古典数学难题与伽罗瓦理论***pdf格式

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英年早逝的伽罗瓦:

是法国数学家,群论的创建者。1811年10月25日生于拉赖因堡,1832年5月31日卒于巴黎。
伽罗华在中学时就对数学很有兴趣，并于18岁时发表了第一篇论文。

伽罗华很早就开始了方程理论的研究，并提出了群的理论。但他多次提交给科学院的论文，分别由于审稿人傅立叶去世，及没有得到泊阿松的公正评价，使他受到很大打击。

伽罗华积极参加政治活动，导致1831年两次被捕入狱，出狱不久即死于一场决斗，年仅21岁。
伽罗华在解决代数方程的根式解问题中提出的群论，开辟了代数学的一个崭新的天地，直接影响了代数学研究方法的革命，对近代数学的发展产生了极为深远的影响。　
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。

  在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。

  三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。法国数学家拉格朗日更是称这一问题是在“向人类的智慧挑战”。

  1770年，拉格朗日精心分析了二次、三次、四次方程根式解的结构之后，提出了方程的预解式概念，并且还进一步看出预解式和方程的各个根在排列置换下的形式不变性有关，这时他认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。此后，挪威数学家阿贝尔利用置换群的理论，给出了高于四次的一般代数方程不存在代数解的证明。

  伽罗瓦通过改进数学大师拉格朗日的思想，即设法绕过拉氏预解式，但又从拉格朗日那里继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来的思想，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。

这个理论的大意是：每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为这方程的伽罗华域，这个域对应一个群，即这个方程根的置换群，称为这方程的伽罗华群。伽罗华域的子域和伽罗华群的子群有一一对应关系；当且仅当一个方程的伽罗华群是可解群时，这方程是根式可解的。

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