今天学生问偶一个简单的问题：为什么长方形的面积……
今天学生（初中三年级，成绩是比较好的）问偶一个问题：为什么长方形的面积是长×宽，而不是其它？我首先肯定这个学生，并说：“这个问题问得相当有水平！我们知道今天的、全世界的面积公式，都源于长方形的面积公式，长方形的面积公式弄懂，面积问题的来龙去脉就清楚了！”
我对着全班继续说道：我们成千上万的学生从小学到大学到毕业，可很少有人去想这个问题，更少把这个问题做为一个问题去对待。数学当中都有为什么，不存在或者很少存在没有为什么的情况。。。这个问题一问，就意味我们要去探寻面积的本源是什么。。。
说点题外话，也有不是用两条线段之积表示面积的，比如：几个世纪以前，英国人就用day's work来作面积单位，作为大家都懂点洋文的同学们来说，一眼看过去知道它表示的真正含义；法国人曾经用man's work来作面积单位，英亩最初也是被规定为每人每天耕作面积的大小，后来将其标准化，可见这里的单位最初并不是长度单位的平方。
但是在历史上，无论是中国、埃及等文明古国都不约而同的选定长方形的面积是长×宽，而不是其它。
这个问题已经是很原始了，要解决它，得要从我们日常生活中总结出的公理出发。
提出这个问题很重要，要解决这个问题更有价值，同学们不妨去思考一下吧！
我在这里还是先提个头吧：
解决这个问题，大约要用到四个公理：
1、长方形的面积与长、宽有关（比如：固定宽，变化长，能感受到面积发生改变），不妨记为S（a、b）；
2、要规定单位面积，把长、宽皆为1的长方形的面积定为1，不妨表达为S（1,1）＝1。（至于如何得到1，在没有得到公式之前，不得而知）；
3、长方形交换其长与宽，其面积不变，可记为S（a、b）＝S（b、a）；
4、在没有重叠与遗漏的情况下，总面积等于各分面积之和。
从这四个出发，把长方形面积公式推导出来，同学们可以自己记下来，慢慢想，现在想不出来没有关系，自己想不出来，也没有关系，思考着是快乐的，今后若有机会读大学、或者购买课外书，关注一下这方面之内容。
我了解到陈景润先生的高徒罗声雄就在一本书上有这样一个证明（我上面提的四条公理也是源于此）
幸好自己比他们多看了一点点，交待得还算从容。
我在这时想问的是：
1、还有其它的证明之方法吗？（小学教科书上的那种不是证明的说明就不说了，偶在大学里学的是物理，数学中就只知道“数学分析”这几个字了，恐孤陋寡闻）
2、还有其它有效解释吗？
恐怖，现在的学生和老师都这么牛啊！ 我看了半天都有点晕，我可曾经是理科生，数学也还不错，嘿嘿
为什么要对全班说呢，呵呵，因为不是大家的问题，而是个别的问题，如果全班讲，会花去那些不需要掌握这部分知识的同学的时间
这个知识爆炸的时代，要让学生接受到尽量有效的知识，而不是尽量多的知识
其实我现在感觉作为一个老师，最重要的是不是说什么，而是不说什么
学生需要接受的，能够接受就那么多，将自己全部的知识统统灌输，总是会起反作用，会让学生学到的东西变得更少，该学的就没有学到
真的是个人最大的体会了
可能泼了楼主的冷水，勿怪，大家也可以探讨下，呵呵 偶在初中的时候也曾经问过类似的问题，中学阶段是最好求知的阶段，如果碰到一位像楼主一样耐心的老师，也算是学生的一件幸事。 地球为什么是圆的？为什么会有太阳？类似的问题？
长方形的面积为什么是长X宽。这个学生的求知欲不是一般，而且貌似也不太想事。老师你应该让他知道不是所有的事情都有为什么的 有问题就该知道为什么，很好 初中生的理解能力有限，
这样的课堂内容我估计好学生一定对您五体投地，
不过很多听不太懂的学生感觉您这是在掉书袋，
我觉得还是要兼顾学生（大部分）的理解能力，
这样的内容我觉得在奥数班上讲很精彩！！！
还有楼主可以看看类似拓扑和非欧几何这类相关的书籍，还有罗素的原理也很不错，希尔伯特的书也很好 楼主的证明还不够严格。
需要分a，b为整数，有理数，无理数来讨论，需要用到实数理论。 我在初中的时候，质疑的是政治论调 没有人灌输，纯粹是书看太杂了，自己好奇的结果，结果一次被斥责了，另一次被回避和默许了~前一个老师，我不记得她是怎样的老师了，只记得当时的回答，没有别的印象。后者，是我尊敬和感激的~~ 引用第4楼adam310于2009-01-06 21:11发表的 :
地球为什么是圆的？为什么会有太阳？类似的问题？
长方形的面积为什么是长X宽。这个学生的求知欲不是一般，而且貌似也不太想事。老师你应该让他知道不是所有的事情都有为什么的
实不知阿大兄想表达什么
另，关于ADAM,冒昧翻译为阿大，好像钱先生也喜好如此译来。 阿大就阿大吧，没有别的意思，让他们懂得不是所有的问题都有答案 楼主真有才,居然证明公理来误导学生 ,恐怖,长方形面积是所有面积的基础何来证明之说,最多从正方形面积推倒长方形而以 老师之牛，学生之幸！ 引用第7楼pxc417于2009-01-06 22:09发表的 :
楼主的证明还不够严格。
需要分a，b为整数，有理数，无理数来讨论，需要用到实数理论。
谢谢，确实是这样！
特别是无理数上，我有意为之，没有给学生提！在课堂上，并不是想证明它，只是花3、5分钟给学生介绍一下，对于无理数，要采取两边无限夹逼的方式得出面积公式，就目前初中生来说，无论是知识，还是解题技巧与能力上，不怎么可能达到这个高度。同时，如果在这里就给学生说要采取什么两边无限夹逼的方式，学生会觉得这太难了，肯定懒得动了，这就与我们要保护学生好奇心有点背离。理智告诉我，留点让他们觉得不太难的感觉，对他们更有用。因此也就没有给学生提了。
教书十几年了，这还是第一次有学生问这个问题，这个学生很多问题、回答，还是直达核心，只是这个孩子，勤奋上还很不够，恐在学习上难有大的作为，这是我自己的一点忧虑。 引用第2楼123buzhi于2009-01-06 20:26发表的 :
我看了半天都有点晕，我可曾经是理科生，数学也还不错，嘿嘿
为什么要对全班说呢，呵呵，因为不是大家的问题，而是个别的问题，如果全班讲，会花去那些不需要掌握这部分知识的同学的时间
这个知识爆炸的时代，要让学生接受到尽量有效的知识，而不是尽量多的知识
其实我现在感觉作为一个老师，最重要的是不是说什么，而是不说什么
学生需要接受的，能够接受就那么多，将自己全部的知识统统灌输，总是会起反作用，会让学生学到的东西变得更少，该学的就没有学到
.......
确实是这样，您不是给俺泼冷水，而我们的课堂就应该是要让学生接受尽量接受有效的知识，正如你说的一样，而且我也是这个观点。
可是为什么我要说这些呢？当时情景是正在进行数学期末复习，正在给学生讲相似形的性质：“面积的比等于相似比的平方，”并且在应用这性质解一些题，一个学生突然提出这个问题。学生有这样的好奇心，有这样的疑问，难能可贵，或许这些疑问与思考，今天来看，也许并不能带多大的眼前利益，以后逐渐会引发他对一些问题进行深层次的思考与探寻，也就花了3、5分钟说了上面一段话。提出了一些引子，并不是想在课堂上把它证明了（留下这只下蛋的鸡），而是把更多的疑问留给了学生，把一些思考的发端甩给了学生，然后我又言归正转的进行期末复习，要想现在学生自己能独立证明出来，有点天方夜谭的感觉，而是期待他们在以后的学习过程能够关注或者思考这方面的内容。。。。
另外，由于本人在大学里（也不是什么大学，就一师专）学的是物理系，对数学方面特别是高等数学方面的知识几乎为零，本坛大学老师、大学生不少，想问问，除了我了解的内容外，对这个问题的证明还没有其它的方法，自己也学一学，故有此一问。同时也顺便记录一下这个学生在这个时候问的这个问题。 刚上完晚自习下来，一下课，就有一个学生来说他自己对于这个命题的思考，并试着去证明，看来有点不知天高地厚的味道，前面我有意隐藏了证明过程中将会遇到的艰难险阻。他们没有意识到在解决这个问题的过程中对他们现在来说，会有多少难。我试着引导他们，不断的解决一点前进过程中遇到的困难。走一步看一步。当然这其中的证明，肯定不会在全班讲了，如果不经过自己的思考，讲之也无大益。关键是要让他们能有好奇心，对数学感兴趣就好。
我要感谢这个论坛里很多朋友对我的帮助：给我评了论坛币；让我在专家找书版里求到了很多我想看的书，有一部分书得到了朋友们的无偿帮助。对于求到书，一般来说立即要把它翻完，对于感兴趣的地方，则认真研读之。在课堂上课的感觉，自己的视野，对问题的认识，自然就要深刻得多了。
前天（2009年1月5日），家里刚弄通了宽带，爬上来的时候就要多得多了，顺便记录一下，算是留个印记。 楼主的做法很符合新课程的教学方式方法：引导、探究，你的学生很幸福和幸运，这样才能出创造性人才。 用1平方厘米的小正方形通过操作活动真正理解长方形面积的计算公式的由来，掌握了长方形面积的计算方法。
先让学生用1平方厘米的正方形摆，学生根据已有的经验摆出了两种情况，第一种是横着摆，第一行摆4个，摆了这样的3行，第二种是竖着摆，1列摆了3个，摆了这样的4列。第二层次：是让学生继续用1平方厘米的小正方形沿着长方形的长和宽摆，想到摆这样，无论是横着摆还是竖着摆，要求一共摆了几个小正方形，实际上就是求几个几，让学生初步感悟到了长方形的面积和几个几之间的联系，也就是长方形的面积=长×宽。 楼主还在证明啊,我可以证实这问题从没人证明过,长方形面积是从正方形推来的,正方形面积是公理 引用第17楼kiyuwwb于2009-01-08 12:01发表的 :
用1平方厘米的小正方形通过操作活动真正理解长方形面积的计算公式的由来，掌握了长方形面积的计算方法。
先让学生用1平方厘米的正方形摆，学生根据已有的经验摆出了两种情况，第一种是横着摆，第一行摆4个，摆了这样的3行，第二种是竖着摆，1列摆了3个，摆了这样的4列。第二层次：是让学生继续用1平方厘米的小正方形沿着长方形的长和宽摆，想到摆这样，无论是横着摆还是竖着摆，要求一共摆了几个小正方形，实际上就是求几个几，让学生初步感悟到了长方形的面积和几个几之间的联系，也就是长方形的面积=长×宽。
是的！实际上长方形面积的证明，也是由此出发！
我们希望讨论更深入一点的内容，由整数到有理数再到实数范围。由有理数到实数是一个飞跃。。。
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