bookish 发表于 2007-2-6 11:01:12

关于素数

这里，笨人仅打算介绍一些笨人所知的关于素数的一些知识，绝不希望因此引起人们骑自行车上月球的冲动。

厄拉多塞(Eratosthenes)筛法：
按顺序写出有限项自然数数列：2, 3, 4, ..., N-1, N.
2 是素数，保留。从 2 开始数，每 2 位划掉一个数。即，2, 3, 4/, 5, 6/, 7, 8/, 9, 10/, 11, 12/, ...
找到下一个没被划掉的数 3，从 3 开始数，每 3 位（包括已划掉的数）划掉一个数。即，2, 3, 4/, 5, 6//, 7, 8/, 9/, 10/, 11, 12//, ...
找到下一个没被划掉的数 5，从 5 开始数，每 5 位（包括已划掉的数）划掉一个数。即，2, 3, 4/, 5, 6//, 7, 8/, 9/, 10///, 11, 12//, ...
重复以上过程，直到下一个没被划掉的数 p > sqrt(N) 为止。这时，数列中没被划掉的数就是该有限项自然数数列中的全部素数。

但是，厄拉多塞筛法不能用于无限数列，而人们已经证明，素数有无穷多个。

梅森(Mersenne)数和梅森素数:
设 p 是素数，则形如 Mp = 2^p - 1 的数称为梅森数，若 Mp 为素数，Mp 为素数时又称其为梅森素数。前10个梅森素数所对应的 p 依次为 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89.

费马(Fermat)数和费马素数:
形如 Fn = 2^(2^n + 1) 的数称为费马数，Fn 为素数时又称其为费马素数。迄今只知5个费马素数：F0=3, F1=5, F2=17, F3=257, F4=65537, F5=4294967297.

伪素数：
设 n, b 属于正整数, n 和 b 的最大公约数 (n,b)=1, n 为合数。若 b^(n-1) == 1 mod n, 则称 n 为以 b 为底的伪素数。
这里用符号 == 表示 “恒等于”的符号。若 a mod p = b mod p, 则记为 a == b mod p. 因此, b^(n-1) == 1 mod n 意为 b^(n-1) mod n = 1 mod n.

已经证明有无穷多个以 2 为底的伪素数。

若 p 是素数，且 b 不能被 p 整除，则 b^(p-1) == 1 mod p, 反之则未必。

米勒(Miller)测试：
设 n 属于正整数, n-1 = 2^s * t, s 属于正整数, t 是奇数, (n,b)=1. 若 b^t == 1 mod n 或 b^(2^j * t) == -1 mod n (1 <= j <= s-1), 则称 n 通过以 b 为底的米勒测试。

若 n 是素数，且 b 不能被 n 整除，则 n 通过以 b 为底的米勒测试，反之则未必。

强伪素数：
若合数 n 通过以 b 为底的米勒测试，则称 n 是以 b 为底的强伪素数。

强伪素数十分罕见，但却有无穷多个。以 2 为底的最小强伪素数是 2047, 以 2 和 3 为底的最小强伪素数是 1373653, 以 2, 3 和 5 为底的最小强伪素数是25326001, 以 2, 3 , 5 和 7 为底的最小强伪素数是 3215031751.

所以，如果你想出了一个素数的计算公式，它是真是伪，需要实践的检验，而证明它是假的素数计算公式，相对比较容易些，只要找出一个反例就可以了。这里说的“比较容易”其实并不容易，但计算机可以为我们寻找。如果目前的计算机尚不能胜任，那么，祝贺你，即使它可能是个假的素数计算公式，你也可以为此而载入史册了，但前提是要经得起公众的检验。MK的特点之一就是他的成果无法公开，接受公众的检验。

参考文献
《现代数学手册》经典数学卷第15篇，华中科技大学出版社，2000年12月

zwh_hn 发表于 2007-2-6 12:09:45

小学数学课本中100以内的质数表就是利用厄拉多塞筛法得来的。

sunroom 发表于 2007-2-6 14:16:13

数论专家讲话了，文章写得很棒，同时还给了数学公式的发贴一个模版。请斑竹给予奖励。

bookish 发表于 2007-2-7 10:15:50

为了活跃理工科方面的学术研讨，笨人曾在一个跟帖中建议就素数的计算和建议摆擂台，当时都把奖励财富的数额都写上了，但一想不行，对于我等在数论方面的菜鸟，要拿这些财富比较难些，但由于现在PC机可以短时间计算得到的素数的数目太大，只要来一位编程高手，就可以把笨人的财富和全部不动产全部取走。所以（一分钟之内）把奖励的许诺去掉了。

我们来点有实在意义的。

以下是10000以内素数表，谁能用C语言编写程序计算得到该表，每种算法笨人奖励20财富（笨人现有的财富可奖励10种算法），要求：(1) 提供标准C语言源程序；(2) 每种算法有本质不同；(3) 通过笨人试算；(4) 结果和下表一致（如果发现下表漏检或错算，每个错误另奖励5财富）。

http://www.itebook.org/thread-103911-1-1.html

[分享]10000以内素数表
ufowjt

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349
353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541
547 557 563 569 571 577 587 593 599 601
607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701 709 719 727 733
739 743 751 757 761 769 773 787 797 809
811 821 823 827 829 839 853 857 859 863
877 881 883 887 907 911 919 929 937 941
947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013
1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069
1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151
1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223
1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291
1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373
1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451
1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511
1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583
1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657
1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733
1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811
1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889
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2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 2357
2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423
2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531
2539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617
2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677 2683 2687
2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741
2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801 2803 2819
2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903
2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999
3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079
3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167 3169 3181
3187 3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251 3253 3257
3259 3271 3299 3301 3307 3313 3319 3323 3329 3331
3343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413
3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511
3517 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 3571
3581 3583 3593 3607 3613 3617 3623 3631 3637 3643
3659 3671 3673 3677 3691 3697 3701 3709 3719 3727
3733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797 3803 3821
3823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 3907
3911 3917 3919 3923 3929 3931 3943 3947 3967 3989
4001 4003 4007 4013 4019 4021 4027 4049 4051 4057
4073 4079 4091 4093 4099 4111 4127 4129 4133 4139
4153 4157 4159 4177 4201 4211 4217 4219 4229 4231
4241 4243 4253 4259 4261 4271 4273 4283 4289 4297
4327 4337 4339 4349 4357 4363 4373 4391 4397 4409
4421 4423 4441 4447 4451 4457 4463 4481 4483 4493
4507 4513 4517 4519 4523 4547 4549 4561 4567 4583
4591 4597 4603 4621 4637 4639 4643 4649 4651 4657
4663 4673 4679 4691 4703 4721 4723 4729 4733 4751
4759 4783 4787 4789 4793 4799 4801 4813 4817 4831
4861 4871 4877 4889 4903 4909 4919 4931 4933 4937
4943 4951 4957 4967 4969 4973 4987 4993 4999 5003
5009 5011 5021 5023 5039 5051 5059 5077 5081 5087
5099 5101 5107 5113 5119 5147 5153 5167 5171 5179
5189 5197 5209 5227 5231 5233 5237 5261 5273 5279
5281 5297 5303 5309 5323 5333 5347 5351 5381 5387
5393 5399 5407 5413 5417 5419 5431 5437 5441 5443
5449 5471 5477 5479 5483 5501 5503 5507 5519 5521
5527 5531 5557 5563 5569 5573 5581 5591 5623 5639
5641 5647 5651 5653 5657 5659 5669 5683 5689 5693
5701 5711 5717 5737 5741 5743 5749 5779 5783 5791
5801 5807 5813 5821 5827 5839 5843 5849 5851 5857
5861 5867 5869 5879 5881 5897 5903 5923 5927 5939
5953 5981 5987 6007 6011 6029 6037 6043 6047 6053
6067 6073 6079 6089 6091 6101 6113 6121 6131 6133
6143 6151 6163 6173 6197 6199 6203 6211 6217 6221
6229 6247 6257 6263 6269 6271 6277 6287 6299 6301
6311 6317 6323 6329 6337 6343 6353 6359 6361 6367
6373 6379 6389 6397 6421 6427 6449 6451 6469 6473
6481 6491 6521 6529 6547 6551 6553 6563 6569 6571
6577 6581 6599 6607 6619 6637 6653 6659 6661 6673
6679 6689 6691 6701 6703 6709 6719 6733 6737 6761
6763 6779 6781 6791 6793 6803 6823 6827 6829 6833
6841 6857 6863 6869 6871 6883 6899 6907 6911 6917
6947 6949 6959 6961 6967 6971 6977 6983 6991 6997
7001 7013 7019 7027 7039 7043 7057 7069 7079 7103
7109 7121 7127 7129 7151 7159 7177 7187 7193 7207
7211 7213 7219 7229 7237 7243 7247 7253 7283 7297
7307 7309 7321 7331 7333 7349 7351 7369 7393 7411
7417 7433 7451 7457 7459 7477 7481 7487 7489 7499
7507 7517 7523 7529 7537 7541 7547 7549 7559 7561
7573 7577 7583 7589 7591 7603 7607 7621 7639 7643
7649 7669 7673 7681 7687 7691 7699 7703 7717 7723
7727 7741 7753 7757 7759 7789 7793 7817 7823 7829
7841 7853 7867 7873 7877 7879 7883 7901 7907 7919
7927 7933 7937 7949 7951 7963 7993 8009 8011 8017
8039 8053 8059 8069 8081 8087 8089 8093 8101 8111
8117 8123 8147 8161 8167 8171 8179 8191 8209 8219
8221 8231 8233 8237 8243 8263 8269 8273 8287 8291
8293 8297 8311 8317 8329 8353 8363 8369 8377 8387
8389 8419 8423 8429 8431 8443 8447 8461 8467 8501
8513 8521 8527 8537 8539 8543 8563 8573 8581 8597
8599 8609 8623 8627 8629 8641 8647 8663 8669 8677
8681 8689 8693 8699 8707 8713 8719 8731 8737 8741
8747 8753 8761 8779 8783 8803 8807 8819 8821 8831
8837 8839 8849 8861 8863 8867 8887 8893 8923 8929
8933 8941 8951 8963 8969 8971 8999 9001 9007 9011
9013 9029 9041 9043 9049 9059 9067 9091 9103 9109
9127 9133 9137 9151 9157 9161 9173 9181 9187 9199
9203 9209 9221 9227 9239 9241 9257 9277 9281 9283
9293 9311 9319 9323 9337 9341 9343 9349 9371 9377
9391 9397 9403 9413 9419 9421 9431 9433 9437 9439
9461 9463 9467 9473 9479 9491 9497 9511 9521 9533
9539 9547 9551 9587 9601 9613 9619 9623 9629 9631
9643 9649 9661 9677 9679 9689 9697 9719 9721 9733
9739 9743 9749 9767 9769 9781 9787 9791 9803 9811
9817 9829 9833 9839 9851 9857 9859 9871 9883 9887
9901 9907 9923 9929 9931 9941 9949 9967 9973

天人合一 发表于 2007-2-7 11:31:36

看得我如鸭子听雷般。不过“MK的特点之一就是他的成果无法公开，接受公众的检验。”最好，赞。

醉乡常客 发表于 2007-2-7 11:37:57

/*
题目：求100－200间的所有素数。

数学依据：
如果一个数 m ，能够被从2到 它加 1 的平方根之间的任何一个数整除了，
那么它就是一个合数，
否则，
不能被任何从2到它加 1 的平方根之间的任何一个数整除，
那么它就是一个素数。
*/

#include
main()
{ int m,i,k,h=0,leap;/*声明变量m:被测试的100－200的数;
i:从2到&#39;m+1的平方根&#39;;
k:中间变量，用于保存 &#39;m+1的平方根&#39;；
h:素数的计数，初始化为0;
leap:是否合数，leap=0表示已经测试为合数*/
printf("\n");
for(m=2;m<=10000;m++)/*从100循环到200逐个测试是否为素数*/
{
leap=1; /*初始化标志变量leap为1，首先假定m是素数*/
k=sqrt(m+1); /*求得m+1的平方根，并保存在变量 k 中*/
for(i=2;i<=k;i++) /*用i(从2到&#39;m+1的平方根&#39;)逐个去除m，以测试是否为素数*/
if(m%i==0) /*若能够被i整除，则不是素数，那么就把*/
{leap=0;break;} /*leap置0，并且跳出循环，因为不必继续测试余下的i+1到&#39;m+1的平方根&#39;了*/
if(leap) { /*如果素数标志为非零，则m是素数，那么就*/
printf("%-4d",m);h++; /*输出m,并且给计数器h加上1*/
if(h%10==0) /*素数的个数每到10的倍数就输出一个换行，为了易读的格式*/
printf("\n");
}
}/*测试下一个 m */
printf("\nThe total is %d\n",h);/*输出个数 h */
system("PAUSE");/*用系统调用执行PAUSE命令，等待用户按任一键退出*/
}


千万别加分，这是作弊的东西～

woi55 发表于 2007-2-7 11:43:08

需要在计算机版和读书软件版发个广告，编程高手们怕不咋光顾咱们读书区，哈。

bookish 发表于 2007-2-7 13:27:11

醉兄的程序（不管是从哪里来的，只要本论坛还没有）通过检测。

我作了点小改动，理论上可以算到 2147483629。但还有一个问题是，如果素数位数超过了整数的最大位数 2147483645，该程序就不能用了。

#include <ansi_c.h>
void main(void)
{
   int m, i, k, h, leap;
   int m0 = 1;    // 搜索区间初始值
   int m1 = 1000; // 搜索区间终了值 max m1 = 2147483645;

   if (m0 < 3)
   {
      printf("%d ", 2); // 2 是素数
      h = 1;
      m0 = 3;
   }
   else
   {
      if (!(m0 % 2)) m0++;
      h = 0;
   }
   for(m = m0; m <= m1; m += 2) // 除了 2 之外，偶数都不是素数
   {
      leap = 1; // 初始化标志变量leap为1，首先假定m是素数
      k = sqrt(m + 1); // 求得 m+1 的平方根，并保存在变量 k 中, 因为只需要检验到 k <= sqrt(m)
      for (i = 3; i <= k; i++)
      {
      if (m % i == 0) // 若能够被i整除，则不是素数，那么就把leap置0，并且跳出循环
      {
         leap = 0;
         break;
      }
      }
      if(leap) // 如果素数标志为非零，则m是素数
      {
      printf("%d ", m);
      h++; // 输出m, 并且给计数器h加上1
      if(h % 10 == 0) printf("\n"); // 素数的个数每到10的倍数就输出一个换行，为了易读的格式
      
      }
   }// 测试下一个 m
   printf("\nThe total is %d\n",h);// 输出搜索到的素数个数 h
   scanf("%d", &m); // 键入任意数字退出
   return;
}

醉乡常客 发表于 2007-2-7 13:34:54

百度找的

我计算机水平很差的，大学时学数学二专，其它课程成绩“猛追甚至超过当时数学系的（数学系系主任说的）”，唯有计算机课程，除pascal外，其它都是中下水准，特别是老哥要求的C语言，跟着下年级一专重修后又跟着下下年级重修一次，差点没拿到毕业证。～～～～～～

bookish 发表于 2007-2-7 14:08:49

醉兄找到的程序不能解决更高位数的素数的检测。这可能需要编程高手来做，如果可行，除了本人承诺的20财富，醉兄可千万别吝啬奖励威望。如果高手能找出第45个梅森素数（可到美国领取10万美元奖励），或能检测出以下梅森素数有错误，并提供检测用的源程序，我就得建议论坛给予特殊奖励了。

该帖内容未经核实，现改编如下：

十万美元的悬赏——互联网梅森素数大搜索，作者：异调
(http://www.oursci.org/ency/math/027.htm)

2000年4月6日，住在美国密歇根州普利茅茨的那扬·哈吉拉特瓦拉(Nayan Hajratwala)先生得到了一笔五万美元的数学奖金，因为他找到了当时已知的最大素数，这是一个梅森素数：

2^6972593 - 1

如果把这个素数写成我们熟悉的十进制形式的话，它共有2098960数字。

哈吉拉特瓦拉先生既不是数学家，也不是MK，他甚至很可能对寻找素数的数学理论一无所知——虽然这使他赢得了这笔奖金。他所做的一切，就是从互联网上下载了一个程序。这个程序在他不使用他的奔腾II350型计算机时悄悄地运行。在经过111天的计算后，上面所说的这个素数被发现了。

关于素数，有许多既简单又美丽，但是极为困难的，到现在还没有答案的问题。

哥德巴赫猜想：任何一个大于6的偶数，都能表示为两个奇素数之和。

孪生素数问题：象5和7，41和43这样相差2的素数对，被称为孪生素数。孪生素数问题是说：是不是有无穷多对孪生素数？

这些数学问题看似简单，但如果你不是狂妄到认为几百甚至几千年来所有在这些问题上耗费了无数聪明才智的数学家（有许多是非常伟大的）和数学爱好者加起来都不如你聪明，就不要试图用初等方法去解决这些问题，徒费时间和精力。

一个大于1的自然数叫完美数，如果它的所有因子（包括1，但不包括本身）之和等于它本身。比如说，

6 = 1 + 2 + 3

就是最小的完美数，

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

是另一个完美数。

欧几里德证明了：一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式：

2^(p-1) * (2^p - 1)

其中，Mp = 2^p - 1 是素数。

我们只要找到了一个形如 2^p - 1 的素数，也就知道了一个偶完美数；我们只要找到所有形如 2^p - 1 的素数，也就找到了所有偶完美数。

所以，哈吉拉特瓦拉先生不但找到了世界上已知的最大的素数，在这同时，也找到了世界上已知的最大的偶完美数。

那么，奇完美数呢？可惜，我们现在连一个奇完美数也没有找到过，我们甚至根本不知道是不是有奇完美数存在。全世界不知有多少人在寻找，因此，要是有奇完美数存在的话，它一定是非常非常大的！

奇完美数是否存在这个问题，也是一个上面所说的既简单又美丽，但是极为困难的著名数学问题。

下面是已知的所有梅森素数的列表：（我们注意到梅森神父的名字不在上面——这种素数已经由他的名字命名了，就把荣誉分给最后确认者吧。）

以下数据分别为：序号, p, Mp的位数, 相对应的完美数的位数，确认年代，确认人
12 1 1 ---- ----
23 1 2 ---- ----
35 2 3 ---- ----
47 3 4 ---- ----
513 4 8 1456 佚名
617 6 10 1588 Cataldi
719 6 12 1588 Cataldi
831 10 19 1772 Euler
961 19 37 1883 Pervushin
10 89 27 54 1911 Powers
11 107 33 65 1914 Powers
12 127 39 77 1876 Lucas
13 521 157 314 1952 Robinson
14 607 183 366 1952 Robinson
15 1279 386 770 1952 Robinson
16 2203 664 1327 1952 Robinson
17 2281 687 1373 1952 Robinson
18 3217 969 1937 1957 Riesel
19 4253 1281 2561 1961 Hurwitz
20 4423 1332 2663 1961 Hurwitz
21 9689 2917 5834 1963 Gillies
22 9941 2993 5985 1963 Gillies
23 11213 3376 6751 1963 Gillies
24 19937 6002 12003 1971 Tuckerman
25 21701 6533 13066 1978 Noll & Nickel
26 23209 6987 13973 1979 Noll
27 44497 13395 26790 1979 Nelson & Slowinski
28 86243 25962 51924 1982 Slowinski
29 110503 33265 66530 1988 Colquitt & Welsh
30 132049 39751 79502 1983 Slowinski
31 216091 65050 130100 1985 Slowinski
32 756839 227832 455663 1992 Slowinski & Gage
33 859433 258716 517430 1994 Slowinski & Gage
34 1257787 378632 757263 1996 Slowinski & Gage
35 1398269 420921 841842 1996 GIMPS
36 2976221 895932 1791864 1997 GIMPS
37 3021377 909526 1819050 1998 GIMPS (1998.1.27, Roland Clarkson)
38 6972593 2098960 4197919 1999 GIMPS
39 13466917
40 20996011
41 24036583
42 25964951
43 30402457 9152052 18304103 2005 GIMPS (2005.12.15, Curtis Cooper and Steven Boone)
44 32582657 9808358 ? 2006 GIMPS (2006.9.4, Curtis Cooper and Steven Boone)

醉乡常客 发表于 2007-2-7 14:24:24

请各位朋友踊跃讨论，收获必将丰厚！

bookish 发表于 2007-2-7 15:12:50

GIMPS是谁？请看原文。

这里我给出从 http://mersenne.org/primenet/ 得到的最新信息。

第44个梅森素数被发现

2006年9月4日，Curtis Cooper博士和Steven Boone博士的研究小组打破了他们自己保持的世界纪录，找到了第44个梅森素数，

Mp = 2^32,582,657 - 1.

这个新发现的素数有9,808,358位数，比他们原先的纪录多了650,000位数，但是还没达到 10 万美元的奖金所要求的 1千万位数。

这里，我看到了，科学属于全人类，在素数研究中，个人其实是很渺小的，MK缺乏这种精神。这或许是MK的又一个特征。我们做教师的，应时时告诫自己，不要使自己成为MK。

不好意思，因为自己不是从事数论研究的，所以阐述问题零零碎碎的，也没有条理。只是希望能通过我所提供的信息，可以对数论的了解不至于走进歧途。

在数论研究中，我等只能是最菜的菜鸟，对此希望大家有个清醒的认识。

bookish 发表于 2007-2-7 17:58:22

已知最大的不是梅森素数的素数是

39158 * 2^216193 - 1

在1989年被发现。

p = 1257787 的梅森素数是迄今为止最后一个由超级计算机发现的梅森素数，于1996年用Cray T94得到。

这都是“醉话一篇”http://www.readfree.net/bbs/read-htm-tid-290087.html 引出的讨论。建议论坛给该文奖励（呵呵，科学研究要用事实说话，拿到这10万美元的奖金事小，为中国人争光更重要）。

醉乡常客 发表于 2007-2-7 18:34:35

引用第11楼bookish于2007-02-07 15:12发表的“”:

在数论研究中，我等只能是最菜的菜鸟，对此希望大家有个清醒的认识。

.......


哈，bookish谦虚了，正好证实了我在http://tel.readfree.net/bbs/read-htm-tid-265336.html第12楼的妄自猜测～

wjshu49 发表于 2007-8-11 06:51:49

引用第12楼bookish于2007-02-07 17:58发表的 :
已知最大的不是梅森素数的素数是

39158 * 2^216193 - 1

在1989年被发现。
.......
这里说"迄今为止最后一个由超级计算机发现的梅森素数",那么第44 个梅森素数又是由什么工具发现(2006,12)的呢?
http://mathworld.wolfram.com/news/2006-09-11/mersenne-44/
http://mathworld.wolfram.com/MersennePrime.html

晓菁 发表于 2007-8-12 21:47:14

the Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) project
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查看完整版本: 关于素数