西方数学的历程(读《古今数学思想》)(原创，不定期更新)

长歌－废墟

哈,大家不要争了,关于数字是发明还是发现这个问题我想更多的牵涉到对科学是什么,科学是什么,这在西方有很多争论,一派将科学认为是一种社会的产物或者是一种约定,那么显然对他们来说数字一定是发明的,而另一派把科学认为是一种事实上的实在,和真理的一种表达,那么数字当然就是发现的 这还只是一种大类的分别,其实其中各种说法确实比较多样.不过对科学哲学我就远不如在科学史方面的知识了,这个问题hooker兄比较在行,问他更合适

长歌－废墟

　　　　　　晨曦中的巨人（一）：Fermat——数学爱好者的伟大榜样
　　17、18世纪是数学英雄辈出的年代，在科学史上从没有另一个的时期能和那个时代一样出现如此多的天才，即使是物理学家引以为豪的二十世纪的前30年的“黄金时代”也不能——因为那毕竟只是物理一个学科的变革而已——在1600—1800年当中几乎每一个现代科学都可以找到它们最辉煌的伟人。在数学和物理领域中打开这个伟大时代序幕的是三个各有特色的伟人，他们的功绩可以与文艺复兴时期的“文艺三杰”相提并论；而Fermat就是这三个伟人之一。
　　被贝尔称为“业余数学家之王”（顺便提一句，迄今无人对这个称呼提出异议，有数不清的数学著作这样引用这个恰当的称呼）的法国数学家费马本职工作是一个律师和政府公职人员，数学只是他的一个爱好，但这个爱好却使他成为17世纪除Newton以外最伟大的纯数学家。抱怨自由时间太少而无法完成自己伟大构想以及理论的“民间科学家”们，请你们记住，你们即将读到的那么多的成就都来源于一个业余数学爱好者在本职工作之余的爱好。
　　　尊重传统的数学史家的写法，先来说说Fermat在数论上的工作。数论虽然有着古老的起源，在Euclid的《原本》中就证明了有无限多个质数这个命题，后来丢番图（古希腊时期最伟大的数论家）又给这门学科添加了不定方程的内容，并且文艺复兴时代的几乎所有数学家都对数论问题发表过各种猜想。但是在Fermat以前数论更多的是由一个个单独的命题组成，没有任何的体系；Fermat曾经抱怨说数论被忽视了，他甚至说丢番图的工作也受到几何的限制——大概是因为古希腊过分重视几何忽视代数的缘故——Fermat确信数论有自己的领域：整数论。他的工作决定了在Gauss对数论做出贡献以前整个数论发展的方向。他在数论领域中证明了很多重要的定理，但更重要的是他提出了一种新的证明方法：无限下推法，如果假设一个数不具有某个性质，而可以证明一个比它小的数也不具有这个性质，通过反复的推理，最终可以认为一个很小的自然数也不具有该性质，而如果该自然数具有这个性质（这通常很容易证明）那么就导出矛盾，于是该命题的反命题成立。而他在数论中最有名的当然是：Fermat大定理，这个他只在丢番图的《算术》一书的旁白中偶然提到并断言自己已经证明了的定理，难倒了他以后几乎所有的大数学家——只有Gauss断言它只会是一个他的新理论的一个可有可无的推论，但Guass最终没能提出他的新理论——这个定理直到20世纪90年代被英国数学家证明，这个数学家成为有史以来第一个也可能将是唯一一个超过40岁的得到Fields奖的人。这样虽然Fermat虽然对自己的数论上的大多数定理都没有做出证明，但是历史证明，他的直觉惊人，除了一个被推翻以外都被完全证明是正确的。
　　下面必须提到的是Fermat在“坐标几何”或者说是“解析几何”上的工作。任何一个中学生在开始学习解析几何前都应该被教育它是有笛卡儿发明的。但是事实是Fermat在解析几何上的贡献至少与笛卡儿一样大。他事实上引入了斜坐标系，而且虽然由于他没有采用负坐标使得他的方程不能像他断言的那样代表整条曲线；他却肯定了如果方程是一次的代表的就是一条直线，而二次方程则代表着圆锥曲线，在他的《求最大值和最小值》中他引进了曲线y=x的n次方和y=x的负n次方。这几乎包含了现代高中学生学到的所有解析几何内容，甚至还有点超出。
　　微积分，Newton和Liebeniz为了它的优先发明权争的你死我活，整个英国数学界为了捍卫牛顿的优先权而与欧洲大陆的同事不相往来。但是Fermat在牛顿诞生13年前，Leibeniz出生前17年构想出来了微积分思想的主要要点——他唯一没做的是把他的方法归纳成傻瓜都能运用的方法——学高数的学生都应该在学罗尔定理前学过重要的Fermat引理，在这个定理的证明中就需要用到微分学的主要思想。
　　概率论，这个诞生在酒徒和赌徒的手中的学科，虽然如前面提到的Cardan等有做过一些讨论，但一直到Fermat和Pascal在彼此的通信中提到这个学科，才开始变的有些重要，他们的工作标志着概率论的开始。他们都运用到了组合理论。
　　在引述了Fermat如此众多的工作以后——甚至还有一项重要工作我提都没提到，而将它放到以后合适的地方——说实话我是有点惊奇以及惭愧的。我自认是个数学的爱好者，但从没意识到即使只是个爱好者也可以做出如此重要的工作——Fermat数学工作中的任何一方面都足够让一个专业数学家骄傲的走向坟墓 。
　　纪念Fermat，他是所有业余数学爱好者的榜样与永远的骄傲。
注：文中屡次提到的丢番图这位古希腊最伟大的数论家，任何玩过《轩辕剑3—山与海的彼端》的人都不应该感到陌生：在游戏中当主人公在威尼斯闲逛，来到一片墓地的时候，那里面有个数学家的坟墓，还出了一个迷题，让玩家选择数学家的寿命，那个数学家就是丢番图，游戏中的那个迷题几乎是后人对他生平的唯一资料，当然答案也很简单，他活了84岁。

醉乡常客

数学电子书.rar (65.11 MB)


里面有这套书！

louselice^_^

长歌所说的数字的发明，指的是代表“数”这个概念的符号被人类发明，同汉字中的“手”是代表一种人体器官的符号一样。“手”是人与生俱来的，不能发明也不能发现，但是“手”这个文字符号，却只能被发明，而不是发现。

同一种东西，不同的语言用不同的符号表达，这是语言任意的表现。“一、1、one, uno” 这些都是数字“1”，他们都是各民族的发明，而非发现，否则就成了神话——语言是“天书”，偶然被人类发现并代代使用，这个观点估计现在谁也不会认同的。

louselice^_^

引用第21楼法律初学者于2006-11-18 10:38发表的“”:



我想，简单的道理就是，数字，其实就像H和O一样，在我们不认识它们之前，水（HO2）就存在了。后来，只是发现了这两种元素。
不必拘泥于词语本身的含义。否则，即使是长篇的论战也怕分不清它们之间的区别呀

我来接着说，“水”这种物质是天然的，被人类发现的，人类用“水”这个符号代表这种无色的液体，是一种发明，用HO2来标记水这种物质，更是人为的，自然是人的发明。


之所以会有发明、发现的论战，是因为把“具体事物”和“抽象符号”混淆了。

妙行吉祥童子

阿基米德，数学史上最伟大的人物之一
古今数学思想有电子版的吗。。。。。

aπολλωv

引用第25楼妙行吉祥童子于2006-11-20 11:58发表的“”:
阿基米德，数学史上最伟大的人物之一
古今数学思想有电子版的吗。。。。。

网上都快泛滥了，这本书。。。。。。

呵呵

不过我想问的是，有Morris Kline这本原书电子版吗？

长歌－废墟

引用第26楼aπολλωv于2006-11-20 14:49发表的“”:


网上都快泛滥了，这本书。。。。。。

呵呵
.......

这个兄查一下netlib,有一回我似乎在里面见过,不过反正我不擅长搜索

长歌－废墟

　　　　　　　　　晨曦中的巨人（二）：Descartes——哲学，科学与数学
　　“Descartes是第一个杰出的近代哲学家，是近代生物学的奠基人，是第一流的物理学家，但只偶然地是个数学家。不过，象他那样富于智力的人，即使只花一部分时间在一个科目上，其工作也必定是很有意义的。”
　　这是《古今数学思想》的作者在本书中给Descartes一生杰出而广泛的成就做出的评价；给现代人一个深刻印象的是Descartes所涉及的主要领域：哲学、数学和物理在今天看来是如此的相距遥远，以至于不能想象一个现代的科学家能同时在这三个领域做出足以让后人纪念的贡献——而Descartes不仅在这三个领域做出了基础性的贡献，而且在整个17世纪他必须被认为是在哲学和数学两个领域中最伟大的人物。
　　这个身体不好的军人，在他服役与寻欢作乐的空隙中思考，研究着哲学与数学。虽然很多人会非常惊奇一个人如何在哲学与数学这两个极端的学科中平衡，但对Descartes来说做到平衡两者是再简单不过的事情——哲学和数学在他眼中本来就是同一个事物。作为解析几何创始者的他从没发表过数学方面的专著，解析几何是在1637年他出版的《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》这本哲学名著的附录〈几何〉中提出的；顺便说一句同时作为附录的还有〈折光〉与〈陨星〉两篇，其中〈折光〉一篇也是物理科学史上的名作。
　　Descartes是通过三条途径来研究数学的：作为哲学家，作为自然的研究者，作为一个关心科学用途的人，正是这三条不同的目的使他将数学和哲学的研究联系在一起。他从数学家的实践中想到了他认为的在一切领域中建立真理的方法：在公理的基础上给每一条结论提供一个证明并审查其中的推理步骤，使得这些步骤彻底而没有遗漏的可能。在《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》一书中他提出了四条公理：１.我思所以我在；2.每一现象必有原因；3.效果不能大于它的原因；4.心中本来就有完美、空间、时间和运动的观念。他从这四条公理出发推理出上帝一定是按照数学规律来建立自然界的；从另一个角度来说他试图在公理的基础上模仿数学——在当时主要是Euclid几何——在整个知识领域——当然也包括哲学这个重要的领域——建立真理的方法论也很好的解释了他如何在哲学和数学这两个如今的人很难联系在一起的学科中做出他惊人的成就。
　　作为自然的一个研究者Descartes在许多年中做了力学，光学和生物学方面的实验，1644年他出版了〈哲学原理〉一书是专门物理科学特别是运动定律和旋涡理论的。其中的旋涡理论是一种宇宙旋涡理论，试图说明行星为什么有自转和公转，这一理论是１７世纪最有势力的宇宙体系，甚至在牛顿的〈原理〉发表后相当长时间内，他的理论仍然是牛顿体系的一个有力竞争者（甚至到今天，当一些所谓”民间科学家”（多数是反相对论者）提出他们自己的理论的时候仍然会引用Descartes的这个旋涡理论），除此以外他对光学也相当有研究，光的折射定律必须被认为是他和Snell共同发现的。
　　当然Descartes在数学方面最重要的贡献是解析几何的创立。学习过初中平面几何的每一个人都可能对其中的证明感到变化莫测，一条辅助线的添加有时候必须被认为是灵感而不是思考的结果，对某一几何问题适用的证明方法对另一几何问题可能是毫无用处——说句题外话，我可能终身都会记得，在我中考的前一届，数学考卷的压轴题，为了证明一个问题，整整需要添加14条各色各样不同的辅助线，整个图形最后形似一个蜘蛛网，老师不得不把图形重新画了两次——当时的Descartes对这种现象也是深感不安（看到如此伟大的人物也为这现象不满——大概他也解不出有些题 ——任何普通人都应该欣慰了^_^）；另一方面他也批评当时的代数完全被公式控制，是“故意用来阻碍思想的艺术，而不象一门改进思想的科学”。他因此提出把代数和几何中一切最好的东西相结合。他完全看出了代数在一般性以及它把推理程序接写化和解题工作量减小的价值。他把代数应用到几何上的产物就是〈几何〉这个附录。在这一附录中他把代数用来解决几何作图问题——这个问题在古希腊和文艺复兴时期以至更为近代的时期都是相当重要的，没个初中生都应该学过什么是尺规作图——并在其中逐渐形成了用方程表示曲线的思想，但可惜他始终把方程和曲线结合的思想作为解决作图问题的一个手段，因此从思想的前途来说显然没有Fermat强调轨迹的方程来的广阔。
　　最后强调一个有意思的话题：对Descartes来说，数学根本不是思维的训练而是一门建设性有用的科学，他不推崇纯粹数学，他认为那些为数学而搞数学的人，是白费精神的盲目研究者。无论是解决作图问题还是设计完全聚焦的透镜，他都更多把数学——包括他自己创建的解析几何——看做是一种工具——他一生只写了《几何》这一篇数学附录且将它作为一本哲学著作的附录本身就表明了这一个态度。这一观点被后来的Fourier所继承从而引起无数纯数学家的反对，哪个方面更为正确这又是一个长远或许根本没有答案的话题了。
　　纪念所有为解析几何创立作出贡献的人，解析几何是数学的一个重要分支，它的建立使得数学与古希腊人的数学变得完全的不同。

husher

提个建议,
           注意书名是"数学思想" 不是数学家小传.
           仔细考虑一下到底是怎么样形成发展趋势的,顺便搞清楚几百年前人的结论
      这样只做书摘也没多大意义吧

长歌－废墟

引用第29楼husher于2007-05-17 22:10发表的 :
提个建议,
           注意书名是"数学思想" 不是数学家小传.
           仔细考虑一下到底是怎么样形成发展趋势的,顺便搞清楚几百年前人的结论
      这样只做书摘也没多大意义吧

　　哈,好久没注意这帖子了,所以现在才看到楼上的回复这几段本是我做的读书笔记而已,想到哪说哪,所以摘抄部分比较多(但也有部分是我从其它参考书中提取出来的)，原计划下面该是牛顿与微积分的的起源，由于这个话题对科学史来说实在过于广泛与重大，所以就卡壳了。

楼主在第四楼“传说与真相——一元三次方程的解法”一文中提到，卡丹是位“品行不怎么样的概率论的创立者”。此人“品行不怎么样”，由于三次方程解法的公案而广为人知，但他居然还是概率论创立者，此说似乎有些标新立异了？

关于概率论的创立者，一般提到的是帕斯卡、费马等人，而早期意大利的一些学者研究赌博现象，还不能称为“创立了概率论”。卡丹，大约就是这些意大利学者之一吧。

xilou001a

牛顿与微积分的的起源---不明白数学史的我好奇的问一句，莱布尼茨在这里担任了什么角色呢？

ever__f

引用第32楼xilou001a于2008-12-03 16:09发表的 :
牛顿与微积分的的起源---不明白数学史的我好奇的问一句，莱布尼茨在这里担任了什么角色呢？

莱布尼茨和牛顿几乎同时推导出了微积分基本定理，只不过二者立足的角度不同。牛顿用的是动态的流数，而莱布尼茨更侧重于无穷小量和微分。。。