中首次提出了“物质波”概念。德布罗意假设了物质粒子的波动性与光子有相似之处，提出了把粒子能量的量子化与有限空间中驻波的频率及波长的不连续性联系起来。当时，德布罗意给出了一定的解释，但是没有从实验中给出证明。
图4-3 电子衍射实验
这一假设于1927年被戴维逊和革末的电子衍射实验所证实，当电子射线穿过一薄晶片时，像单色光通过小圆孔一样发生了衍射现象。如果实验时间较短，则在进行衍射实验的照相底片上出现若干似乎是不规则分布的感光点[图4-3（a）]，这表明电子呈粒子性。若实验时间较长，在底片上就形成衍射环纹[图4-3（b）]，显示出电子的波动性。
到此我们从另外一个角度解释了，自然界对圆形有偏爱（星系的形成演变过程是从不规则——棒状——漩涡——椭球）的原因。这偏爱背后隐藏着的自然规律是波到圆的转换。
2、下面从数学、物理的角度讨论圆转换成波。
正弦和圆的关系是微妙的，相互交融在一起。由一个圆，我们可以绘制出一条完整的正弦曲线。在中学，这称作单位圆法画正弦曲线，在大学物理中，称为用旋转矢量法画简谐振动图像。
图4-4 单位圆法画正弦曲线
本书的第二章介绍的沙漏实验，是物理学上圆转换成波的方法。
在物理学上圆与波之间的转换另一个重要应用是光谱分析。光谱分析方法从诞生之日起，一路走来，成就卓著，凯歌高奏。为什么光谱分析方法可以用来鉴别物质的组成?为了回答这个定义，我们先给出与光谱相关的定义和玻尔理论。
（1）与光谱相关的定义
白光是由波长不同的各种光组成的复合光。白光通过棱镜后，不同波长的光就以不同的角度折射，形成一条按红、橙、黄、绿、青、蓝、紫次序连续分布的彩色光谱，这种光谱称为连续光谱(continuous spectrum)。
原子吸收光谱法是利用气态原子可以吸收一定波长的光辐射，使原子中外层的电子从基态跃迁到激发态的现象而建立的。由于各种原子中电子的能级不同，将有选择性地共振吸收一定波长的辐射光，这个共振吸收波长恰好等于该原子受激发后发射光谱的波长，由此可作为元素定性的依据，而吸收辐射的强度可作为定量的依据。
原子发射光谱利用原子或离子在一定条件下受激而发射的特征光谱来研究物质化学组成的分析方法。
（2）玻尔理论
1913年玻尔在卢瑟福核原子模型的基础上，结合普朗克（P1anck M）的量子论、爱因斯坦（Einstein A）的光子学说，提出了氢原子的电子结构理论。
普朗克量子论认为：辐射能的吸收和发射是不连续的(discontinuous)，是按照一个基本
量或基本量的整数倍吸收和发射的，这种情况称为能量的量子化(quantization)。能量的最小的基本量称为量子(quantum)。爱因斯坦提出的光子学说认为：光不仅是一种波，而且具有粒子性，从实验可得出光子的能量E和辐射能的频率ν成正比，即：
E=hν
光的动量p与光的波长l成反比，即：
p=h/ l (4-1)
式中h=6.626×10—34J•s，称为普朗克常数(P1ank constant)。上述二式把光的粒子性和波动性联系了起来。 玻尔把量子化的概念和爱因斯坦的方程4-1应用于原子核外电子的运动，根据辐射的不连续性和线状光谱有间隔的特性，推论原子中电子的能量也不可能是连续的，而是量子化的，并大胆假设提出了原子的玻尔模型：
①原子中的电子不能沿任意的轨道运动，而只能在有确定半径和能量的轨道上运动，即电子运动的轨道是量子化的。电子在这些轨道上运动时并不辐射出能量。
②在正常情况下，原子中的电子尽可能处于离核最近的轨道上，这时电子被原子核束缚较牢，其能量最低，称为基态(ground state)；当原子受到辐射、加热获得能量后，电子可以跃迁到离核较远的轨道上去，即电子被激发到高能量的轨道上，这时原子处于激发态(excited state)。轨道的这些不同的能量状态，称为能级(energy level)。氢原子轨道的能级如图4-6所示。
③处于激发态的电子不稳定，可以跃迁到离核较近的轨道上，同时以光的形式释放出能量，光的频率决定于两原子轨道的能量差：
由于各轨道的能量不同，各轨道间的能量差也就不同，所以电子从一高能量轨道跃入一低能量轨道时，只能发射出具有固定能量、波长和频率的光束，这就是原子产生不连续的线状光谱的原因。原子的线状光谱是原子中轨道能量量子化的实验证据。必须说明，在某一瞬间，一个氢原子中的电子跃迁只能得到一条谱线，我们观察到的氢原子光谱是许多氢原子的电子跃迁所产生的。不同元素的原子由于原子的大小、核电荷数和核外电子数不同，电子运动轨道的能量就有差别，所以原子发光时都有各自特征的光谱。利用这一点就可以进行元素的原子光谱分析。
（3）进一步解释
从光谱相关的定义和玻尔理论我们可以，光谱与组成物质的元素以及光源的激发方式有者密切的关系，其原因是圆与波之间的转换。如 “有选择性地共振吸收一定波长的辐射光，这个共振吸收波长恰好等于该原子受激发后发射光谱的波长”，其本质就是波转换到圆，表现出来是导致电子从低能量轨道进入高能量轨道，而“发射出具有固定能量、波长和频率的光束”，其本质是圆转换到波，表现出来是电子从高能量轨道跃迁低能量轨道。
三、总结
圆与波之间的转换是，波的合成与分解的一种特殊情况。转换的条件是幅值、频率相等，相位差90度，仅幅值不相等将合成椭圆或者线段，而不是单位园。在这种情况下波的特性将消失，将波（包括波的能量）固定该圆所覆盖的空间内。波转换成圆是非线形的，因为“单位园”的函数表达式是 这个非线性的应用在第七章《浅论光本质》中还要用到。
波的合成与分解，圆与波之间转换的这两个物理现象，在自然界中广泛存在，涉及到宏观和微观的物理现象，笔者尝试以波的合成与分解为基础，圆与波之间的转换为桥梁构建统一理论，来解释各种自然现象，虽然大多数自然现象可以获得满意的解释，但还有些无法获得满意的解释，这些问题在第八章《心中的渴望——统一理论》中列出。 |
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发表于 2012-8-12 16:48:48
发表于 2014-10-29 20:46:33
