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邵阳学院毕业论文几何画板在数学实验中的应用探讨
彭翕成
（邵阳学院理学与信息科学系湖南邵阳422000）
摘要
本文首先将几何画板与其它软件相比，全方面地介绍了几何画板的使用特点和功
能，及其在数学教学中的独特优势，并首次提出几何画板结构模型图；其次，从个人
实践出发，说明几何画板既是“做数学”的虚拟实验室，又是培养创新能力的优秀平
台，并以具体实例论证了几何画板的优势所在：增大教学信息量，拓展学生认知范围，
灌输数学思想，训练数学思维，渗透数学美育,揭示数学本质。
关健词数学实验；几何画板；计算机辅助数学教学；数学美
Application of GSP In Mathematic Experiments
Peng Xi-cheng
(Department of Mathematics of Shao Yang University HuNan 422000)
Abstract
This text compare The Geometer's Sketchpad (GSP) and other softwares first, an
usage characteristics and functions that introduced GSP, and it is in mathematics teaching
of special advantage, and put forward severals drawing board structure model diagram for
the very first time;The next in order, set out from personal fulfillment, explain GSP since is
the virtual laboratory of\" do mathematics\", is an excellent terrace that fosters the creative
ability again, and with an argument several advantage place of GSP:Enlarge the teaching
information quantity, expand the student the cognition scope, the infusion mathematics
thought, train mathematics thinking, permeate Beauty of mathematics teach, announce to
public the mathematics essence.
Key words mathematic experiment ;GSP; CAMI; Beauty of mathematics
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目录
§1 引言…………………………………………………………… 3
§2 几何画板引导现代数学教育手段潮流……………………… 3
§3 几何画板展示数学美………………………………………… 7
3.1 运动中方圆互变，展现曲线美……………………………… 8
3.2 迭代中暗藏规则，展现简单美……………………………… 8
3.3 函数中构造轨迹，展现自然美……………………………… 10
§4 几何画板深化数学认识………………………………… 10
4.1 三角形中位线——让人对数学有更深刻的认识…………… 11
4.2 马丁加德纳四龟问题——让人对数学有更直观的认识…… 12
4.3 抛物线跑哪里去了——让人对数学有更抽象的认识……… 13
§5 几何画板的几个典型应用………………………………… 15
5.1 给中学生演示勾股定理……………………………………… 15
5.2 给大学生演示泰勒公式…………………………………… 16
5.3 区间套定理逼近正三角形………………………………… 16
§6 结束语……………………………………………………… 17
参考文献………………………………………………………… 18
致谢……………………………………………………………… 19
附录……………………………………………………………… 20
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§1 引言
在社会迅速发展的今天，计算机这一高科技产物广泛的应用于各行各业中，作为
社会重要组成部分之一的教育当然也不例外。在数学教学中，运用计算机辅助教学，
特别是应用几何画板教学，可以为学生创设丰富多彩的教学情境，增设疑问，巧设悬
念，激发学生获取知识的求知欲，充分调动学生的学习积极性，使学生由被动接受知
识转为主动学习，积极配合课堂教学，主动参与教学过程，从而提高学习效率。几
何画板是教育部基础教育司向全国中小学数学教师推荐的教学辅助软件，应该是被广
泛使用的。但经过我对邵阳地区几个县市的初步了解，发现几何画板在具体实施中还
存在几个认识上的误区：(1) 一些老师，特别是年级大的老师，对几何画板存在畏难
情绪，怕接受不了新技术。(2) 还有一些老师认为课件制作太麻烦，不愿意花太多时
间。(3) 即使是我们数学系即将成为数学教师的同学也没有认识到几何画板在数学教
学中的重要性。其实，几何画板是比较容易掌握的，只要熟悉Windows 的基本操作，
再花一两周的时间，就基本能掌握几何画板的所有功能，作出中学数学教学中常用课
件，而且熟练之后，只需短短十来分钟，就可以设计出比较出色的课件。几何画板除
了教学演示之外，它还具有超强的数学探索功能，譬如沈阳东北育才学校的一个中学
生用几何画板进行数学探索，推广了“蝴蝶定理”，引起国内外数学界的轰动。邵阳
学院作为邵阳地区中学教师的摇篮，我们作为邵阳学院的新一代教师,有必要熟练掌
握几何画板这一有利的教学工具,有必要深入了解几何画板与数学之间本质联系,有
必要深刻认识到几何画板在教学中的优势,有必要灵活运用几何画板进行数学探索和
实践。因此我认为:对这一课题进行研究是具有重要的现实意义和理论价值的。
§2 几何画板引导现代数学教育手段潮流
随着科学技术的迅猛发展，教育的技术也在发生着巨大的变化。计算机的发明已
促进世界经济、科学、文化等各领域突飞猛进的发展，教育的领域也在发生着巨大的
变化。现代信息技术的应用极大地拓展了教育的时空界限，扩充了教育的内容资源；
空前地丰富了教育的方法和手段，改变了传统的教学模式，最终将导致教育思想、教
育理念、教学理论乃至整个教育体制的根本变革。越来越多的学校不仅给每个教师配
备了电脑，而且在每间教室都配备了多媒体设备。键盘、鼠标、计算机正在逐步走进
数学课堂，传统的一张嘴、一支粉笔、一块黑板的数学课堂教学正在被计算机辅助教
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学所代替。越来越多的教师开始用电脑备课、上课、写文章、上网查资料，发E-mail，
越来越多的学生开始用电脑学习、探究问题，到教育网站的论坛上与其他老师、交流
同学交流学习中遇到的问题。计算机用于教学，目前中小学数学教师课堂上使用的软
件大约有以下几种或它们的组合:(1) 几何画板；(2) 超级画板；(3) 卡氏几何；(4)
Flash；(5)Authware；(6) 课件大师；(7) 方正奥思；(8) Microsoft Office Powerpoint；
(9) 其它。南京师大的陶维林教授认为:一个用于中学数学教学，被广大数学教师接受
的应用软件必须具备下列条件:(I) 中文版；(2) 价格便宜；(3) 不加密；(4) 有中文《学
习手册》；(5)学习容易；(6) 操作简单；(7) 功能强；(8)制作出的课件字节少，便于
携带；(9)支持“OLE( 对象链接环境)”，交互性好；(I0) 便于学生掌握，成为培养创
新能力的工具。我认为，参照陶教授的条件，中小学数学教师首选的软件应该是美国
Keypress 公司开发的几何画板(The Geometer's Sketchpad ) ，其次作为补充是中科院张
景中院士主持开发的超级画板(Super Sketchpad)。
《几何画板—21 世纪的动态几何》是人民教育出版社从美国引进的、计算机教育
研究中心推荐的、面向广大数学教师的计算机辅助教学软件。它所用的计算机技术是
体现主流软件发展方向的平台操作技术,这种技术无需程序设计、操作界面直观、能
方便组合各类数学教学资源、数学教师易学易用。它与其它软件平台如Flash,
Authoware ,Powerpoint 相比，几何画板更适合数学课堂教学,使CAI 真正进入日常
的数学课堂教学中。
以下是几何画板软件自带的帮助文件对几何画板教学功能的描述:几何画板是一
个用于创造、探究、分析广泛的数学问题的软件。通过动态几何，你可以将基本的数
和形甚至更复杂的动态图形的研究建立交互的数学模型。如果你是一名学生，几何画
板不仅能帮助你探究几何课本上的问题，而且在代数、三角、微积分等其它领域也能
帮你建立良好的数学思想。如果你是一名教师，几何画板提供了一个良好的将现有的
数学概念、课堂上典型的数学问题引人入胜的情境，在整个课堂上鼓励学生利用手提
电脑或演示屏幕进行猜想。研究人员以及其他数学爱好者可以利用几何画板提出假
设，研究图形的特征，得到新的结论，找到高效的解决问题的方法，应用于数学活动
中、作业内或发表于报刊杂志上或仅仅是为了追求数学本身的魅力。(The Geometer's
Sketchpad is a software system for creating, exploring, and analyzing a wide range of
mathematics. Using Dynamic Geometry, you can construct interactive mathematical
models ranging from basic investigations about shape and number to advanced, animated
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illustrations of complex systems. If you're a student, Sketchpad can help you explore not
only the topics from your geometry course, but mathematical ideas in algebra,
trigonometry, calculus, and other areas. If you're a teacher, Sketchpad provides a
compelling environment with which to present mathematical concepts, model classroom
questions, and encourage student conjecturing,whether in a hands-on computer lab or on a
demonstration screen before an entire class.Researchers and other mathematics enthusiasts
use Sketchpad to help pose “what if?” thought experiments, to help probe properties of
constructions, and to help discover new results as well as to create high-quality
mathematical illustrations for use in activities and assignments reports and publications, or
simply for their intrinsic visual appeal.)
几何画板以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、
计算、动画、跟踪轨迹等，构造出其它较为复杂的图形。和其他同类软件相比，几何
画板有如下几个优势，使得他成为数学教学中的强有力的工具。
(1) 动态性。用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有几
何关系（即图形的基本性质）都保持不变。举个简单的例子：我们可以先在画板上任
取三个点，然后用线段把它们连起来。这时，我们就可以拉动其中的一个点，同时图
形的形状就会发行变化，但仍然保持是三角形。再进一步，我们还可以分别构造出三
条形的三条中线。这时再拉动其中任一点时，三角形的形状同样会发生变化，但三条
中线的性质永远保持不变。这样我们就可以在图形的变化中观察到不变的规律：任意
三角形的三条中线交于一点。
(2) 形象性。上课时，当老师说“在平面上任取一点”时，在黑板上画出的点却
永远是固定的。所谓“任意一点”在许多时候只不过是出现在老师自己的头脑中而已。
而几何画板就可以让“任意一点”随意运动，使它更容易为学生所理解。所以，可以
把几何画板看成是一块“动态的黑板”,它这种特性有助于帮助学生在图形的变化中
把握不变的几何规律，深入几何的精髓。这是其它教学手段所不可能做到的，真正体
现了几何画板的优势。
(3)操作简单。一切操作都只靠工具栏和菜单实现，而无需编制任何程序。在几
何画板中，一切都要借助于几何关系来表现，因此用它设计软件最关键的是“把握几
何关系”,而这正是老师们所擅长的。
(4)开发软件的速度非常快。一般来说，如果有设计思路的话，操作较为熟练的
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老师开发一个难度适中的软件只需5-10 分钟。
正是由于上述优势,使得几何画板教学逐渐成为教育改革的重要方向之一，成为
21 世纪的动态几何。几何画板不同于其他软件工具的突出特点就是“它能动态地保
持几何关系”。几何画板绘制的图形可以动:用鼠标选定目标可以拖动；可以定义动画
和移动让图形动起来。而几何画板的精髓就在于“在运动中保持给定的几何关系”,
使得学生在“变换的图形中,发现恒定不变的几何规律”。图1 为几何画板系统结构
模型图:
图1
几何画板的工具库里提供了画点、画线、画圆的工具,可以绘制所有的尺规作图, 演
绎欧氏几何；几何画板的变换库里提供了施转、平移、缩放、反射等功能,可以按指
定值、计算值或动态值对图形进行了上述变换,研究非欧几何问题；几何画板的度量
库里提供了度量和计算功能,如测量线段的长度、测量角的度数等等,对测量出来的值
可以进行计算,包括四则计算、幂函数、三角函数计算等；几何画板的作图库是提供
了强大的作图功能,如平行线、垂线、角分线、过圆心和圆周上点的圆等,特别是可以
作出点在运动变化中形成的轨迹；几何画板的图表库里提供了坐标系功能,与其他功
能相配合可以绘制多种函数图像,且这些图像可以动态显示,如直角坐标系下的正弦
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函数图像、极坐标系下的摆线、参数方程图像、函数曲线族等。由此可见,几何画板
在数学教学软件设计制作方面具有独特的功能,能在数学教师广泛开展数学CAI 方面
发挥作用。
用几何画板绘制几何图形，首先得考虑对象间的几何关系(即父子关系,个人认为
这与张景中在机器证明定理相关理论中提出的消点法思想一致)，不是基本元素（点、
线、圆）的简单堆积。传统数学教学中,数与形的结合不是很密切的。解析几何课虽
然实现了数与形的密切结合,但教学手段基本是静态的,学习困难的学生难以接受。几
何画板能提供一种数与形在动态中相结合的情境,能揭示复杂现象的全过程的每个细
节,对数学教学手段的改革有很好的促进作用。运用几何画板界面作图时,任一个点、
线、面都有确定的位置或形状,也可以用坐标与运算工具从数量上去表达其位置、长
度、面积。特别是当点、线、面运动和变化时,其数值表达也能同步、即时地相应变
化,使学生同时能从数、形、动态的有机结合上去深刻感知所学内容,较之传统教学运
用静态图形去进行教学,无疑先进了许多。
§3 几何画板展示数学美
在平常的数学教学中，学生始终觉得所谓的“趣味数学”太单调、枯燥，对数学
学习没有太多的兴趣。很多学生花大量时间在数学做题上，但是效果却没有因此而提
高，这不能不让人失望。实际上，数学是有趣的也是美的，正如美国数学家克莱因对
数学美作过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人
”
心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。
无数实践证明，数学美对于人们进行数学创造具有重要意义。数学美的形式多样，有
对称之美、和谐之美、奇异之美等,但这些“数学之美”在教学过程中是否得到充分
的体现呢？答案是否定的。
教师被人们誉为\"真的使者,善的产物,美的化身\",有责任有义务去挖掘蕴藏于数
学之中的美的因素,引导学生注意对数学美的欣赏,适时恰当地进行美育,增强学习兴
趣,提高数学能力,这在全社会呼唤素质教育的今天,更显得紧迫切重要。如何改变现
状，应该引起我们的反思。几何画板作为目前使用最为广泛的数学教学软件，能在动
态中保持几何不变性，揭示数学的本质；能创造出很多美好的数学图形，具有很强的
欣赏性；同时对创新数学教学，提高学生思维有很大帮助。
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3.1 运动中方圆互变，展现曲线美
我曾经在一次探索数学美的课堂上，教同学们做下面的一个图形(图2), 隐藏
直线条后,得到图3：
图2 图3
同学们看到这里时,觉得很奇妙,很神奇,甚至有点不可思议:原来作的是正方形,最后
迭代得到的竟然是曲线轨迹。这不正是中国古代哲学所讲的“方圆兼备”么? 这不正
是微积分里所讲的“曲直互变”么?我看到同学们来了兴致,顺便把“四龟问题”,“等
角螺线”等课外故事给同学们补充了,同学们更来劲了,纷纷表示要自己操作一下!
下面两个图就是他们的作品,将正四边形推广到正五边形（图4）和正六边形（图5）。
图 4 图 5
3.2 迭代中暗藏规则，展现简单美
所谓迭代:迭指的是多次,代指的是替换,迭代就是指一个动作或操作重复多次。
从数学角度出发，我们可以使用迭代创建重复的变换，产生分形（即和自身类似的对
象或一序列图形）。我曾经利用几何画板的迭代功能制作出下面两个奇妙的图形
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(如图6,7) 。
图6 图7
重复的简单图形可以组合出奇妙的复杂图形：对于一般的十字架，很多人看了肯
定没有什么感觉，但是由当大大小小的十字架组合成一片生动活泼的雪花时（图6）,
却不能不让人惊叹了。三角形,平行四边形也都是一些常见图形,但如果这两种图形像
(图7)一样排列组合时,立刻就体现出一种结构的和谐、布局的合理。当然，这些图
形在让人感觉到一种视觉享受的同时，也能够激发学生一种创造、发明的欲望。学生
看后，对几何画板的作图功能感到十分好奇，第一次感到数学也能这样“漂亮”。很
多学生在学会了迭代功能后，不断地去尝试得到新的图形。
图8 图9
图8 是我在自我摸索中所创作出一个图形。看起来是不是很像一片树叶啊?看起
来结构很复杂,大树叶里面蕴含小树叶,但只要你明白了其中的规律,构造起来也是很
简单的,只需几步。作法见附录。
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3.3 函数中构造轨迹，展现自然美
数学之所以被某些人称为“枯燥的数字游戏”,是因为尽管数学图像千变万化，
但学生平时学习的只是其中最简单的基本图形，当然没有兴趣可言。正如著名数学家
分形几何的创始人芒德勃罗所说：“为什么几何学常常被说成是‘冷酷无情’和‘枯
燥乏味’的?原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是
球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传播
的……数学家不能回避大自然提出的问题。”我觉得在学习之余,应该通过几何画
板来发挥学生的创造力和想像力,因为这是传统数学所欠缺的，同时还能借此机会学
习一些其他科学知识，对学习数学也是有益的。
图10 图11
我常对我的学生说,“上帝是数学家,唯一能够描述宇宙的语言是数学!这个世界
的每个图形都能用数学函数来绘制。”有些学生根本不相信，他们认为高中数学中就
这么几种函数，还能变出个啥。在学生们好奇的注视下，我利用几何画板的“绘制函
数”和“构造轨迹”两大功能,当场绘制了图9,10,11 三个图形,顿时整个教室的学生
发出了惊喜异常的尖叫。谁也不能想像平时所学的函数,轨迹等“枯燥的数学知识”
竟然如此有味，这些图形在学生们的印象中只有美术老师手里才能描绘。其实,自然
界的万事万物都是息息相关，学生认为很枯燥的数学知识竟然也能和很好看的事物联
系起来，这又有什么觉得奇怪的呢？当然，我们利用几何画板绘制这样的图形，并不
是简单地为了找出些好看的图形，更重要的是通过这些图形的制作，启迪学生感受到
数学与生活是紧密联系的,数学与大自然是紧密联系的。正因为数学领域中存在着太
多的与我们密不可分的神奇事物，让学生更有兴趣去深入探索，而几何画板又为我们
的学习提供了一把探究的金钥匙，成为我们探索真理、追寻事实的工具，对于学生解
决问题起着不寻常的作用。
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古代数学家普洛克拉斯说过:“哪里有数,哪里就有美。”近代数学家徐利治认为：
“数学教学的目的之一是使学生获得对数学的审美能力，即能增进学生对数学美的主
观感受能力。”我们用几何画板数学教学软件做出这么多漂亮的图形不仅仅要让学
生体会到数学的美，更重要的是利用几何画板通过数学美的教育，努力实现这样的目
的:(1) 寓美于教，激发学生的学习兴趣；(2) 以美启智，提高学生解决问题的能力；
(3) 以美激情，培养学生创造、发明数学的热情。可能几何画板能带给学生的还远远
不止这些，我们老师应该做一个引路人，带领学生不断地探索神奇的数学世界，去挖
掘数学美、创造数学美、会将美学原理应用于解题实践，形成对数学美的规律性认识，
再用这些规律去探索、去发现、去猜想、去分析解决数学问题。
§4 几何画板深化数学认识
几何画板给数学爱好者提供了学习，研究的平台，但几何画板已经不是某些人所
认为的那样，只是一个类似于PPT 一样的演示文稿，只是用来做课件用。从某种程
度来说，几何画板带来的是数学教学上的一次革命。下面举几个简单例子来说明：
4.1 三角形中位线——让人对数学有更深刻的认识
传统教学讲中位线，都是先作AB，AC 的中点E，F，然后连接EF，然后告诉
学生，这就是中位线(图12)。
图12
而几何画板教学就完全不同，先在底边BC 上任取一点D，连接AD，作AD 中
点M，然后选择D,M, 在构造菜单中选择轨迹，则可以得到△ABC 底边上的中位线(图
13)。这样子，就让人更加了解中位线的本质：底边上任意一点的与顶点A 的连线的
中点都在中位线上，换句话说，中位线是由无数个中点M 的集合，传统教学所取的只
是底边线段BC 的两个端点罢了(此处可扩展:一一对应的数学思想)。
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图13
4.2 马丁加德纳四龟问题——让人对数学有更直观的认识
马丁加德纳四龟问题:四只乌龟在正方形四个角上，以相同速度同时匀速爬行，
每只乌龟爬行的方向都是追击（注意：是追击）其右邻角上的乌龟，请作出四只乌龟
爬行轨迹的草图。
传统教学根本没有办法作出这样的图案，但利用几何画板就很容易了。先任意作
A，B，C，D 四个点和一个正方形，接着依次选择A,E,B,G,C,F,D,H8 个点，在编辑菜
单里面选【操作类按钮】中的【移动】，马上就会生成一个“移动点”按钮，点击该
按钮，则A，B，C，D4 个点就会移动到正方形的四个顶点上，删除E,G,F,H 4 个点，
正方形的四条边自然消失(图14)。
图15
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4.3 抛物线跑哪里去了？——让人对数学有更抽象的认识；
我们可以用下面的方法作出圆锥曲线中的两种：椭圆与双曲线。
(1) 以点A 为圆心，AB 为半径作圆；在圆上取一点C，在圆内取一点D。
(2) 连接CD，作CD 中垂线。
(3) 选择点C 和中垂线，作出轨迹就是椭圆。
(4) 把点D 拖到圆外，得到的轨迹就是双曲线(图16) 。
图16
那么抛物线到哪里去了？
结合圆锥曲线的离心率就很容易想到：e>1 就是双曲线；e<1 就是椭圆；e=1 就
是抛物线；也就是说，抛物线处于双曲线和椭圆的临界位置。在圆外是双曲线，在圆
内是椭圆，那么把点D 拖到圆上，得到的轨迹就是抛物线吗？这种想法当然是有一
定理论依据的，但事实上一试，就可知出了问题（如图17）。
图17
那到底抛物线跑哪里去了？先别急，我们可以用另外一种方法作出抛物线:
(1) 作直线AB，在直线外取一点C，在直线上取一点D。
(2) 连接CD，作CD 中垂线。
(3) 选择点D 和中垂线，作出轨迹就是抛物线(图18) 。
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图18
现在，我们一方面相信开始的那种做法是有道理的，但具体实施遇到问题；用直线代
替圆之后，所得到的图像显然就是抛物线。那么直线和圆之间到底有什么内在联系
呢？联想一下曲率的有关知识：
① 直线的曲率处处为零；
② 圆上各点处的曲率等于半径的倒数，圆的半径越大曲率越小。
我们由此猜测：可以把直线看作是半径无穷大的圆。同理我们还猜测：可以把点
看作是半径无穷小的圆。
从某种程度上来说，以上的一些“认识”是很多人都不能接受的，好像有悖于常
理一样；其实这种认识只不过比较抽象罢了，它更能揭示数学各元素之间的内在联系。
只有具有了高度抽象的的数学思想，才能使开始提出的那种圆锥曲线的作法趋于完
美，而数学美则历来是数学爱好者追求的最高境界。
从以上的例子可知：学几何画板绝对不是一件很简单的事情，要求学习者有对数
学的强烈喜爱。学几何画板，千万不能把它看作是一款计算机软件，而应该把它看作
是数学思想的一个具体载体。几何画板的基本思想是：尺规作图；几何画板的核心思
想是：运动中保持几何不变性。学几何画板不要求使用者有非常深厚的计算机功底，
只要懂得Windows 的基本操作就可以，就好像学Photoshop 一样，不要求使用者以深
厚的计算机功底，但要求使用者有非常深厚的美术功底。初学者完全可以按照平时所
学的尺规作图思想来学习几何画板，慢慢实践就可以了，也就是说，初学者不必要太
计较几何画板有多少技巧。其实学过一段时间之后，你会发现其实几何画板也没有多
少“复杂”的东西，它并没有给我们提供多少工具，甚至连画椭圆，双曲线这样常用
图形的工具都没有直接提供。就好像它只是提供一个非常宽阔的舞台，但道具很少，
演得怎么样，完全取决于大家的数学功底。
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我们作为21 世纪的新一代数学教师，应该清楚几何画板给我们带来了很多好处，
但同时也给我们带来了挑战，因为对老师的要求大大提高了，要求老师有扎实的理论
基础，更深厚的数学功底，更先进的教育教学理念。所以我才说，几何画板带来的是
数学教学上的一次革命。现在我想问一下大家，你准备好了吗？你看了足够多的书籍
了吗？你有足够多的知识储备吗？最后希望我们大家通过“借板学数”，在数学的这
块领域里越走越远！
§5 几何画板的几个典型应用
5.1 给中学生演示勾股定理
我05 年11 月在邵阳十中实习,代表实习队讲公开课,内容是《勾股定理》.课后,
我在与十中的老师进行教学交流,他们传授我教学经验,我给他们讲多媒体,其中就讲
到怎么用几何画板制作《勾股定理》课件(图19), 作法见附录。
图19
我的实习指导老师彭小凤老师说,太棒了,以前我讲这个课的时候,同学们对勾股
定理的理解就仅仅局限于a2 + b2 = c2 ,其余的就没什么印象了,现在看起来勾股定
理还能构造出这么漂亮的“勾股树”,几何画板真的很有魅力,学生看了肯定很喜欢。
可惜现在我们学校条件太差,没有多媒体教室,否则一定要让你到教室里给他们演示
一下啊!
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5.2 给大学生演示泰勒公式
高等数学中的许多内容是抽象的,如导数的定义、左导数、右导数,导数的几何意
义,用泰勒多项式近似表达一个给定的函数等,用传统的教学方法很难解释清楚。借助
《几何画板》强大的图形功能——能够作出任意一个初等函数的图像,便可以使得这
些抽象的内容变得更为形象、更为直观,例如泰勒多项式近似表示函数f(x) = sinx ,
用带拉格朗日余项的马克劳林公式表示为:
3579 n
21
fx xxxx -n+1 x + n()
() = x-+-+ ..+ ( 1) Rx
3! 5! 7! 9! (2 n-1)!
一个三角函数能够用一个无穷项级数来表示,很多人是难以接受的,即使读到大三,大
四了,很多人都还难以理解!最好的办法就是把这两个函数都描绘出来,这样就很容易
理解了,但手工绘制几乎是不可能的,用几何画板就变得轻而易举了, 而且还可以随
意地改变参数n取值, 能够观察到当n来越大时泰勒多项式就在更大范围内表达了原
来的函数sinx, 这样学生就很容易理解这两个函数之间的本质联系----动态逼近,泰
勒公式就不再那么深奥了(如图20，21) 。在传统的教学中只能用语言来描述这种关
系,学生无法看到这两个函数在n 变大时它们的重合程度,没有计算机软件的介入,
这一段内容的处理只能是说教式的。
图20 图21
5.3 区间套定理逼近正三角形
对于数学专业的大多数学生来说,大一时所遇到的有限覆盖定理,区间套定理,柯
西收敛定理等一系列定理无疑是相当抽象的,觉得理解都有困难,更别说运用了,但当
我大三研究几何画板的时候,我无意中发现了这样的关于区间套定理的一个应用:如
图所示，△ABC 为任意三角形,但经过若干次迭代之后，我们可以生成一个正三角形。
迭代规则：做三角形的内切圆，找出圆心O，然后将三角形三顶点分别对应对边与圆
产生的切点进行深度迭代，当迭代深度大于5 时，所得到的图形即可粗略看作正三角
形(图22), 证明见附录。可见,运用几何画板进行模拟实验,能使抽象的数学问题具体
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化、模型化、直观化，让人先从感观上得出相关结论,这对进一步学习与探索无疑有
很大的帮助,能激发想象，驱使人们在变化中寻找不变，发现数学规律，印证数学猜
想，诱发直觉思维,揭示数学本质。所以,几何画板被人认为是“做数学”的虚拟实验
室，是培养创新能力的优秀认知平台。
图22
§6 结束语
纵观全文,我结合个人实际教学谈了以下问题:为什么要用几何画板和怎样用几
何画板探索数学本质,辅助数学教学以及几何画板对老师提出的新要求。然而，数学
教学中的问题是层出不穷,言无不尽的，由于本人时间所限，教学经验贫乏,所以没有
也不可能对所有问题都做仔细研究。庆幸的是，毕业论文一方面是大学四年学习的一
种总结，但它同时又是后继工作和学习的开始，计算机时代的到来必然要求教师既是
知识的传授者,又是学习者、研究者,需要不断学习新知识,研究新问题,善于学习、勤
于研究、勇于创新是信息社会对教师素质的要求。作为新一代数学老师,我非常喜爱
教育事业,愿意从事初等数学教学和多媒体教学的研究,并为之奋斗终身。
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邵阳学院毕业论文
参考文献
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P51-53
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N.Jackiw.101 Project Ideas for The Geometer's Sketchpad.Key Curriculum
Press.2003
李玉强,甘志高等.几何画板培训基础教程.未出版
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陶维林.4.03 版几何画板实用范例教程. 第一版.北京:清华大学出版社.2003
陶维林.几何画板新版特色与实用技巧. 第一版.北京:清华大学出版社.2003
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胡晋宾.基于几何画板的计算机辅助数学教学: 南京师范大学,2002
DG.Teaching.Resources.Sampler. Steven Rasmussen.2003
Using dynamic geometry to expand mathematics teachers’understanding of proof:
International Journal of Mathematical Education.MICHAEL DE VILLIERS.2004,vol.35,
No.5,P703–724
彭翕成.几何画板展示数学美.已经被中国电脑教育报录用
论坛
http://www.qiusir.com/gsp
http://www.keypress.com
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邵阳学院毕业论文
致谢
感谢我的指导老师陈继业博士。陈老师这学期虽远在长沙学习,但多次打电话给
我,询问我论文的进展情况。指导我论文时,大到取材立意,小到文献标点,陈老师都要
求严格,一丝不苟。陈老师学术精湛,治学严谨，平易近人,诲人不倦,这种学者风范让
使我获益匪浅。
感谢王友娥老师。王老师曾给我一次上多媒体课《差分形式的阻滞增长模型》的
机会,那是我第一次把几何画板运用于实践,让我更清楚地认识到几何画板的优越性。
感谢刘水凤老师。刘老师不只多次给我上多媒体课的锻炼机会,还积极鼓励我申
报湖南省挑战杯科研立项,更让我感动的是,她总把我看作是她教书以来,所遇到的最
为优秀的学生。我觉得这是刘老师对我的期望,也是促使我前进的动力。
感谢求师得画板联盟,那里有很多和我一样喜欢画板的爱好者,他们都是我的老
师,都是我的朋友,他们教我画板,教我做人,催我进步,促我成长。和他们在一起,我往
往神游于GSP 之中，倍受启发,水平日进。
感谢中科院院士张景中教授,感谢南京师大的陶维林,涂荣豹两位教授,他们都是
当今数学教育领域泰山北斗级人物,他们或在论坛上指导我,或给我写信,这些都是我
这个后生晚辈一辈子不能忘怀的荣誉。
常常想起两年以前,我写了几篇数学与象棋的文章给彭跃辉书记看。他充分肯定
了我能够把自己的所想写成文章的这种作法,但也一针见血地指出,“你文章的档次确
实也太低了点”,为了这句话,我一直在努力。
如果视毕业论文的完成为一种快乐的话，我愿意将之与所有关心我的人一同分
享。感谢他们，感谢所有人。
彭翕成pxc417@126.com
2006 年04 月宝庆七里坪
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邵阳学院毕业论文
附录
1 仿射变换制作树叶步骤
1 先作点A，度量横纵坐标X ,Y A A。
2 作两次仿射变换得到两点坐标,并据此绘制点B,C 。
éXB .-0.82 0.16 éXA ùé éX C .-0.44 0.32 éX éù
ù. 137 ùù . A ù-3
ê ú=. ÷ê ú+ê ú ê ú=. ÷ê ú+êoe
.YB . è-0.16 0.81 ..YA ..14 ..YC . è-0.07 0.61 ..YA ...70
3 选中点A,在[变换]菜单中选择迭代,使得AàB, AàC,迭代次数为16 次
4 适当调整单位距离和点A 的位置,就可以得到图8。
2 勾股树制作步骤
1 构造正方形及半圆。
2 在半圆上任取一点E，新建参数t, 构造正方形内部,度量其面积,并以其作
为正方形内部颜色参数。
3 选择点A、B 及参数t 作深度迭代，分别将点A、B 映射到点D、E，再按CTRL+A
增加新映射，将A、B 分别映射到E、C
4 设置点E在半圆上运动,不断调整参数t, 进行观察,可以看到一系列的动态
图案。图19 为t 为4 时的一个画面。
3 区间套定理逼近正三角形
证明：采用区间套定理：因为三角形的任意性，不妨设DA 3D B 3DC ，则要想
生成正三角形，只要逐步缩小三个角的度数差d。显然d .[0,)
p ，由初等几何知
识可知：
'1 ''1
DA =DB OC = (DB +DC)
22
DB ' = 12
(DA +DC) 则有
'1
DC = (DA +DB)
2
''11 1
d1 =D C -D A = (DA +D B) -(DB +D C) = (DA -DC) ，
22 2
p 1
由此可得，一次迭代后，度数差d1 .[0,)= d ，同理可得
22
dn .[0,
2
p
n ) =
21
nd ，当n 充分大时，
2
p
n .0, 即dn .[0,
2
p
n ) .0，三角形三顶点
趋向于60 度，三角形可看作是正三角形。
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文字 楼主支持原创，奖励一下，但是我们既需要原创，但更需要交流，希望大家能够互动交流起来。 引用第2楼野樵于2006-07-03 19:44发表的“”:
楼主支持原创，奖励一下，但是我们既需要原创，但更需要交流，希望大家能够互动交流起来。
你好！感谢加精！
版主，请问您是学数学的么？
讲起我这篇文章，我可是做两年的准备，后来花两个月的时间才完成的。
我原以为写好之后肯定是优秀论文了，因为我的同学要不是买的，每篇50--200元不等，有的是别的学校上一届的，只改个名字，稍微好一点的就是找几篇文章来，在东拼西凑。152人，只有我一个原创！
结果就得到指导老师这样一句话，教学法的论文我不看的！可怜我，花了那么多心血！没办法，我跑去问系里的另外几个老师，他们都说，我们学的是应用数学专业，你写的是数学教育那一块，只能给你通过，不能给你优秀的！
我也没办法啊！
后来到了答辩那天，我的那些同学们啊！写泛函的，写微分方程的，写扰动性的，写拓扑的，对自己论文的内容根本不熟悉，自己叙述论文内容都讲不清，更别说老师提问了。
我们的老师也没办法啊，人太多了，只好放水！
等到我答辩了，我把我发表的3篇文章一摆，把南京师大的博导给我的信一摆，然后不慌不忙的自述了半小时。
我们系里的书记听了，说，终于有一个可以真正的优秀了。等了好久，有个读书的人了。虽然是教学法的，破例，优秀！
后来我得了优秀，一本证书，50元奖金。
让我不爽的是好多的买的论文，也得优秀了，还有一篇是我们系里一个老师写的，给他学生用，难怪在评定优秀等级的时候，总说那篇文章在微分方程领域有重大突破！我晕，这么容易就重大突破啊，自夸也别这样子啊！
我偶然目睹了评定优秀的整个过程，发现从头到尾都是指导老师在争，根本没人再去翻看你的论文水平到底怎么样了。不知道其他学校怎么样啊！ 虽然是学文科的,但是对纯洁的学术的向往与彭兄弟是没有区别的.顶一下. Pretty short and cute composition, thanks for your contribution though. 引用第5楼mengzhiyong于2006-07-04 02:39发表的“”:
Pretty short and cute composition, thanks for your contribution though.
这位兄弟啊 我英文很烂啊
你的意思是不是说
文章很短而且做作但感谢你提供 ？
我觉得本科生21页不算短了吧，怎么还用 Pretty 来修饰 啊？
很多研究生也只有 30来页啊？
有很多图片没有显示啊，不知道你下载看了完整的没？
请多指教啊！ 引用第6楼pxc417于2006-07-03 18:59发表的“”:
这位兄弟啊 我英文很烂啊
你的意思是不是说
.......
不要介意，我觉得论文稍微短了点。如果研究生论文才30页，我真的担心能否毕业呢？得罪了，请多担待。另外“pretty short”的意思就是稍微短了点，至于“cute”也不是做作，而是挺小巧玲珑的意思。 大学生扩招率和整体素质成反比。 《几何画板》在数学实验中的应用与思考
陈洪平
宜兴周铁中学
文章内容未找到
版务协管员：sd831579 现在的研究生教育都改方向了,不要说创新了,就是自己真正用心完成的,弄清其来龙去脉的人的比例也越来越小.个人认为有创新获得优秀应该. 引用第9楼sd831579于2006-07-05 01:35发表的“”:
《几何画板》在数学实验中的应用与思考
陈洪平
宜兴周铁中学
文章内容未找到
版务协管员：sd831579
楼主注意，我们希望看到的是你自己的原作！希望以上的内容和你的毕业论文纯属巧合！ 要相信人啊！ 我和pxc417交流过
我相信他的为人！ 而且
pxc417在3楼，已经将论文和答辩的有关情况作了说明，
难道大家就这么不信任他那个本科生么？
其实他这文章中有几段时发表了的
大家可以去查！ 查到了两篇
http://media.ccidnet.com/art/5441/20060612/578143_1.html
http://media.ccidnet.com/art/5441/20060529/565769_1.html
大家可以对比一下
题目相近也可以理解嘛！
支持 Pxc417
支持原创！ 引用第11楼mengzhiyong于2006-07-07 13:08发表的“”:
楼主注意，我们希望看到的是你自己的原作！希望以上的内容和你的毕业论文纯属巧合！
我只是找到了相似的题目，没有说内容一样，请大家不要误解LZ 引用第16楼sd831579于2006-07-07 01:02发表的“”:
我只是找到了相似的题目，没有说内容一样，请大家不要误解LZ
If LZ do a great job, he deserve 3 points for his paper. Thanks for clarifying this issue. 认定为原创，sd831579只是尽他的职责，我想大家也会理解的，欢迎pxc417的加入 很高兴能在这里看到有关几何画板的论文，曾在新浪uc的课件房间听过三色梦老师讲的几何画板课，他是天津的一位中学教师，师范大学数学专业毕业，他讲课风趣幽默，条理清楚，通俗易懂。
感兴趣的朋友可到这里看看：
几何画板培训教程汇总几何画板培训教程 第一讲：用工具画图
http://bbs.flasher123.com/dispbbs.asp?boardID=81&ID=38146&page=1
几何画板培训教程 第二讲：用构造菜单作图
http://bbs.flasher123.com/dispbbs.asp?boardID=81&ID=38148&page=1
几何画板培训教程 第三讲：用变换菜单作图
http://bbs.flasher123.com/dispbbs.asp?boardID=81&ID=38149&page=1
几何画板培训教程 第四讲：例说动作按钮
http://bbs.flasher123.com/dispbbs.asp?boardID=81&ID=38150&page=1
几何画板培训教程 第五讲：例说智能化菜单
http://bbs.flasher123.com/dispbbs.asp?boardID=81&ID=38151&page=1
几何画板培训教程 第六讲：初步认识奇妙的参数
http://bbs.flasher123.com/dispbbs.asp?boardID=81&ID=38152&page=1
几何画板中椭圆的多种做法，重新整理共21种
http://bbs.flasher123.com/dispbbs.asp?boardid=81&id=38602
几何画板文件在网页中的调用
http://bbs.flasher123.com/dispbbs.asp?boardID=81&ID=38159&page=1
几何画板中的迭代问题
http://bbs.flasher123.com/dispbbs.asp?boardid=81&id=38968
几何画板中对象闪烁的实现方法
http://bbs.flasher123.com/dispbbs.asp?boardid=81&id=39157
几何画板中计时钟的制作
http://bbs.flasher123.com/dispbbs.asp?boardID=81&ID=41130&page=1
几何画板4.06下载
http://bbs.flasher123.com/dispbbs.asp?boardID=81&ID=37164&page=1
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