也谈“循环论证”

pxc417

也谈“循环论证”
彭翕成    pxc417@126.com  
   武汉 华中师范大学 教育部教育信息技术工程研究中心   430079

《数学教学》（2007年第3期）刊登了文[1]。该文作者对该校高一学生作了一次小测试，测试内容包括“请写出一元二次方程的求根公式并加以推导”，分析测试结果之后得出一些结论，其中有这么一个结论“用韦达定理来证求根公式，犯循环论证错误，占7％”。笔者对此有不同看法：难道用韦达定理来证求根公式就一定犯了循环论证错误吗？
笔者认为循环论证可以这么解释：A成立，因为B；B成立，因为A。所以实际上的论证是：A成立，是因为A。这个论证中其实用A和B分别作了前提和结论，互相引证，互为结论，所以从结构上看似正确，其实什么都没证明。而一般正确的逻辑中，前提是确定的，一般是公理性的东西，如我们都知道A（不需论证），因为A，所以B成立。下面我们先来看几个简单的“循环论证”的例子。
例1：小学生好奇心强，凡事都喜欢问一个“为什么”，而且一问就没有个完，非打破砂锅问到底不可。但是，在回答问题时，有一条规定：不能循环。譬如：
问：小明怎么那么喜欢睡懒觉？
　　答：因为他长得太胖。
　　又问：小明怎么长得那么胖？
　　再答：因为他喜欢睡懒觉。
　　为了说明“小明喜欢睡懒觉”的原因，就用“他长得太胖”为理由。可是当问到小明为什么“长得那么胖”，又反过头来用“他喜欢睡懒觉”为根据来回答。用B来说明A，又用A来说明B，这就犯了“循环论证”的错误。
例2：中国古代没有拼音，这就给初学者认字带来了麻烦。有一种较为常见的标记读音的方法，就是用一个读音相同，且简单常见的汉字去标注那些难认、生僻的汉字。假如用来标注拼音的汉字不简单常见呢？那就会出问题：譬如有人不认得“渺”字，查字典之后，发现“渺（音缈）”，但此人也不认得“缈”字，等到去查“缈”字时，发现“缈（音渺）”，那么此人查字典的结果还是不认得“渺”字。这也犯了“循环论证”的错误，如果字典用一个简单常见的字“秒”来标注“渺”和“缈”的读音，则不会出现上述问题。
例3：很多中学生对数学的定义不重视，常常会犯“循环论证”的错误。例如：
　　问：什么是“直角”？
　　答：90°的角叫直角。
　　又问：什么是90°？
　　又答：直角就是90°。
这里用90°来定义直角，可又用直角来定义90°，犯了循环论证的错误。
从上述三个例子可以看出，循环论证“往往是在寻根问底的追问下出现的”，有人也许会问，例2没有追问啊？其实也是追问，只不过发生在人与字典之间而已。
关于循环论证，著名数学家张景中院士对此有过精辟论述（文[2]）：
“孤立地看一个命题的证法，是很难肯定它是否犯了“循环论证”的错误的。因为证明中还没有出现循环。循环是怎样产生的呢？往往是在寻根问底的追问下出现的。例如：学生用余弦定理证明勾股定理，教师追问“余弦定理怎么证明的呢”？如果学生又用勾股定理来证明余弦定理，教师则可以指出这是犯了循环论证的错误。反之，如果学生不用勾股定理而用其他别的方法给出了余弦定理的一种证法，那就不但没有犯循环论证的错误，而且应当表扬他的勇于思考的精神。
因此，说某种证法“暗含”循环论证，严格说来是不确切的。你说他的证明中用到了某某定理，而这个定理又是如何如何证明的，他可以反驳到：我可以用别的方法证明那个定理，这就扯不清了。
有一种说法，说是以“现行教材系统为准”，这一说法并没有解决问题。因为，“循环论证”是一个逻辑概念。数学证题中有没有出现循环论证，应当有一个稳定的客观标准，——以目前数学公理系统为准，而不应当随教材的变化而变化。否则，同一题目的同一做法，今年是“循环论证”，过几年又可能不是了。在中国是“循环论证”，在美国可能就不是了，这就乱了。”
现在回到本文开始的问题，笔者猜测文[1]的作者认定“用韦达定理来证求根公式，犯循环论证错误”的理由如下：先用配方法求得一元二次方程 的解为 ，然后得出韦达定理： ， 。而此时再反过来用韦达定理推导求根公式（利用恒等式 得 ）。
现在问题的关键就在于：能否不用求根公式求出韦达定理。如果可以的话，那么用韦达定理来证求根公式就没有犯循环论证错误了。答案当然是肯定的，试想一下，一元n次方程（n≥5）是没有求根公式，但存在韦达定理，其证明用到比较系数法。下面就给出两种不用求根公式证明韦达定理的方法。
法1：设 、 为方程 的两个根，则可设 ，即有 ，根据方程两端系数相等，则 ， 。此法可推广到一元n次方程。
法2：设 是方程 的两个根，于是有 ， ，两式相减可得 ，即有 ；两式相加可得 ，变形得
，将 代入可得 。（注：当 时，不能用此证法。）
其实不单是韦达定理的证法可以多样，推导方程的求根公式也不仅仅只有书上那么一种证法。我们需要求新求变，只有变通，才能长久。对于方程 ，易见当方程缺少x的一次项时是容易求解的。为此作变换 ，将原方程变形为 ，化简得 ，当 时，此方程的根为 ，则 。此法可推广到求解一元3次、4次方程。
在中学数学中，很多定理都是可以互相推导的，譬如“正弦定理，射影定理和余弦定理”，而且用多种方法推导定理以及定理之间的互相推导是一件极其有意义的事情，这有利于扩宽我们的思路，提高我们的数学水平，逐步使得知识点之间相互联系，左右逢源，最终融会一体，形成系统。譬如能够想到利用恒等式 来推导求根公式是非常值得鼓励的，在解析几何解题过程中，需要联立直线与圆锥曲线的方程，就时常要用到这一逆推关系。
在1980年高考数学试题中，有一题是要考生证明勾股定理。试题是：“已知：在直角△ABC中，∠C为直角，c为斜边，a、b为直角边。求证： 。”有些考生用三角恒等式来证明勾股定理：由 可得 ，即 。一些老师认为这样证明犯了循环论证的错误，因为在他们心目中已经有一个根深蒂固的模式：一定要先有勾股定理，然后才有三角恒等式 。而《数学教学》（2006年第10期）刊登的文[3]却完全打破了这一观念！
文[3]先利用类比的思想，将有一个角为A的单位小菱形的面积定义为sinA，然后根据面积关系得到两个基本公式：（1）直角三角形中锐角的正弦等于对边比斜边： ；（2） （注：为了迅速展开体系，此处还未引入余弦的定义）；当 时，可推出 ，即 ，于是可得勾股定理 。
这一设想充分利用几何的直观和代数的严谨，将三角、几何、代数溶为一炉，互相渗透，有利于提高学生的数学素质和思维能力。对于这样一个极有创意的设想，著名数学教育家张奠宙教授给予高度评价，认为是“博采众长之后，中国人自己的一个创造”（文[4]）。
从当前高考命题的趋势来看，已不大可能在正规的试卷上出现“证明勾股定理，推导求根公式”这样的题目，所以老师们大可放心，要舍得放手，大胆鼓励学生从多角度去思考问题，对所学定理进行顺推，逆推，广泛联系，而不要一谈“循环论证”就色变。只有这样，学生才能将所学知识有机串联起来，不致于“只见树木，不见森林。”

参考文献
[1]  方仰群.从小测试看不和谐.数学教学.2007.3
[2] 张景中.关于“循环论证”的一点不同看法.数学通讯.1993.12
[3] 张景中.重建三角,全局皆活——初中数学课程结构性改革的一个建议.数学教学.2006.10
[4]  张奠宙.让我们来重新认识“三角”——兼谈数学教育要在数学上下功夫.数学教学.2006.10

此稿投向华东师大的《数学教学》，已录用。

hsq2516941

偶是教数学的，看内容，应该可以发表的，说得不错。再看后面，已经被录用，祝贺中。。。。以后多交流。。。。

tianyu06

循环论证，和循环定义，是否可以区分一下？

有些是相关事实，可能文字上会呈现出循环因果关系方式（爱睡觉，发胖），其实，在不同的阶段，它们确实是形成一种正反馈，不严格地说，是互为因果的（在不同时段）。