探索 《马贼分马，考考你的逆向思维》√已有答案√欢迎拓展和应用√

shenjian

一伙马贼共5人，一天大发横财，抢了200匹马，回到山寨后，他们准备分赃，他们的方式很民主，首先，用抽签的方式，给每个人排号，然后，1号首先提一个分配方案，5个人一起投票表决，是否赞成，如果赞成票没有超过50%（＝50%也不行），1号将被杀死，再由2号提出分配方案，由包括2号在内的4人投票表决，如果不幸，赞成票没有超过50%（＝50%也不行），2号也要被杀死，再由3号提分配方案，依此类推........
问题：如果你是1号，你将提出一个怎样的方案呢？？（关键是要使你的收益最大化）

秋水小柯

海盗分金啊

从后向前推，如果1至3号强盗都被杀，只剩4号和5号的话，5号一定投反对票让4号死，以独吞全部金币。所以，4号惟有支持3号才能保命。

3号知道这一点，就会提出“200，0，0”的分配方案，对4号、5号一毛不拔而将全部金币归为已有，因为他知道4号一无所获但还是会投赞成票，再加上自己一票，他的方案即可通过。

不过，2号推知3号的方案，就会提出“198，0，1，1”的方案，即放弃3号，而给予4号和5号各一枚金币。由于该方案对于4号和5号来说比在3号分配时更为有利，他们将支持他而不希望他出局而由3号来分配。这样，2号将拿走198枚金币。

同样，2号的方案也会被1号所洞悉，1号并将提出（197，0，1，2，0）或（197，0，1，0，2）的方案，即放弃2号，而给3号一枚金币，同时给4号（或5号）2枚金币。由于1号的这一方案对于3号和4号（或5号）来说，相比2号分配时更优，他们将投1号的赞成票，再加上1号自己的票，1号的方案可获通过，197枚金币可轻松落入囊中。这无疑是1号能够获取最大收益的方案了！答案是：1号强盗分给3号1枚金币，分给4号或5号强盗2枚，自己独得197枚。分配方案可写成（197，0，1，2，0）或（197，0，1，0，2）。

这里把金币换成马匹即可[/hide]

秋水小柯

一、经济学上的“海盗分金”模型


经济学上有个“海盗分金”模型，是说5个海盗抢得100枚金币，他们按抽签的顺序依次提方案：首先由1号提出分配方案，然后5人表决，超过半数同意方案才被通过，否则他将被扔入大海喂鲨鱼，依此类推。


假定“每人海盗都是绝顶聪明且很理智”，那么“第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化？”

推理过程是这样的：

从后向前推，如果1至3号强盗都喂了鲨鱼，只剩4号和5号的话，5号一定投反对票让4号喂鲨鱼，以独吞全部金币。所以，4号惟有支持3号才能保命。

3号知道这一点，就会提出“100，0，0”的分配方案，对4号、5号一毛不拔而将全部金币归为已有，因为他知道4号一无所获但还是会投赞成票，再加上自己一票，他的方案即可通过。

不过，2号推知3号的方案，就会提出“98，0，1，1”的方案，即放弃3号，而给予4号和5号各一枚金币。由于该方案对于4号和5号来说比在3号分配时更为有利，他们将支持他而不希望他出局而由3号来分配。这样，2号将拿走98枚金币。

同样，2号的方案也会被1号所洞悉，1号并将提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的方案，即放弃2号，而给3号一枚金币，同时给4号（或5号）2枚金币。由于1号的这一方案对于3号和4号（或5号）来说，相比2号分配时更优，他们将投1号的赞成票，再加上1号自己的票，1号的方案可获通过，97枚金币可轻松落入囊中。这无疑是1号能够获取最大收益的方案了！答案是：1号强盗分给3号1枚金币，分给4号或5号强盗2枚，自己独得97枚。分配方案可写成（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）。

“海盗分金”其实是一个高度简化和抽象的模型，体现了博弈的思想。在“海盗分金”模型中，任何“分配者”想让自己的方案获得通过的关键是事先考虑清楚“挑战者”的分配方案是什么，并用最小的代价获取最大收益，拉拢“挑战者”分配方案中最不得意的人们。企业中的一把手，在搞内部人控制时，经常是抛开二号人物，而与会计和出纳们打得火热，就是因为公司里的小人物好收买。

1号看起来最有可能喂鲨鱼，但他牢牢地把握住先发优势，结果不但消除了死亡威胁，还收益最大。这不正是全球化过程中先进国家的先发优势吗？而5号，看起来最安全，没有死亡的威胁，甚至还能坐收渔人之利，却因不得不看别人脸色行事而只能分得一小杯羹。

不过，模型任意改变一个假设条件，最终结果都不一样。而现实世界远比模型复杂。

首先，现实中肯定不会是人人都“绝对理性”。回到“海盗分金”的模型中，只要3号、4号或5号中有一个人偏离了绝对聪明的假设，海盗1号无论怎么分都可能会被扔到海里去了。所以，1号首先要考虑的就是他的海盗兄弟们的聪明和理性究竟靠得住靠不住，否则先分者倒霉。

如果某人偏好看同伙被扔进海里喂鲨鱼。果真如此，1号自以为得意的方案岂不成了自掘坟墓！

再就是俗话所说的“人心隔肚皮”。由于信息不对称，谎言和虚假承诺就大有用武之地，而阴谋也会像杂草般疯长，并借机获益。如果2号对3、4、5号大放烟幕弹，宣称对于1号所提出任何分配方案，他一定会再多加上一个金币给他们。这样，结果又当如何？

通常，现实中人人都有自认的公平标准，因而时常会嘟嚷：“谁动了我的奶酪？”可以料想，一旦1号所提方案和其所想的不符，就会有人大闹……当大家都闹起来的时候，1号能拿着97枚金币毫发无损、镇定自若地走出去吗？最大的可能就是，海盗们会要求修改规则，然后重新分配。想一想二战前的希特勒德国吧！

而假如由一次博弈变成重复博弈呢？比如，大家讲清楚下次再得100枚金币时，先由2号海盗来分……然后是3号……这颇有点像美国总统选举，轮流主政。说白了，其实是民主形式下的分赃制。

最可怕的是其他四人形成一个反1号的大联盟并制定出新规则：四人平分金币，将1号扔进大海……这就是阿Ｑ式的革命理想：高举平均主义的旗帜，将富人扔进死亡深渊……

制度规范行为，理性战胜愚昧！


如果假设变为，是10人分100枚金币，投票50%或以上才能通过，否则他将被扔入大海喂鲨鱼，依此类推。50%是问题的关键，海盗可以投自己的票。因此如果剩下两个人，无论什么方案都会被通过，即100，0。
往上推一步，3个人时，倒数第三个人知道如果出现两个人的情况，因此它会团结第一个人，给他一个金币

“往前推一步。现在加一个更凶猛的海盗P3。P1知道———P3知道他知道———如果P3的方案被否决了，游戏就会只由P1和P2来继续，而P1就一枚金币也得不到。所以P3知道，只要给P1一枚金币，P1就会同意他的方案（当然，如果不给P1一枚金币，P1反正什么也得不到，宁可投票让P3去喂鱼）。所以P3的最佳策略是：P1得1枚，P2什么也得不到，P3得99枚。
　　P4的情况差不多。他只要得两票就可以了，给P2一枚金币就可以让他投票赞同这个方案，因为在接下来P3的方案中P2什么也得不到。P5也是相同的推理方法只不过他要说服他的两个同伴，于是他给每一个在P4方案中什么也得不到的P1和P3一枚金币，自己留下98枚。
　　依此类推，最终P10的最佳方案是：他自己得96枚，给每一个在P9方案中什么也得不到的P2、P4、P6和P8一枚金币。
　　结果，“海盗分金”最后的结果是P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7、P8、P9、P10各可以获得0、1、0、1、0、1、0、1、0、96枚金币。
　　在“海盗分金”中，任何“分配者”想让自己的方案获得通过的关键是，事先考虑清楚“挑战者”的分配方案是什么，并用最小的代价获取最大收益，拉拢“挑战者”分配方案中最不得意的人们。
　　真地是难以置信。P10看起来最有可能喂鲨鱼，但他牢牢地把握住先发优势，结果不但消除了死亡威胁，还获得了最大收益。而P1，看起来最安全，没有死亡的威胁，甚至还能坐收渔人之利，但却因不得不看别人脸色行事，结果连一小杯羹都无法分到，却只能够保住性命而已。

二、最一般性、可随意更改数据的解释。


1、问题的提出：

　　　　　　5个海盗抢到了100颗宝石，每一颗都一样的大小和价值连城。
　　　　　　他们决定这么分：
　　　　　　1。抽签决定自己的号码（1，2，3，4，5）
　　　　　　2。首先，由1号提出分配方案，然后大家5人进行表决，当且仅当半数和超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则将被扔入大海喂鲨鱼。
　　　　　　3。如果1号死后，再由2号提出分配方案，然后大家4人进行表决，当且仅当半数和超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则将被扔入大海喂鲨鱼。
　　　　　　4。以次类推......
　　　　　　
　　　　　　条件：
　　　　　　每个海盗都是很聪明的人，都能很理智的判断得失，从而做出选择。
　　　　　　
　　　　　　问题：
　　　　　　第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化


（如果在规则中加上下面一条会更加完善：海盗在自己的收益最大化的前提下乐意看到其他海盗被扔入大海喂鲨鱼）


2、讨论如下：

使用倒推法：
一、假设1、2、3号已被扔入海中，则4号的方案必为100、0，且必定通过。故5号在得到3号1个宝石的情况下会坚决支持3号的方案。
二、3号的方案必为99、0、1，且必定通过。故4号在得到2号1个宝石的情况下会坚决支持2号的方案。
三、2号的方案必为99、0、1、0，且必定通过。2号不能把给4号的1个宝石给5号，5号未必坚定地支持2号的方案，因为3号必定通过的方案也能让他得到1个宝石。为了万无一失的保命，2号必须选4号，且必定通过。故3号、5号在各得到1号1个宝石的情况下会坚决支持1号的方案。
四、1号的方案必为98、0、1、0、1，且必定通过。

故答案是：98，0，1，0，1。

3、本题可推广如下：
有X（1=<X=<202）个海盗，100颗宝石，其它规则同上。

则1号海盗的最大化收益 Y =101-（（X+1）/2所得数取整）。
（当X=201及X=202时，1号海盗的最大化收益为0，但可保命。）  
Z（2=<Z=<X）号海盗的收益：Z为奇数时收益为 1，  Z为偶数时收益为 0 。


对于X>202时情况，可先在X=500个的情况下进行讨论，然后再作推广。
依然是使用倒推法。

203号海盗必须获得102张赞成票，但他无法用100个宝石收买到101名同伙的支持。因此，无论203号提出什么样的分配方案，他都注定会被扔到海里去喂鱼。

204号海盗必须获得102张赞成票，203号为了能保住性命，就必须让204号的方案通过，避免由203号自己来提出分配方案，所以无论204号海盗提出什么样的方案，都可以得到203号的坚定支持。这样204号海盗就可以保命：他可以得到他自己的1票、203号的1票、以及用100个宝石收买到的 100名同伙的赞成票，刚好达到所需的半数支持。能从204号那里获得1个宝石的海盗，必属于按照202号海盗的方案将一无所获的那102名海盗之列。

205号海盗必须获得103张赞成票，但他无法用100个宝石收买到102名同伙的支持。因此，无论205提出什么样的分配方案，他都注定会被扔到海里去喂鱼。

206号海盗必须获得103张赞成票，他可以得到205号的坚定支持，但他无法用100个宝石收买到101名同伙的支持。因此，无论206号提出什么样的分配方案，他都注定会被扔到海里去喂鱼。

207号海盗必须获得104张赞成票，他可以得到205号和206号的坚定支持，但他无法用100个宝石收买到101名同伙的支持。因此，无论207号提出什么样的分配方案，他都注定会被扔到海里去喂鱼。

208号海盗必须获得104张赞成票，他可以得到205号、206号、207号的坚定支持，加上他自己1票以及收买的100票，使他得以保命。从208号那里获得1个宝石的海盗，必属于那些按照204号方案将一无所获的那104名海盗之列。

现在可以看出一条新的、此后将一直有效的规律：那些方案能通过的海盗（他们的分配方案全都是把宝石用来收买100名同伙，自己连1个宝石都得不到）相隔的距离越来越远，而在他们之间的海盗则无论提出什么样的方案都会被扔进海里。因此，为了保命，他们必会投票支持排在他们前面的海盗提出的任何分配方案。得以避免葬身鱼腹的海盗包括201、202、204、208、216、232、264、328、456号，

即200+1、200+2、200+4、200+8、200+16、200+32、200+64、200+128、200+256。即

200+2的0次幂，200+2的1次幂，200+2的2次幂，200+2的3次幂，200+2的4次幂，200+2的5次幂，200+2的6次幂，200+2的7次幂，200+2的8次幂，

即其号码等于200加2的某次幂。



4、对本题作更一般的推广，如下：
有X个海盗，A 颗宝石，其它规则同上。

当X=<2A+2时，
则1号海盗的最大化收益 Y=A+1-（（X+1）/2所得数取整）。
（当X=2A+1及X=2A+2时，1号海盗的最大化收益为0，但可保命。）  
Z号（2=<Z=<X）海盗的收益：Z为奇数时收益为 1，  Z为偶数时收益为 0 。

当X>2A+2时，
若X=2A+2的B次幂，则1号海盗可保命，但无收益。其他海盗的收益情况由前面讨论可知有规律，但海盗的编号不固定，对它们的表述省略。
若X不等于2A+2的某次幂，设B=b是能使（X>2A+2的B次幂）成立的最大B，则（X+1-（2A+2的b次幂））号海盗可保命，但无收益。之前的海盗都会被扔到海里去喂鱼。之后的海盗的收益情况由前面讨论可知有规律，但海盗的编号不固定，对它们的表述省略。



5、其它

著名数学家和经济学家，加利福尼亚州 帕洛阿尔托 的 Stephen M. Omohundro 在1998年对此类问题进行了解答。

本题是该类问题的一个具体题目：
微软经典面试题------海盗分宝石，20分钟给出答案即可获得年薪8万美金的职位：
5个海盗抢到了100颗宝石，即 X=5，A=100。



此类问题体现出的多方博弈情况下的生存哲学：
1、没有永恒的朋友，只有永恒的利益。
2、在临界点之下，以决策者的身份出场，冒最大的风险，得到最大的利益。
3、在接近临界点的地方，是收益分配最接近公平的地方。半数的人均匀地受益，另半数的人均匀地不受益。
4、越过临界点之后，以决策者的身份出场，风险极大，甚至会将老本赔进去，而收益却为零，这是最糟的情况，因为大家的收益都不高。这是一种不稳定的状态，系统会通过自我调整向临界点靠拢。
5、永远都不可能发生所有人都有收益的情况，任何时候都有至少 一半或者接近一半 人无收益，除非只有1个人。

另外，如果逻辑推理没有漏洞，那么结论就必定站得住脚，即使它与你的直觉矛盾。

来自摆渡百科有关海盗分金的条文[/hide]

艺人他

博弈论
平分最好

秋水小柯

恩，博弈论，但决不是会平分

fjfzjm

数学差的很，猜一下：
这似乎是个博弈问题
简化一下，只有2个人分蛋糕。如果你和另一个人分一个蛋糕，用什么方法才能分配得公平？
一个公平的分法是：由其中一人持刀来分，拿刀分的人后取。这样，分的人因担心后取而吃亏，他所能采用的最好办法是尽量将蛋糕分平均，即使他后拿，也不会吃亏。
所以我认为，既然提方案不受赞同的那人会被杀死，失去分配的资格，当然应该每人分40匹马，公平合理，又能拿到马，又不会被杀死！不过前提是：后四号的4个马贼不要这样思考，即只要杀死第一个马贼，他们后四个就可以分到50匹马，以此类推！！那就麻烦啦！

fjfzjm

哈哈，查到原题：海盗分钱与纳什博弈
这道题这样描述的：5个海盗来分100个金币，抽签决定顺序，由第一个海盗提出金币的分配方案，当且仅当超过半数的海盗同意时，才可顺利往下进行，否则这个海盗就会被仍进海里，从而让第二个海盗来提分配方案，以此类推，直到最后一个海盗；假定每个海盗都足够聪明，以保住自己的生命和收获最多的金币为前提；问，第一个海盗如何分配，既不会被仍到海里，又能获得足够多的金币。
每个海盗都足够的聪明，第一个海盗当然必须得保住自己的性命，如果从自己的角度出发，不确定因素较多，很难做出自己的最优策略，于是他做出了以下一系列的思考：

如果只剩5号海盗，那么毫无疑问他将得到所有的金币还能而且不用牺牲，5号海盗没有任何风险。4号海盗，这时他思考，无论我做出怎样的选择，5号海盗势必不会同意我的方案，哪怕我分到0金币，5号也希望我把我丢到海里减少后患；于是4号海盗必须支持3号海盗以首先保证自己的性命，这是4号海盗的最优策略；3号海盗经过理性分析，悟到4号海盗势必会支持自己以保住性命，于是他可放心大胆的提出以下分配方案：100，0，0。而2号海盗在做抉择时，只要博得多于半数人的支持就会保住性命而分到金币，因此他提出的分配方案是：98，0，1，1；也就是2号海盗理性判断出3号海盗不会给4号、5号海盗金币，因此提出该方案博得4号、5号的支持就能超过半数而通过；这回轮到自己的1号海盗就能够以（97，0，1，2，0）的分配方案博得自己、3号、4号海盗的支持做出决策了，不仅通过半数保住自己的性命还分到了97枚金币。


还有一些变异的题目：

原题:5个囚犯，分别按1-5号在装有100颗绿豆的麻袋抓绿豆，规定每人至少抓一颗，而抓得最多和最少的人将被处死，而且，他们之间不能交流，但在抓的时候，可以摸出剩下的豆子数。问他们中谁的存活几率最大？？ 　　提示： 　　1，他们都是很聪明的人 　　2，他们的原则是先求保命，再去多杀人 　　3，100颗不必都分完   4，若有重复的情况，则也算最大或最小，一并处死以下是个人分析:假设1号和2号囚犯抓完绿豆,接下来轮到3号囚犯,3号囚犯摸了一下,剩下60颗(也可以假设剩下X 颗),这时3号囚犯知道了1号和2号囚犯两人共拿了40颗,聪明的3号囚犯可以立即选择拿20颗绿豆,这里可以这样分析:1号和2号囚犯可能1号拿1颗绿豆,2号拿39颗,记为(1,39),也可能(2,38),(3,37)....(19,21),(20,20),(21,19)....(39,1);这里可以看到,只要时1号和2号囚犯不是(20,20)的情况,3号囚犯抓20颗绿豆的数目在1号和2号囚犯绿豆数目中间,这样囚犯3可以绝对保命;如果1号和2号囚犯是(20,200的情况,囚犯3也只是跟他们一样数目,不是最大也不是最小,所以囚犯3拿20颗绿豆是最安全的.(即囚犯3应拿1号和2号囚犯拿走绿豆数目的平均数).同样的分析,囚犯4犯摸了一下,剩下40颗,囚犯4会拿20颗绿豆;这时剩下囚犯5,囚犯5拿20颗则全部处死刑,拿少于20颗则囚犯5因为最少颗被处死,囚犯1,2,3,4则因为一样最多全被处死刑.这里分析了囚犯3.4.5的最优策略,选择前面人的平均数.(若平均数不为整数,则取最小整数,如19.5就取19)现在分析囚犯2的策略:假设囚犯1拿了20颗(也可以假设Y颗),这时囚犯2不拿20颗,我们先取18颗来分析,接下来3,4,5号会取前者的平均数19,这样囚犯1和2两人将被处死刑.若囚犯2取22颗,囚犯3,4则会取平均数21颗,这时轮到囚犯5剩下16颗绿豆,囚犯2因为最多被处死刑,囚犯5因为最少被处死刑.所以囚犯2的最优策略是1)囚犯1拿多于20颗,囚犯2就拿20颗;囚犯1拿小于20颗,囚犯2就拿跟囚犯1一样多.囚犯2,3,4,5的最优策略已经知道了,囚犯一是聪明人,他也当然知道其他是怎么想的,囚犯1没有最优策略,只有劣势策略:拿1颗绿豆或拿多于20颗的绿豆.按这里的分析,5个囚犯的最终命运都是被处死刑,这个问题似乎是囚犯困境的另一种解释:即每人都选择对自己最有利的选择,结果对大家是最不利的!
本文来自: 人大经济论坛(http://www.pinggu.org) 详细出处参考：http://www.pinggu.org/bbs/dispbb ... mp;star=2&page=
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尚可

以上的推理是建立在自己的生命比钱重要，这些贼要很理智的前提下。
可以假设：如果只剩下4,5俩个那么不论4号如何分配,5号都可以说不同意,那么4号的下场是死,5号的结果是获得200匹马.
如果还剩下3,4,5三个.那么不论3号如何分配,4号只能同意,因为保命要紧(他们都是理智的),这样3号可以提出的分配原则是(200,0,0).不论5号是否同意,3,4号都会赞成.最终少数服从多数.结果便是3号得200匹马,4,5号没有
如果还剩下2,3,4,5四个,2号可以提出的分配原则是(198,0,1,1),这样3号肯定不同意.但是4,5号却会同意,因为与前面的方案相比,4号和5号都能获得一匹马,这总比没有强.因此4,5号也一定会同意.这样一来.结果便是2号得198,3号没有,4号和5号一人一匹.
如果是1,2,3,4,5五个,1号可以提出得分配原则是(197,0,1,0,2)或者是(197,0,1,2,0)这样2号肯定不同意,3号不得不同意,因为3号不同意,那么等到下一轮他就没有了.至于4号和5号嘛,只要给其中一个人两匹那么他(4或者5)便得到了比前一个方案更多的甜头.那么他们中的一个必然同意,而另一个必然反对.最后是三个人同意,两个人反对.使得此方案通过.因此最终的分配方法是(197,0,1,2,0)或者是(197,0,1,0,2)

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尚可

扩展一下，前提贼人们很理智，规则不变
1 如何解决10个马贼分200匹马的问题？
2 如果让500个马贼分200匹马？

killl

关键看他们中有没有团伙啊，有小团伙就坏了，或者看有没有当家的啊，一切听瓢把子的吧

shenjian

大家真是太热心了，这么快就找出了这么多答案