几个漂亮的等式【与一个伟大的名字联系在一起——Euler】【原创】
论坛上面没有编辑数学符号的，特意做了张图帖出几点说明：
1.第一个等式很有名，当年Euler就曾经因为它而震惊了欧洲数学界，有兴趣的可以参看《数学与猜想》
第一卷，那里有Euler给出的天才的类比【虽然不是严格的】。
2.如果你想对sum（i^(-k),i=1..infinity）【k为偶数】给出一个一般的表达式，那也可以，不过早已经
被Euer给出了。
3.对于sum（i^(-k),i=1..infinity）【k为非1的奇数】，还没有人知道和是什么，如果你可以求出，哪怕只求
出一个奇数K（非1）的和，我想你就可以收到哥廷根的聘书了
最后 废话几句：
如果你对自己的数学够自信，那可以对第一个等式给出严格的证明，但我想先说明，不
读数学系的学生可能一辈子都不知道这一个严格的证明 楼主又来玩玄的了。
我不知道中国数学系的学生是怎样思考问题的，但我知道最了不起的数学家都是怎样思考问题的。如果抛开个人的傲慢，每个杰出数学家都会承认这样一个事实：
没有一个证明是当得起“严格”这个词语的。
你可以说一个证明是正确的，是错误的，是简洁的，是复杂的，但请你不要说它是“严格的”。 引用第1楼winwun于2007-02-10 13:56发表的“”:
楼主又来玩玄的了。
我不知道中国数学系的学生是怎样思考问题的，但我知道最了不起的数学家都是怎样思考问题的。如果抛开个人的傲慢，每个杰出数学家都会承认这样一个事实：
没有一个证明是当得起“严格”这个词语的。
.......
看来你不是数学系的 引用第0楼ccddyy9于2007-02-10 13:23发表的“几个漂亮的等式【与一个伟大的名字联系在一起——Euler】【原创】”:
.......
3.对于sum（i^(-k),i=1..infinity）【k为奇数】，还没有人知道和是什么，如果你可以求出，哪怕只求出一个奇数K的和，我想你就可以收到哥廷根的聘书了
.......
当 k = 1 时，
sum (i^(-k), i=1,inf) = inf
可以收到哥廷根的聘书吗？ 还是有不少不是数学系的数学家。
当然，很多数学系的好像比我们这些不是数学系的人还糊涂。 引用第3楼bookish于2007-02-10 14:37发表的“”:
当 k = 1 时，
sum (i^(-k), i=1,inf) = inf
.......
有错就改，已更正 sum (i^(-1), i=1..n) 的阶为log（n），n——>infinity
这里还顺便说一下Euler常数：
sum (i^(-1), i=1..n) =log(n)+C+O(1/n) , n——>infinity
其中，C为Euler常数，人们至今还不知道它是有理数还是无理数！
C的前10000位：
0.5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495146314472498070824809605040144865428362241739976449235362535003337429373377376739427925952582470949160087352039481656708532331517766115286211995015079847937450857057400299213547861466940296043254215190587755352673313992540129674205137541395491116851028079842348775872050384310939973613725530608893312676001724795378367592713515772261027349291394079843010341777177808815495706610750101619166334015227893586796549725203621287922655595366962817638879272680132431010476505963703947394957638906572967929601009015125195950922243501409349871228247949747195646976318506676129063811051824197444867836380861749455169892792301877391072945781554316005002182844096053772434203285478367015177394398700302370339518328690001558193988042707411542227819716523011073565833967348717650491941812300040654693142999297779569303100503086303418569803231083691640025892970890985486825777364288253954925873629596133298574739302373438847070370284412920166417850248733379080562754998434590761643167103146710722370021810745044418664759134803669025532458625442225345181387912434573501361297782278288148945909863846006293169471887149587525492366493520473243641097268276160877595088095126208404544477992299157248292516251278427659657083214610298214617951957959095922704208989627971255363217948873764210660607065982561990102880756125199137511678217643619057058440783573501580056077457934213144988500786415171615194565706170432450750081687052307890937046143066848179164968425491504967243121837838753564894950868454102340601622508515583867234944187880440940770106883795111307872023426395226920971608856908382511378712836820491178925944784861991185293910293099059255266917274468920443869711147174571574573203935209122316085086827558890109451681181016874975470969366671210206304827165895049327314860874940207006742590918248759621373842311442653135029230317517225722162832488381124589574386239870375766285513033143929995401853134141586212788648076110030152119657800681177737635016818389733896639868957932991456388644310370608078174489957958324579418962026049841043922507860460362527726022919682995860988339013787171422691788381952984456079160519727973604759102510995779133515791772251502549293246325028747677948421584050759929040185576459901862692677643726605711768133655908815548107470000623363725288949554636971433012007913085552639595497823023144039149740494746825947320846185246058776694882879530104063491722921858008706770690427926743284446968514971825678095841654491851457533196406331199373821573450874988325560888873528019019155089688554682592454445277281730573010806061770113637731824629246600812771621018677446849595142817901451119489342288344825307531187018609761224623176749775564124619838564014841235871772495542248201615176579940806296834242890572594739269638633838743805471319676429268372490760875073785283702304686503490512034227217436689792848629729088926789777032624623912261888765300577862743606094443603928097708133836934235508583941126709218734414512187803276150509478055466300586845563152454605315113252818891079231491311032344302450933450003076558648742229717700331784539150566940159988492916091140029486902088485381697009551566347055445221764035862939828658131238701325358800625686626926997767737730683226900916085104515002261071802554659284938949277595897540761559933782648241979506418681437881718508854080367996314239540091964388750078900000627997942809886372992591977765040409922037940427616817837156686530669398309165243227059553041766736640116792959012930537449718308004275848635083808042466735093559832324116969214860649892763624432958854873789701489713343538448002890466650902845376896223983048814062730540879591189670574938544324786914808533770264067758081275458731117636478787430739206642011251352727499617545053085582356683068322917676677041035231535032510124656386156706449847132695969330167866138333333441657900605867497103646895174569597181553764078377650184278345991842015995431449047725552306147670165993416390660912054005322158902091340802782251533852899511665452245869185993671220132150144801424230986254604488672569343148870491593044640189164502022405495386291847586293077889350643771596606909604681243702305465703160679992587166675247219409777980186362625633582526279422393254860132693530701388937436923842878938512764740856548650281563067740442203064403756826309102917514572234441050369317711452170888907446416048688701083862311426128441425960956370400619200579335034155242624026206465693543061258526583452192121497771878069586608516334922104836737994592594340379560002192785418379417760203365594673078879838084816314678241492354649148876683368407492893865281863048589820354818624383848175997635849075180791480634943916284705482200754945348986133827235730922190030740096800337666844932505567654937530318112516410552492384077645149842395762012781552322944928854557853820248918942441857095919558208100071578384039627479985817880888865716830699436060735990421068511427913169699596792300828988156097538338059109360341252998656790389568795673455083362907823862638563490747319275278740166557531190111543470018186256971261120126852923129937161403906965112224816615082353643982396620532633322248505191593682690715004315589871802783353845448309107249498057880961717996337167036554180041464667538719586948483331543583330641935929487420951478832347748481418149776871694413640056645156936116524161555734141935424721373067468333849054426626038372788217552709930958141026136979500786465876771608630804460749802801576962675913897794772214337515470829345879123898433055067223474969984942486706721502569273529585065869588997486535562186958043997125168976654169862653862891977542187721939605817001104236414158780810386172101557551923711160049880682291618097732421958328974869227183979190467716542668138893379296036815457939611339621922245430151580631743708405608536416031384982969518566952612822123716939368130321296561939718710207098007948833910197535104307441823448833331796978277332091143324514305086573457500687391475470777577559918467118308583660159437193718449039061770232536567977596744475747511584195746700997345002454428406585024508585646392791246119879093693072019804029303603738838430742162821201635386466226097198958436799430572030149638050832232365825557724534237187737439818333306454662906993311125973721950274646899065457155440303917835419756434315739034883866750542742161831050060550464223545708427393549359051762717479299472398908632970101905610107742690926475235740304630159243442464900834188630859320685522507790910195858895314328799817570981916829315940453005632543314488517357302698256937253469964013440871580108145287865790408663637945071108505104241797691911292615132010316363498086606948624407800668400671696221463718114777268341846646364242734053003138077349611998146861768585463120816316479893796426373835661893831371098328956490521148813402974238886863154313297876579912545424333856347200268129048994955042698088213026726358153248067538790323057421040330149788786752377860705468861472100992632942510887801970284117922402591091466584809257857192786282147667074087863519714256292427867028407703241437569931883243331559002433304769111009247979118006286202213707800621725732904735994398883139279927969397063567628116694054128859081982023838277035483496879734048888293016736770941584654400954862465146101353913496855912040236361872150992980651905861682815302875042754525860533196343259577747881343723939499124380614375449859068607518563142725525564259396701498041425981823785257682943639596562438852065654807103884546394453770191784571874101186223227802525194362657438242256093567692582387749116073775945140144703190224153559112506138178297421264982641618724606313340891926702359795802365841631755679233566210123133584549459059006998420067226025116774384736482438571540714626594564239112717078030637141692638644010057131095896063264963755295676936468941051795200061645202188435340473018243930514881984593076296404445687762416528716207276731860632540801428874571198657307471701886603687970364770854852871670003622928528837468246605881411754047446061676354303739923756596593696708792316774468569310838210783048315919643002144125970228906320317410114936648095290301171633453191792293924242877283787234956992923213609223494722645824375509451533552011761289751733951371782933287158609438662701179184155458726489825139255594379519731786744876992532617942338129994127939860264424519600605436818664670986594436593015437629148697959769499653352721002002096791043948254724411334224487005463765684086676215337362746159120547008629057169825735370523976123123841256434941178949861582859702097109703919635216812258224756271951938272828520914718237534365525402074620306673047695247009441381456178282666319613967359367257264603388494642489472448978481596715306153846712236987128231978476931105716623637326207595971180401514389623170601958570982381392466613527913695637655904861676205129740998314965597860253410129454399867288300624408440186181511750687088764671609799292017769624963301575829259618849485872002292248060628812177873383145882551293953651088191865120044923154983947731473578688973142047310945381464822632102331079439597462852354129575191063558792300195618131294612030157576340159785681751749842377882447375398247457599686770740854557432942402678193848220354096210606072192499082510485400318496319986322156908909761405310716511312932685349852440286448293470591608586995981988903959955918110764134466588145254256588153545028884739975324327809021522569521844145298650835512983980226238264974881811581525034599749915966400983201452007048035556858997309981503104192238508974537327612947171268165308867005472886577922467017826594827260972290347157414031669731070505078296108260728704291260823119741510147357847810107279711242797602848141151633886896907867175772593815247961237899990366617560358821813254675634483091487296266937219885027001882981730170249442140631726519713950622108276450718166391043668329566380730719454321125505362089678323031085171481149285889936287064887558438913004718684679858166
【此贴原创】 楼主能否继续给出 k = 12, 14, 16, 18, 20 时该无穷级数的和？先谢谢了。 引用第7楼bookish于2007-02-10 14:58发表的“”:
楼主能否继续给出 k = 12, 14, 16, 18, 20 时该无穷级数的和？先谢谢了。
好的 没问题 见下图：
【原创】 楼主用maple算的？ 引用第10楼icanfly于2007-02-10 15:08发表的“”:
楼主用maple算的？
是的，本意不是求和，只想说明该问题的历史与现状 引用第3楼bookish于2007-02-10 14:37发表的“”:
当 k = 1 时，
sum (i^(-k), i=1,inf) = inf
.......
当k=1时，这个无穷级数是这样的：S(n)=1+1/2+1/3+……+1/n,n→∞
这个级数的极限公式是∑1/n=ln(n)+C
对于有限项，它是没有公式的。
这一类统称为调和级数。。。
好象6楼已经给出了。
但用inf肯定是不让人满意的结果，呵呵，因为任何调和级数都是不收敛的。 引用第12楼winwun于2007-02-10 15:47发表的“”:
这个也不对吧。。。
当k=1时，这个无穷级数是这样的：S(n)=1+1/2+1/3+……+1/n,n→∞
.......
请先看看6楼再发帖，好吗？
完全看不懂了
只能给各位喝彩了 改了。
现在的搜索技术很强大，每个能搜索的人，都能找出“公式”或“证明”来。
总之，我不以为楼主体现了真正的实力。
希望你拿出点实力来，少一些评论，少一些公式，总之是少一些能被人搜到的。如果多一些有意趣而不同与前人的证明，那样就能得到更多人的认同，才算“有实力”。
另外，老bookish虽然是荣誉会员，但他显然是个老好人，别希望从老好人的反应中获得些“否定性”的东西。 首先，你必须知道你该去找什么，之后才能去找（或称其为搜索）
其次，我已经对一些原创性的帖子加注，望看仔细
最后【别希望从老好人的反应中获得些“否定性”的东西。】这句话我不是很明白 引用第16楼ccddyy9于2007-02-10 16:22发表的“”:
首先，你必须知道你该去找什么，之后才能去找（或称其为搜索）
其次，我已经对一些原创性的帖子加注，望看仔细
最后【别希望从老好人的反应中获得些“否定性”的东西。】这句话我不是很明白
你的这些所谓“原创”，只是利用工具算一算罢了，呵呵，这个我认为算不上原创。
最后那句话的意思是，bookish对人很客气，你不能从他的态度上，去获得真正的反应。
总之，希望楼主能拿出真本事，教育教育我这样的数学门外汉。 说实话你那几个图真的谈不上任何原创
给本书的链接或许有人有兴趣看看
http://www.welan.com/author/personal/hsingjzh/%A1%B6Maple%D6%B8%C1%EE%B2%CE%BF%BC%CA%D6%B2%E1%A1%B7%B2%BF%B7%D6%D1%F9%D5%C2.pdf
《超强数学工具精点-Maple指令参考手册》 发帖前请先看看11楼好吗？