兔教授的红包机

威望

再讨论一下兔教授的红包机问题。

兔教授提出一个很有意思问题，我略加以引申，书园详见：
http://www.readfree.net/bbs/read ... ;toread=&page=1
“小木虫提供两种领取红包的选择：
小木虫赠送你一次领取红包的机会，每日一次，请根据自己的兴趣选择红包类型：
……”
问你几种方案中选哪种方案？

现在假如兔教授的红包机有以下三种方案：
方案1为每次在(0.5,1.5)中随机选择一个数，P(X1=0.5)=0.5,P(X1=1.5)=0.5。则随机变量X1的期望为1，方差为(1/2)^2；
方案2为每次在(-1,5)中随机选择一个数，P(X2=-1)=0.5,P(X2=5)=0.5。则随机变量X2的期望为2，方差为(3)^2；
方案3为每次在(-2.5,5)中随机选择一个数，P(X3=-2.5)=0.5,P(X3=5)=0.5。则随机变量X3的期望为1.25，方差为(3.75)^2；


各方案分别重复试验n次，记Y1＝∑X1（n个X1相加）,Y2＝∑X2（n个X2相加）,Y3＝∑X3（n个X3相加）,独立的分布，重复次数多了之后，其累积效应满足正态分布。这是中心极限定理（在特定条件下，大量统计独立的随机变量的和的分布趋于正态分布）。
即：
Y1满足正态分布N(μ,σ)=N(n,n/2)；
Y2满足正态分布N(μ,σ)=N(2*n,n*3)；
Y3满足正态分布N(μ,σ)=N(1.25*n,n*3.75)；

对于试验n次后的试验结果Y，当然是十分关心。定义方案优选准则：对于给定一个x，认为Y≥x的概率P(Y≥x)最大的那个方案是最佳方案。
三个方案重复试验1000次，Y≥x的概率P(Y≥x)如下图所示：
  

由图可以看到，方案1曲线Y1与方案2曲线Y2交于(800,0.655)，当x<800时，Y1>Y2。这说明当x<800时，应该选择方案1，因为相对于方案2，方案1重复1000次能够以更大的概率保证Y1≥x。

方案1曲线Y1与方案3曲线Y3交于(987,0.528)，当x<987时，Y1>Y3。这说明当x<987时，应该选择方案1，因为相对于方案3，方案1重复1000次能够以更大的概率保证Y1≥x。


当然，你会说当交点之后应该选择方案2或方案3。对此，我也深以为然。
可是我却不会这么做，因为在交点以后，概率已经下降到0.6或0.5以下。
我的建议是低概率事件最好不要参与，静静歇着，一直等到高概率事件出现。
等机会真正出现的时候，就应该全仓出动，杀它个片甲不留。

如果你对兔教授红包机的期望在扔1000次，可获得1500个币的水平（有期望是因为钱可能融资来的，不到1500币，可能就要亏本），我建议你不要选择任何一个方案。这三个方案都会让你失望，当然方案1会让你更加失望。
如果你对兔教授红包机的期望在扔1000次，可获得481个币的水平（这个钱比较便宜，只要481币就不会亏本），我建议你选择方案1，而且方案1会带惊喜给你。

附matlab程序：
n=1000;
x=[-10000:10000]&#39;;
p1=1-normcdf(x,n,n/2);
p2=1-normcdf(x,n*2,n*3);
p3=1-normcdf(x,n*1.25,n*3.75);
figure
plot(x,p1,x,p2,x,p3)

joen

嘿嘿，随机并非就是都等同机会

指舞如歌

威望兄是真内行。在兄面前，偶就不冒充专家了。举手发言，提个问题。

单就预期收益值而言，方案2最优，方案3次之，方案1最次。而威望兄的结论是各方案之间的优劣依赖于x的取值。威望兄的结论与直观结论似有出入。

之所以如此，我觉得威望兄隐含地引入了“主观收益”。根据x值在威望兄的分析中所扮演的功能来考虑，威望兄的分析等价于如此规定主观收益值和客观收益值：

客观收益值即获得的金币数。主观收益值是二值的：当客观收益值大于或等于x时，主观收益值为1；否则主观收益值为0。

明确引入这个预设以后，威望兄的分析没有问题。

引用第1楼joen于2009-04-24 17:10发表的 :
嘿嘿，随机并非就是都等同机会

回joen兄：
“随机并非就是都等同机会”，确实如此。不过，威望兄预设了“等同机会”。

秋水小柯

哎，红包机，红包机，自从威望不开红包机，俺就再没中过红包

威望

我觉得这个问题很有趣，原因在于平时的生活中，很多时候只考虑收益，而忽略了对风险的评估。

看了如歌兄的回复，我意识到我在顶楼的表述是不够完整的，因为我从我的习惯思维出发，而作出选择方案1的决定。在日常生活中，我是风险厌恶型。

在上图中，0.85≤P(Y≥x)≤1区域，不妨可定义为低风险区域，在这区域实现预期收益的成功概率高，而面临失败的可能性小。
在0≤P(Y≥x)≤0.2区域，不妨可定义为高风险区域，在这区域实现预期收益的成功概率低，而面临失败的可能性大。

在现实生活中，钱是有品味（taste）的。

有的钱只能承受一定风险，所以只能在低风险区域活动。比如一些固定利率的贷款，对于这类钱，管理目标是预计收益率大于固定利率而风险要足够低。加大贷款额度即可实现低收益率下的高收益。这里要特别控制的是风险。

而有的钱可以承受更大的风险，因此可以到高风险区域活动。比如一些额外的诸如买彩票的钱，对于这类钱，管理目标是预计收益率要足够高，降低投入额度在可承受（完全失败）范围之内，这里要特别追求的是收益率。

基于以上考虑，方案的选择，应该与预望收益(x)有关，与钱的品味有关。

如果你和我一样是风险厌恶型，预望收益低(x值小)，我建议你选择方案1。
如果你是一个风险喜好型，预望收益高(x值大)，我建议你选择方案2或方案3。

另外，如果兔教授的红包机作为金融产品出售，方案1红包机售价不可大于481币，否则将被风险厌恶型所抛弃。而方案2红包机、方案3红包机售价可高达481*2，也不必担心失去风险喜好型市场。

澹台秋水

我说威望啊，我觉得你的那个风险评估的计算方式很值得商榷

也就是说你的第二个变量“方差”在这里是比较不靠谱的说

再极端点儿，给你个方案四：或者中红包100，或者被扣1分，这种情况，不用计算也能一眼看出比前面的3个方案都划算。但是按照你的这个风险评估公式套，却是风险最大的一个方案（按你的计算方法，此方案的方差为50.1^2，101个方案1才抵得上1个方案4）

威望

引用第5楼澹台秋水于2009-04-25 10:11发表的 :
我说威望啊，我觉得你的那个风险评估的计算方式很值得商榷

也就是说你的第二个变量“方差”在这里是比较不靠谱的说

再极端点儿，给你个方案四：或者中红包100，或者被扣1分，这种情况，不用计算也能一眼看出比前面的3个方案都划算。但是按照你的这个风险评估公式套，却是风险最大的一个方案（按你的计算方法，此方案的方差为50.1^2，101个方案1才抵得上1个方案4）

101个方案1比你的方案四强，101个方案1也比一个方案1强。
但是一个方案四很难与一个方案1比较，风险喜好型会选方案4，但风险厌恶型会选方案1。
风险厌恶型之所以会选方案1，是因为他只要完成特定的管理目标。他的收益来自管理费。

澹台秋水

你的这个风险评估的计算方法适合买彩票

只有一次机会，你选择哪一种？

但是兔教授滴那个红包机却是长期的，这次中了蓝包亏了，下次可以弥补回来滴。。。。

yu_xin51

最近开始领冒险性红包，间隔两三天领一次，共三次，均为+5。
准备在接下来的一段时间里继续验证，看好运能持续多久。。

小鹿

俺一共才领过2次还是3次

hpudqx

引用第8楼yu_xin51于2009-04-29 21:26发表的 :
最近开始领冒险性红包，间隔两三天领一次，共三次，均为+5。
准备在接下来的一段时间里继续验证，看好运能持续多久。。

上次说到从未出现过连续三个蓝包，结果从前天开始出现了三个蓝包。
怀疑是小木虫的奸细看了我的回帖，故意刁难我。

云之惑

引用第10楼hpudqx于2009-04-29 21:45发表的 :

上次说到从未出现过连续三个蓝包，结果从前天开始出现了三个蓝包。
怀疑是小木虫的奸细看了我的回帖，故意刁难我。

呵呵，这里有不少超版的吧！