备战2009年全国初中数学联赛记录帖(4楼设活动，欢迎参与!)

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　　　　　　　　　　备战2009年全国初中数学联赛记录帖

　　班上几个学生报名参加全国初中数学联赛，本作重在参与之目的．想借此机会让他们多解一点数学题，多思考一点．仅此而已！

　　顺便码点文字，留点记录！

　　数学竞赛题，已成题海，挂一漏万的从中采摘一点，供学生思考！

　　第1题　已知：正数a、b、c、A、B、C满足：a＋A＝b＋B＝c＋C＝k．
　　求证：aB＋bC＋cA＜k＾2．
　　
　　欢迎大家参与解答！
　　
　　新年第一贴！

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　　前不久，刚在家中开通了宽带，现在爬上论坛中的机会要多些了！
　　趁假期中没有其中事情的干扰，思考一下，关于竞赛的事，码一点材料，以备开学时好用，开学了，其它事情忙，就容易考虑得不周到．
　　争取每天发一点内容上来，当然走亲访友了，这个计划就不容易完成．
　　还有就是自己自控能力不是很好．开学后，也准备断掉家中的网络，一心教书．
　　
　　现在的竞赛题，用浩如烟海来形容，有点夸张，用多如牛毛来形容，并不为过．要找出在少花时间的情况下，对学生有切实的提高作用(竞赛题中的繁、难、偏、怪不在少数)的题，比较困难．学生的时间有限，再加上今年上半年，学生又要参加中考，一味多做题，恐不好平衡中考与竞赛，数学与其它科的关系．准备每天甩一、两道题给学生思考就可，至于那些所谓的什么奖，并不重要．
　　为什么首先选定这道题呢？
　　数学解题的灵魂是数学思想，这道题能够体现数形结合、对称的解题思想．用构造法和增设法解决问题的解题技巧．还可以一题多解，从不同的角度观察思考本题的解法．

分析一　注意到a＋A＝b＋B＝c＋C＝k，可以构造以k为边的等边三角形解决问题．
证法一：构造以a＋A、b＋B、c＋C，且满足a＋A＝b＋B＝c＋C＝k为边的等边三角形，有  


说明　解题的过程中有很多公式与图片，不方便直接弄上来，只好制作成图片！
　　　　本部分内容完成于2009年1月26日。

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原创：
第二题　证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u，v满足
　　  
　　(2007年全国初中数学竞赛最后一题)
　　
　　这是第二题，为什么选中这一题呢？
　　它的表述很简洁，不附加其它条件，可以用“漂亮”二字来形容它．
　　先说一下，这一题的前世今生．这个题最原始的形态，最早可以追述到俄罗斯学者波拉索洛夫著的《平面几何问题集及其解答》中的一题，原题如下：
　　  
　　(若有发现更早的内容，请朋友们帮助补充)
　　2007年作为全国初中数学竞赛题，改变了一个形式，据报此题的得分率很低，做对者比较罕见．
　　2007年第3期《中学数学杂志》(曲阜师范大学)P58刊登董林、郭健的文章《悟透本质　方可游刃有余》，对此题进行了分析，并给出了三种比原参考答案更简单的方法．
　　此君又在2007年第7期《中学数学教学参考》(陕西师范大学)初中版上刊登《悟透本质　解题方可游刃有余》的文章分析此题，与前一篇文章几无差别，只不过署名中仅有董林，并无郭健之名而已．
　　此题又吸引了陕西师范大学罗增儒教授的目光，他在《中学数学教学参考》(陕西师范大学)初中版第9期、第10期上以《心路历程：问题本质的领悟》再对此题进行了几乎体无完肤之分析，并一口气给出了6种新证．
　　话说又过了几过月，罗增儒教授又在2008年第1期《中等数学》(天津师范大学)上《数学奥林匹克初中训练题12》，将此题进行改编，形成如下题模样：
　　在等边△ABC内部任取一点P，联结PA、PB、PC．求证：必存在PA、PB、PC中的两条线段，其长度m、n满足
　　  
　　可见此题已经与原题在叙述上有很大的差别了，解题的难度也有所提高．

PS：
1、前面的提到的三种杂志，这个年头，订阅一年要近200RMB！
2、以上言论均出于自己的思考，若有不完善之处，请大家补充！若有冒犯之处，请指出，必改！
3、挂一天，明晚给出一些解答！
4、祝版主、朋友们新年快乐！

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用公式编辑器搞的图片太多，只能搞成一个大图片出来。。。。

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活动　现拟7个结论（部分结论自拟）于求证中，稍后我会给出证明．大家可以接着向下编拟能够证得的结论，视情况适当给予论坛币，能够有证明更佳．一些明显可见的结论，比如：AB＝BC＝AC，正△ABC的面积之类类，就不需要了，同时，对于前面的结论AE^2－AB^2＝BE•EC，改变为AE^2－AC^2＝BE•EC，将被视作同一结论，不评财富；欢迎大家积极参与，期待您的精彩结论！

ly188

哈哈 平面几何 是初中时的最爱~~ 很好玩额~
比大学里学的枯燥的平面解析几何好多了

延长EB至F,使得BF = CE,连接,AF
∵ABEC内接于圆 ∴ㄥABF =  ㄥACE
∵AB = BC
∴ΔABF和ΔACE全等
∴AE=AF ,ㄥCAE= ㄥBAF
∴ㄥEAF = 60度
∴AE=EF=BE+CE

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引用第5楼ly188于2009-03-13 09:48发表的 :
哈哈 平面几何 是初中时的最爱~~ 很好玩额~
比大学里学的枯燥的平面解析几何好多了

延长EB至F,使得BF = CE,连接,AF
∵ABEC内接于圆 ∴ㄥABF =  ㄥACE
.......

谢谢版主参与，现在正忙，没有及时的更新，稍后补一点。
今年的全国初中数学联赛是2009年4月12日9：00－11：30分。

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已经考完了，忙得一团糟，考得不理想。今天刚在家中又开通了宽带了，后面不打算停了。。。

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学生参加竞赛的成绩已经出来了！
共带六个学生去参与决赛，其中三个人获奖！

2009年全国初中数学联赛

国家级三等奖两名：郑超、毛建军。

乐山市一等奖一名：熊小梅（女）。

这个结果比我预想的要好一点，我期待他们的，能有人获省奖就算满意了，看到有国家级奖，飘了一下！
　　也许这个奖对于很多牛人来说不值一提，但对于这乡下的孩子们来说，对于我自己的教学来说，成了鼓舞我们前进的一个一个基石！也许我的下届学生可以取得更好的成绩！
　　在此感谢关注过此贴的朋友，更要感谢在论坛里帮我下书的朋友！
　　感谢golden21c版主、醉版给予的支持，论坛币我会求对孩子们的发展有用的书籍！
　　期待下一届的孩子们。。。。

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又到一年竞赛时，进来看看了。。。